1.4.1 Principe
Les effets d’un champ ´electrique dans les semiconducteurs massifs sont bien connus. L’effet Franz-Keldysh fait apparaˆıtre des oscillations dans le coefficient d’absorption bande `a bande et une absorption non nulle sous le gap. Dans un puits quantique, deux configurations de champ ´electrique peuvent ˆetre rencontr´ees suivant que le champ ´electrique est dans le plan des couches ou perpendiculaire au plan des couches. Dans le premier cas, un effet type Franz-Keldish bidimensionnel est observ´e [8]. Cet effet ne sera pas consid´er´e ici. Dans le deuxi`eme cas, le champ ´electrique se superpose au profil de potentiel qui perd ainsi sa sym´etrie par rapport au centre du puits. Il n’existe plus de v´eritables ´etats li´es puisque les ´electrons et les trous peuvent s’´echapper du puits par effet
tunnel. Il a cependant ´et´e montr´e que des ´etats r´esonnants avec une grande dur´ee de vie peuvent exister. Bastard et al. [6] donnent le crit`ere suivant pour d´efinir ces ´etats quasi-li´es : pour un champ F donn´e, la diminution de la barri`ere de potentiel sur la longueur caract´eristique de d´ecroissance de la fonction d’onde κ−1 dans la barri`ere doit ˆetre petite en comparaison avec la hauteur effective de la barri`ere de potentiel `a champ nul V − E1, i.e.
|e|F κ−1<< V − E1, (1.47)
avec E1 l’´energie fondamentale `a champ nul pour un ´electron ou un trou.
L’application du champ ´electrique modifie la valeur des niveaux d’´energie dans le puits quantique. Le m´ecanisme du d´eplacement des niveaux d’´energie dans un puits quantique est appel´e effet Stark confin´e quantiquement (QCSE, quantum confined Stark effect). Les ´etats quasi-li´es peuvent ˆetre calcul´es en utilisant les fonctions d’Airy [25] ou ˆetre approxim´es par une m´ethode variationnelle [26]. Les calculs de Bastard et al. [26] consid`erent deux situations suivant l’amplitude du champ ´electrique appliqu´e. Dans un r´egime de faible champ, le d´eplacement ´energ´etique du niveau fondamental E1 est donn´e par : ∆E1 = −Ω 2 8 m∗e2F2L4 w ~2 , (1.48)
et montre une d´ependance quadratique avec le champ ´electrique F et une d´ependance `a la puissance 4 avec la largeur du puits quantique, Lw. Ω est une fonction qui d´epend de l’´energie E1 `a champ nul et de la hauteur de barri`ere [26]. La hauteur de barri`ere a une influence tr`es importante sur ce dernier param`etre. Par exemple, pour des barri`eres infinies, on trouve [26] Ω∞= 1/3 − 2/π2, ce qui donne un d´ecalage en ´energie tr`es faible. Au contraire, pour des barri`eres de potentiel plus faibles, la probabilit´e de pr´esence de l’´electron (ou du trou) dans la barri`ere devient non n´egligeable et le d´ecalage ´energ´etique li´e au champ ´electrique est plus fort. Le d´ecalage ´energ´etique est ´egalement proportionnel `a la masse effective, m∗. Ce dernier point montre que les transitions E − H se d´eplaceront plus vite avec le champ ´electrique, que les transitions E −L. Pour les champs de plus forte amplitude (avec toujours la condition 1.47 remplie), l’expression analytique du d´ecalage ´energ´etique est beaucoup plus compliqu´ee [26] et la d´ependance quadratique de ce d´ecalage avec le champ ´electrique n’est plus valable. L’application du champ ´electrique modifie ´egalement les niveaux excit´es qui ont un comportement plus complexe et voient leurs ´energies de confinement augmenter [8].
1.4.2 R´esolution par la m´ethode des matrices de transfert
Nous r´esolvons le probl`eme du puits quantique sous champ ´electrique par la m´ethode des matrices de transfert. L’Hamiltonien du probl`eme s’´ecrit :
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Energie(meV) z(nm) E1 HH1 LH1
Fig. 1.10– Effet d’un champ ´electrique longitudinal pour un puits quantique GaInAs avec une barri`ere AlInAs. Les fonctions d’ondes et puits de potentiel des ´electrons, trous lourds et trous l´egers sont trac´es.
avec H0 l’Hamiltonien `a champ nul, |e| la charge de la particule et F le champ ´electrique appliqu´e. L’int´erˆet du calcul par la m´ethode des matrices de transfert est que nous obtenons simultan´ement les ´energies propres et les fonctions propres de 1.49. La figure 1.10 pr´esente un exemple de calcul pour un puits quantique GaInAs avec une barri`ere AlInAs. Le champ ´electrique vaut F = 50 kV/cm et est appliqu´e dans le sens longitudinal de gauche `a droite. L’effet de ce champ est de d´ecaler les fonctions d’ondes d’´electrons et de trous vers les parois oppos´ees du puits quantique et de diminuer les ´energies de confinement. Le gap du puits quantique donn´e par la transition E1− H(L)1 est diminu´e. Ce d´ecalage de gap est utilis´e pour la r´ealisation du modulateur ´electroabsorbant que nous d´etaillerons dans la seconde partie.
1.4.3 Transitions excitoniques avec champ ´electrique
Dans un puits quantique `a champ nul, l’´electron et le trou se d´eplacent dans le mˆeme plan xy. A champ non nul, les ´electrons et les trous se d´eplacent au contraire dans des plans xy diff´erents, s´epar´es par une distance D/|e| o`u D est l’amplitude du dipˆole ´electrique induit par la s´eparation spatiale des charges [8]. Le champ ´electrique a donc pour effet de diminuer l’interaction coulombienne entre l’´electron et le trou jusqu’`a l’ionisation totale de l’exciton. Brum et Bastard [27] ont ´etudi´e l’effet d’un champ ´electrique sur l’´energie de liaison de l’exciton dans une approche variationnelle. Ils diff´erencient trois r´egimes de champ ´electrique. Pour des champs ´electriques faibles, l’´energie de liaison ´evolue quadratiquement avec le champ. Pour des champs mod´er´es, un r´egime d’accumulation apparaˆıt `a cause des barri`eres de potentiel qui bloquent les ´electrons et les trous de chaque cˆot´e du puits. Finalement, pour des champs forts, les ´electrons et les trous s’´echappent du puits et entraˆınent l’ionisation de l’exciton. La figure 1.11 pr´esente les r´esultats de
(a) (b)
Fig. 1.11 – Calculs de l’´energie de liaison Rhh d’un exciton form´e par un ´electron et un trou lourd en fonction de l’´epaisseur du puits quantique et de la valeur du champ ´electrique. D’apr`es la r´ef´erence [27].
leurs calculs pour un puits quantique GaAs avec une barri`ere GaAlAs. Le graphique (a) donne la variation de l’´energie de liaison de l’exciton Rhh en fonction de la largeur du puits quantique pour diff´erents champs ´electriques appliqu´es. Cette exemple montre que pour des puits d’´epaisseurs faibles, Rhhd´epend tr`es peu du champ ´electrique. Par exemple pour Lw = 50 ˚A, il n’y a pratiquement pas de variation [graphe (b)]. Notons que ce calcul est fait pour les trous lourds. Pour les trous l´egers, l’´energie de liaison de l’exciton sera l´eg`erement inf´erieure `a cause de la masse effective qui est plus faible (cf. 1.3).