Ecoulement en cavité fermée

Les principales références bibliographiques sur les écoulements en cavité fermée de section rectangulaire proviennent d’études datant d’une vingtaine d’années réalisées notamment par Koseff et Street [Koseff-1984.a], [Koseff-1984.b]. Ils ont exploré un écoulement généré par le mouvement d’un couvercle refermant une cavité (Lid-Driven-

Cavity : LDC) de section carrée et d’envergure supposée infinie. Cette expérience a mis en

lumière la complexité de l’écoulement dans les plans de sections verticales par la visualisation de quatre structures tourbillonnaires distinctes : un tourbillon principal (PE : Primary Eddy) occupant la majorité de la cavité et trois petits tourbillons secondaires (USE : Upstream

Secondary Eddy, UE : Upper secondary Eddy et DSE : Downstream Secondary Eddy) dont

les naissances sont issues du décollement de la couche limite en amont de chaque coin de la cavité (figure 27).

Une étude plus récente de C.Migeon [Migeon-2000], réalisée au Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques, permet d’analyser de manière plus globale la nature tridimensionnelle de l’écoulement par une compilation des résultats d’études portant sur les écoulements en cavité entraînée d’envergure finie. Il décrit notamment deux études de T.Chiang et al [Chiang-1997] mettant en évidence l’interconnectivité de toutes les structures tourbillonnaires décrites par Koseff et Street pour des nombres de Reynolds inférieurs à 400 (figure 27.a). Cette tridimensionnalité est à associer également avec des structures plus localisées appelées tourbillons de coins (figure 27.b). Pour des nombres de Reynolds plus élevés, l’écoulement devient plus instable générant des tourbillons dits d’envergure et dont la naissance est due à des instabilités du type Taylor-Görtler (Taylor-Görtler-Like : TGL figure 28).

La particularité de ces tourbillons est que si l’on tente de visualiser l’écoulement (par exemple : un cliché photographique) suivant un plan de section vertical qui intercepte l’un de ces tourbillons, les cellules tourbillonnaires secondaires n’apparaissent pas sur le cliché.

(a)

Figure 27 : Topologie de l’écoulement au sein d’un cavité de section carrée (a) envergure infinie [Koseff- 1984-a] (b) envergure finie [Chiang-1997].

Figure 28 : Dispositions des tourbillons de coins et de Taylor-Görtler pour différents allongements de cavité [Migeon-2000].

Influence de la profondeur de la cavité.

L’une des premières expérimentations sur les écoulements en cavité prenant la profondeur comme paramètre d’étude date de 1967 par F.Pan et A.Acrivos [Pan-1967]. On appelle A le rapport entre la profondeur p et la largeur D de la cavité. L’évolution de la topologie de l’écoulement bidimensionnel dans la section médiane d’une cavité entraînée est décrite pour des rapports A=0,25 ; 0,5 ; 1 ; 2 et 5 pour un écoulement de Stokes Re≈0 (Re=UpD/ν) où Up est la vitesse de paroi supérieure. Les auteurs constatent globalement pour

des cavités relativement peu profondes (jusqu’à A=2), la présence d’un tourbillon principal de vorticité uniforme. Ils constatent également que la position du centre du premier tourbillon (tourbillon le plus proche de la paroi en mouvement) reste constant pour A>2. Pour des cavités de faibles profondeurs (A=0,25), les lignes de courants sont quasiment parallèles au déplacement de la paroi (figure 29). En régime de Stokes, une cavité rectangulaire se caractérise par une symétrie de l’écoulement par rapport à un axe vertical médian. Les auteurs montrent que cette particularité disparaît lorsque le nombre de Reynolds augmente.

Figure 29 : Lignes de courant pour Re=0 et différents rapports profondeur/largeur A=p/D : (a) 0,25; (b) 0,5 ; (c) 1 ; (d) 2 et (e) 5 [Pan-1967].

Une étude numérique plus récente de Cheng et Hung [Cheng-2006] résolvant les équations de Navier-Stokes par la méthode dite de « lattice Boltzmann » permet de décrire plus précisément l’influence de la profondeur dans l’évolution des structures présentes en sections verticales d’un écoulement en cavité entraînée. Les résultats sont présentés pour des nombres de Reynolds compris entre 0 et 5000 et des rapports A profondeur/largeur de cavité compris entre 0,1 et 7 (figure 30 et 31).

(1)A=0,5 (2)Re=5000

Figure 30 : (1) Lignes de courant pour un rapport profondeur/largeur A=0,5 et différents nombres de Reynolds Re : (a) 0,01, (b) 100, (c) 500, (d) 1000 et (e) 5000. (2) Lignes de courants pour Re=5000 et différents rapports profondeur/largeur A : (a) 0,1; (b) 0,2 ; (c) 0,4 ; (d) 0,6 ; (e) 0,7 ; (f) 0,75 ; (g) 0,8 et (h) 0,9 [Cheng-2006].

Après avoir synthétisé les résultats, les auteurs montrent que pour des rapports de forme A<1 la topologie varie rapidement lorsque le nombre de Reynolds augmente avec la présence d’un tourbillon principal et de deux tourbillons secondaires occupant les coins inférieurs (figure 30.1). Le tourbillon du coin inférieur amont croît pour atteindre une taille comparable au tourbillon principal. Moffat [Moffat-1964] dans une étude antérieure, précise que les tourbillons secondaires aux deux coins inférieurs de la cavité font partie d’une succession infinie de tourbillons dont la taille décroît. L’apparition d’un « nouveau » tourbillon de coin inférieur amont lorsque le nombre de Reynolds augmente n’est du qu’à la croissance de l’un de ces tourbillons de la succession infinie.

La figure 30.2 présente les résultats de simulations numériques pour un nombre de Reynolds égale à 5000 et pour différentes valeurs de A (profondeur/largeur) compris entre 0,1 et 0,9. Pour une valeur de A égal à 0,1 on retrouve les résultats de Pan et Acrivos avec un écoulement dont les lignes de courants sont quasiment parallèles aux parois horizontales. Puis, lorsque cette valeur augmente, le tourbillon principal occupe de plus en plus de place avec la formation des trois tourbillons secondaires bien distincts pour la cavité de section quasiment carrée A=0,9 en accord avec les résultats de Koseef et Street [Koseff-1984.a] présentés précédemment. Cette figure montre également que lorsque la valeur A du rapport entre la profondeur et la largeur augmente, le coeur du tourbillon principal va avoir tendance à remonter vers le haut de la cavité rectangulaire.

La figure 31 présente les résultats au-delà de A=1. On peut observer la coalescence de la paire de tourbillons secondaires inférieurs formant ainsi un nouveau tourbillon de grande taille (a)- (b)-(c)-(d). Le schéma se répète ainsi avec l’augmentation de la profondeur (e)-(f)-(g)-(h).

Figure 31 : Lignes de courant pour Re=1000 et différents rapports profondeur/largeur A : (a) 1,1 ; (b) 1,15 ; (c) 1,2 ; (d) 1,25 ; (e) 2,2 ; (f) 2,3 ; (g) 2,4 et (h) 3,2 [Cheng-2006].