Effet de l’échantillonnage sur les distributions des TTF

Afin d’étudier l’impact du nombre de tests réalisés pour obtenir la distribution des TTF, celui-ci a été augmenté, de façon à obtenir des statistiques plus fiables. Plus de 200 points de

La distribution obtenue pour ces 200 points de test ne peut plus être approximée par une distribution de Weibull comme le montre la régression linéaire effectuée sur la partie droite de la figure 3.18.

Cependant, lorsque l’on trace cette distribution dans une échelle de type Log normale (où l’on trace le pourcentage de défaillance en échelle gaussienne en fonction du temps en échelle logarithmique), on obtient une représentation affine des TDDB. Les distributions de type log- normale pour les TDDB ont été rapportées [Roy], [Wu], et discutées [ThèseMonsieur].

Figure 3.18 : Distribution des TDDB (200 mesures) dans une échelle Weibullienne (gauche) ou Log-Normale (droite)

Afin de comprendre l’impact du nombre de points sur la forme de la distribution, deux hypothèses ont été avancées, basées sur une convolution d’une distribution de Weibull avec un paramètre fluctuant : la surface ou l’épaisseur d’oxyde sous la pointe. En effet, la couche d’oxyde n’est pas uniforme à l’échelle nanoscopique. La mesure de la rugosité de surface rend compte de la différence des épaisseurs rencontrées.

Comme le montre la figure 3.18, la conséquence sur la mesure C-AFM est double. D’un côté la surface de contact Pointe/échantillon peut être variable du fait des effets de relief comme présenté à droite de la figure 3.19. Par contre, la distribution des surfaces de contact nous est inconnue puisqu’elle dépend du rayon de la pointe, de la surface topographique réelle de

Du fait de ces effets de bosses et de creux, la hauteur d’oxyde sous la pointe va elle aussi subir des variations. La distribution de la hauteur de l’oxyde est par contre mieux connue car directement mesurée par le C-AFM (Chapitre 2.3.4.2) et celle-ci suit une loi normale.

Figure 3.19 : Schéma représentant l’effet de la rugosité sur la variation de la surface sous pointe (gauche) et sur la variation de l’épaisseur d’oxyde sous pointe (droite).

3.7.1. Effet de la variation de la surface de contact

Ne connaissant pas la loi qui régit les distributions de surface de contact, on prendra une loi de type normale et une loi de type linéaire pour voir l’influence de la variation de la surface de contact sur les distributions des TTF.

Une simulation de type Monte Carlo sera alors utilisée afin de convoluer une distribution Weibullienne avec la distribution de la surface de contact. La première étape est la génération d’une distribution de temps de claquage de type Weibullienne, puis on génère les différentes lois de surface. Les temps de claquage sont multipliés aléatoirement avec les distributions de surface de contact générées aléatoirement suivant soit une distribution linéaire, soit une distribution normale.

Substrat

Oxyde

Pointe

AFM

Substrat

Oxyde

Pointe

AFM

Figure 3.20 : Probabilités cumulées simulée à l’aide de Mathcad® de type linéaire à gauche et normale à droite. Dans les deux cas la valeur moyenne de la surface a été prise à 50. Ces distributions sont obtenues avec

500 tirages.

La distribution linéaire de gauche de la figure 3.20 n’est pas parfaitement droite, ceci vient du fait que l’on utilise des algorithmes effectuant des tirages aléatoires et non pas une loi analytique afin d’effectuer la simulation.

Figure 3.21 : Distribution des temps au claquage convoluée par des distributions de surface linéaire ou normale simulée à l’aide de Mathcad® pour des petites variations de surface (à gauche) et pour des

variations plus importantes.

importante (entre 0 et 100), la distribution Weibullienne commence à se déformer lorsqu’on la convolue avec une variation de surface linéaire. Pour les hauts percentiles, la distribution rouge présente un écart par rapport à une distribution de Weibull. Comme dans le cas de l’expérience présentée en 3.18, les hauts percentiles sont décalés par rapport à une distribution Weibullienne. Cependant, les faibles percentiles ne sont pas impactés par cette convolution et ceci est valable même pour une forte variation de la surface contrairement à l’expérience présentée sur la figure 3.18.

3.7.2. Influence de la variation d’épaisseur

La distribution de la variation de l’épaisseur sur notre échantillon de 2,6nm de SiON est connue puisqu’elle nous est fournie par le C-AFM en mode topographie. La distribution des temps de claquage est cette fois-ci simulée en faisant varier, non plus la surface de contact mais l’épaisseur d’oxyde tox. Des études comparables ont déjà été menées à l’échelle macroscopique [Wu], [Roy]. Dans ces études, la distribution des épaisseurs était mesurée en simulant le courant tunnel qui est dépendant de l’épaisseur (équation 1.4).

Dans notre simulation, nous considérons que tox suit une loi normale centrée autour de 2,6 nm avec un écart type de σ = 0,05 Å afin de reproduire nos données.

Cette valeur est à comparer avec celle mesurée par le C-AFM en mode contact lors des mesures de rugosité de surface (figure 2.19). Dans ce cas, la distribution est la même mais avec un écart type de σ = 0,084 Å. Cependant, l’ordre de grandeur de l’écart type est tout à fait comparable.

Une explication possible pour cette déformation de la distribution de Weibull en fonction du nombre de points de mesure peut donc être l’effet de la rugosité de surface de l’échantillon plutôt que l’effet d’une variation de la surface de contact pointe/échantillon.

Ainsi, la distribution des temps de claquage est bien une distribution de type Weibullienne. Les distributions log-normales enregistrées sont dues à la convolution de la distribution Weibullienne des temps de claquage par la distribution normale de l’épaisseur de la couche d’oxyde.