7.3 Simulations
7.3.3 Effet des transmissions verticale et p´ erinatale
Simulons le mod`ele avec transmission verticale, en faisant varier simultan´ement les
coefficients de la transmission p´erinatale et la probabilit´e de transmission verticale afin
de mesurer l’incidence des transmissions verticale et p´erinatale.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
taux de prevalence des infectes et de chroniques
/mois
taux de prevalence
Infectes Chroniques
Figure 7.8 – Pr´evalence des infect´es et des chroniques du mod`ele avec transmission
verticale (p
vert= 0.1) et une petite perturbation positive sur la transmission p´erinatale.
• Une transmission verticale avec une valeur de p
vert`a 10%, associ´ee `a une l´eg`ere
aug-mentation des coefficients de la matrice B correspondant `a la transmission p´erinatale, fait
passer `a l’´etat d’´equilibre end´emique d´efinie dans la section (7.3.2) de la pr´evalence des
malades (infectes et chroniques) de 19% `a 31% de la population.
A la lumi`ere de ces r´esultats, on d´eduit que le contrˆole de l’´epid´emie de l’h´epatite B passe
par une diminution, voire une ´eradication de la transmission verticale et de la transmission
p´erinatale.
7.4 Conclusion
Dans cette partie, nous avons fait varier les diff´erents param`etres des transmissions
verticale et/ou p´erinatale pour voir leurs incidences sur le pronostic de l’´evolution de
l’´epid´emie de l’h´epatite B.
re-marque que lorsque p
vertaugmente, on a la proportion de chroniques de la population
g´en´erale qui augmente `a l’´equilibre end´emique, de mˆeme que la pr´evalence de malades
(infect´es et chroniques). Cela explique l’importance de la transmission verticale dans la
transmission du virus de l’h´epatite B.
Une variation des param`etres d’infection suivant l’ˆage des susceptibles montre que si
la transmission p´erinatale est faible, la proportion de chroniques diminue `a l’´equilibre
end´emique ; la pr´evalence de malades dans la population diminue aussi. La corr´elation
entre l’ˆage d’infection, la proportion de chroniques et le taux de pr´evalence montre que
la transmission p´erinatale est un facteur important dans le maintien de l’end´emicit´e de
l’´epid´emie de l’h´epatite B dans une zone donn´ee.
Nos simulations montrent que la transmission verticale, contrairement `a la
transmis-sion p´erinatale, ne change pas le temps au bout duquel l’´equilibre end´emique est atteint.
La combinaison des transmissions verticale et p´erinatale conduit `a une augmentation
significative (de 20% `a 31%) de la pr´evalence de malades. De ce fait, le contrˆole de
l’h´epatite B passe inexorablement par un contrˆole des transmissions verticale
Conclusion et perspectives
Les travaux expos´es dans cette th`ese ont pour objet la mod´elisation et l’analyse de la
transmission de l’h´epatite B dans une zone de haute end´emicit´e en l’occurrence l’Afrique
subsaharienne de fa¸con globale, le S´en´egal en particulier. Nous avons essay´e de cerner
l’incidence des transmissions verticale et p´erinatale de la maladie afin d’aider `a am´eliorer
les politiques de sant´e publique pour la lutte et la pr´evention de l’h´epatite B dans cette
zone. Nous avons eu `a faire une synth`ese des diff´erents travaux sur l’´epid´emiologie et sur
la mod´elisation de la transmission du virus de l’h´epatite B. C’est ainsi que nous avons pu
identifier, dans les publications [17,18,24,91,95,96,112] sur la transmission de l’h´epatite
B, deux ´el´ements d´eterminants que sont la susceptibilit´e diff´erentielle et les transmissions
verticale et p´erinatale, qui ne sont pas pris en compte dans les mod`eles pr´ec´edents.
Pour ce qui concerne les publications sur la mod´elisation du virus de l’h´epatite B,
les diff´erents auteurs ont n´eglig´e un facteur important, `a savoir l’´evolution de la maladie
suivant l’ˆage d’infection.
Notre effort de mod´elisation, nous a conduit `a ´etudier, des mod`eles `a susceptibilit´e
diff´erentielle et `a infectivit´e en progression de stades, mais aussi des mod`eles `a
susceptibi-lit´e et infectivit´e diff´erentielles. Ces mod`eles sont applicables aux maladies qui changent
d’infectivit´e suivant leurs p´eriodes infectieuses telle que le VIH Sida ou l’h´epatite B qui
sont des maladies avec des porteurs asymptomatiques. L’infectivit´e diff´erentielle vient du
fait que la population infect´ee est subdivis´ee en diff´erents sous groupes suivant leur taux
d’infectivit´e. La susceptibilit´e diff´erentielle est justifi´ee par le fait que la population de
susceptibles est divis´ee en tranches d’ˆages. Pour ces deux mod`eles, qui ont fait l’objet de
deux publications dans MMNP
1et JMB
2, nous avons pu montrer la stabilit´e globale
1. Mathematical Modelling of Natural Phenomena 2. Journal of Mathematical Biology, accepted
de l’´equilibre sans maladie (DFE) si le nombre de reproduction de baseR
0est inf´erieur `a
1 et l’existence d’un point d’´equilibre end´emique siR
0est sup´erieur `a 1.
Pour tenir compte de ces insuffisances not´ees dans les mod`eles du chapitre de l’´etat de
l’art et aussi de l’´epid´emiologie actuelle de la transmission du virus de l’h´epatite B, nous
avons formul´e deux mod`eles math´ematiques d´eterministes pour d´ecrire la dynamique de
transmission du virus de l’h´epatite B. Un premier mod`ele sans transmission verticale, qui
est justifi´e par la position de l’Organisation Mondiale de la Sant´e (OMS) qui pr´econise
que la transmission verticale du virus de l’h´epatite B n’a pas trop d’incidence au niveau de
la zone de haute end´emicit´e Afrique contrairement au continent Asiatique. Le deuxi`eme
mod`ele, avec transmission verticale est justifi´e par la position des professionnels de Sant´e
de la lutte contre transmission du virus de l’h´epatite B au S´en´egal. Avec ces mod`eles, nous
avons divis´e la population de susceptibles en cinq compartiments pour prendre compte
l’ˆage d’infection. Dans ces mod`eles, la population qui est en contact avec le virus est divis´ee
en quatre compartiments, deux compartiments de latents (E
I, E
C) et deux compartiments
d’infectieux (I, C).
L’´elaboration des ces mod`eles de transmission de l’h´epatite B, nous a conduit `a des
simulations, justifi´ees par le fait que dans nos mod`eles g´en´eraux, nous avons seulement
montr´e l’existence de l’´equilibre end´emique. Dans ces diff´erents cas ´etudi´es, la stabilit´e
de l’´equilibre end´emique n’a pu ˆetre ´etablie. Pour mettre en oeuvre les simulations num´
e-riques, une ´etape pr´eliminaires et n´ecessaire, nous a conduit `a faire une identification des
diff´erents param`etres de nos mod`eles. Nous avons rencontr´e pas mal de probl`emes dans
cette identification, d’une part en raison de la structure des donn´ees disponibles, mais
aussi en raison du manque d’information concernant certains param`etres.
Les r´esultats obtenus lors des simulations num´eriques des mod`eles avec ou sans
trans-mission verticale ou p´erinatale, nous montrent que la transmission verticale ou p´erinatale
joue un rˆole tr`es important dans le maintien de la haute end´emicit´e. Notamment, dans
les zones o`u il n’y pas de protocoles de lutte contre la transmission m`ere-enfant et aussi
de la transmission durant la petite enfance en milieu familial et scolaire. Effectivement,
ces observations sugg`erent que le contrˆole de l’´epid´emie du virus de l’h´epatite B, dans les
zones comme l’Afrique subsaharienne en g´en´eral, le S´en´egal en particulier, se fera avec
des protocoles de vaccination et de lutte contre deux modes de transmission.
c’est parfois ponctuel au niveau du S´en´egal, pour en ´evaluer leur impact pour le contrˆole
de la transmission de la maladie mais aussi la pr´evention et la surveillance. Il serait aussi
int´eressant de voir le comportement de nos mod`eles et faisant varier la population totale
car dans la r´ealit´e la d´emographie n’est pas constante.
Par ailleurs, avec une bonne collaboration avec les professionnels de sant´e, nous pensons
pouvoir concevoir, avec nos mod`eles des outils pour fournir des informations importantes
en mati`ere de sant´e publique pour le contrˆole de l’´epid´emie du virus de l’h´epatite B.
Enfin il reste `a ´etudier math´ematiquement les mod`eles g´en´eraux avec une transmission
verticale.
Quelques outils Math´ematiques
La mod´elisation ´epid´emiologique conduit `a l’analyse des syst`emes dynamiques. Ces
sys-t`emes pouvant ˆetre diff´erentiels, discrets ou `a d´eriv´ees partielles. Les syst`emes diff´erentiels
´etudi´es dans cette th`ese sont en g´en´eral non lin´eaires. La plupart des r´esultats que nous
allons ´enonc´es, sont des r´esultats classiques li´es au syst`emes dynamiques [10,11,71,103].
A.1 Notations et pr´e-requis
L’espace vectoriel ordonn´e R
nDe fa¸con standard si x∈R
nest un vecteur, on d´esigne par x
isa i-`eme composante.
D´efinition 1 : On d´efinit un ordre sur R
npar x≥y si pour tout indice ion a l’in´egalit´e
x
i≥y
iIl est facile de voir que cette relation est une relation d’ordre qui fait de R
nest espace
vectoriel ordonn´e.
On note R
n+
l’orthant positif. On a l’´equivalence x≥y etx−y∈R
n+
, en particulier
x≥0 ⇐⇒ pour tout indice i, on a x
i≥0
La notation x >0 signifie x≥0 et x6= 0
On notera x0 si x est dans l’int´erieur de R
n+