Approches pour une d´ econvolution robuste
4.2.3 D´ econvolution de l’interspectre
L’approche des moindres carr´es contraints est plus robuste que celle des moindres carr´es ordinaires car elle incorpore la positivit´e de o(x). N´eanmoins, cette approche ne se justifie que si les mesures des fonctions d’´etalement de point sont absolument fiables. Comme ces mesures sont en g´en´eral bruit´ees, il vaudrait mieux trouver un moyen de reconstruire o(x) sans faire cette hypoth`ese implicite. En relisant attentivement ce qui pr´ec`ede, on peut
observer qu’une estimation jusqu’`a la limite de diffraction de la distribution d’intensit´e de l’objet n’est possible que si la quantit´e
e
G(u) = heI(u) eS∗(u)i (4.38)
pr´eserve l’information jusqu’`a la fr´equence de coupure instrumentale. Cette propri´et´e se d´emontre simplement en calculant l’esp´erance de eG(u) :
G(u) def= E{ eG(u)}
= hE{eI(u)}E{ eS∗(u)}i = hS(u)E{ eS∗(u)}iO(u)
= H(u)O(u) (4.39)
avec :
H(u) = h|S(u)|2i. (4.40)
Pour ce calcul, j’ai suppos´e que les r´ealisations eI(u) et eS(u) sont des variables ind´ependentes et que les mesures des fonctions de transfert ne sont pas biais´ees. H(u) = h|S(u)|2i est la fonction de transfert de l’interf´erom´etrie des tavelures traditionnelle dont
nous savons qu’elle est diff´erente de z´ero jusqu’`a la fr´equence de coupure instrumentale. Par cons´equent, l’int´egration de eG(u) pr´eserve bien les informations `a haute r´esolution. Du point de vue des approches pr´ec´edentes, H(u) est mesur´ee par h| eS(u)|2i. A moins que
ces mesures soient parfaitement exemptes de bruit, l’esp´erance de h| eS(u)|2i vaut :
E{h| eS(u)|2i} = H(u) + σ2| eS(u)| (4.41)
Cette ´equation met en ´evidence un biais sous-jacent `a la d´efinition de εMC. Principalement,
ce biais r´esulte en un filtrage excessif des hautes fr´equences spatiales dans la reconstruction du spectre de Fourier de l’objet. Lorsque les mesures des fonctions d’´etalement de point sont fournies directement par les images d’une source de r´ef´erence non r´esolue, il est facile de corriger ce biais tant que le bruit de photons domine (cf. section3.2). Par contre, dans le cas de la d´econvolution par analyse de surface d’onde, il est tr`es difficile d’obtenir une estimation ou une mod´elisation correcte de ce biais.
Pour ´eviter les effets de ce biais dans l’estimation de la distribution d’intensit´e de l’objet, je propose de reconstruire simultan´ement h(x) et o(x) en minimisant :
εholo =
X
u
|H(u)O(u) − heI(u) eS∗(u)i|2 ; (4.42)
et en appliquant les contraintes :
o(x) > 0,
car la fonction d’´etalement de point h(x) ´etant un produit de corr´elation moyen de fonc- tions positives, c’est une fonction positive. De plus, si les mesures eS(u) ne sont pas biais´ees — i.e. si E{ eS(u)} = S(u) — alors on peut raisonnablement appliquer les contraintes suppl´ementaires pour la fonction h(x) :
h(−x) = h(x) ⇐⇒ H(u) ∈ IR,
H(u) > 0. (4.44)
Cette derni`ere approche est ´equivalente `a celle de la d´econvolution en aveugle. Le cas ´ech´eant, la m´ethode des moindres carr´es contraints et h| eS(u)|2i peuvent fournir une esti-
mation de d´epart pour o(x) et H(u) respectivement.
Un autre avantage de la reconstruction par la d´econvolution en aveugle est qu’elle permet de tol´erer un biais dans les mesures des fonctions de transfert instantan´ees. Dans ce cas, la fr´equence de coupure effective sera, au mieux, celle de hS(u) eS∗(u)i c’est-`a-dire D/λ.
4.3
D´econvolution en aveugle
Le probl`eme de la d´econvolution en aveugle consiste `a d´econvoluer un produit de convolu- tion lorsque aucune des deux composantes du produit n’est connue ou mesur´ee (Stockham et al., 1975).Lane & Bates (1987) ont d´emontr´e que ce probl`eme admettait une solution dans le cas multidimentionnel (i.e. au moins en dimension deux). Le premier algorithme capable de r´esoudre le probl`eme pour des donn´ees r´eelles (i.e. bruit´ees) a ´et´e propos´e par Ayers & Dainty (1988) ; cet algorithme est de type Gerchberg-Saxton (Gerchberg & Saxton,1972). D’autres algorithmes bas´es sur la recherche it´erative du maximum de vrai- semblance pour un bruit poissonien ont ´et´e ´elabor´e parHolmes(1992) etSchulz(1993) ; ces algorithmes sont de type Lucy-Richardson (Lucy,1974;Richardson,1972). Une m´ethode de r´esolution par les moindres carr´es a ´et´e propos´ee par Lane (1992) en minimisant une fonction d’erreur qui rend compte des ´ecarts au produit de convolution et `a la positivit´e. Nous avons am´elior´e ce type d’approche en imposant des contraintes strictes (Thi´ebaut & Conan, 1995). Encore une fois, la r´esolution du probl`eme par la minimisation d’une fonction d’erreur pr´esente l’int´erˆet d’ˆetre tr`es g´en´erale et de permettre de tenir compte de la statistique particuli`ere des processus de mesure. Ce n’est pas le cas dans les approches de type Lucy-Richardson2 lorsque les mesures ne suivent pas une loi de Poisson.
Les param`etres `a estimer ne sont plus seulement f (x) mais aussi la fonction d’´etalement de point h(x). Comme f (x) et h(x) jouent un rˆole sym´etrique, il est imm´ediat d’obtenir
2
appel´ees `a tort par maximum de vraisemblance par opposition aux m´ethodes dites par moindres
les expressions des gradients `a partir de l’´equation (4.13) : ∂ε ∂f (x) = X x′ d(x′)h(x′− x) −→ D(u)HTFD ∗(u), (4.45) ∂ε ∂h(x) = X x′ d(x′)f (x′− x) −→ D(u)FTFD ∗(u), (4.46)
o`u d(x) def= ∂ε/∂g(x) est le gradient de l’erreur par rapport `a la mod´elisation du produit de convolution observ´e. A cause de cette sym´etrie, les paires de fonctions {f(x), h(x)} et {h(x), f(x)} sont des solutions de mˆeme qualit´e pour le probl`eme de la d´econvolution en aveugle. Afin de d´epartager ces solutions, on peut par exemple utiliser des contraintes diff´erentes sur f (x) et sur h(x). D’autres types de d´eg´en´erescences existent pour r´esoudre le probl`eme de la d´econvolution en aveugle. Les articles pr´ec´edemment cit´es discutent en d´etail de ces incertitudes et, ´eventuellement, du moyen de les lever.
Contrairement `a ce que l’on pourrait croire, la d´econvolution en aveugle s’av`ere un proc´ed´e extrˆemement robuste. Par exemple, nous avons pu restaurer de cette mani`ere une image avec une dynamique de 1.5 magnitude `a partir d’une seule image tavel´ee contenant ∼ 104
photons, pour un rapport D/r0 = 10 (Thi´ebaut & Conan, 1995). Pour des cas moins
extrˆemes, la d´econvolution en aveugle est un outil qui trouve son int´erˆet pour traiter des images partiellement corrig´ees par l’optique adaptative ou encore les observations du HST (Hubble Space Telescope) avant sa r´eparation.
4.4
Conclusion
J’ai d´ecrit comment r´esoudre de fa¸con consistante avec la qualit´e des mesures le probl`eme de la d´econvolution et j’ai d´emontr´e le gain qu’il y a `a tenir compte du maximum d’in- formations (e.g. mesures, connaissances a priori, ...). J’ai montr´e comment ces principes de base peuvent ˆetre appliqu´es `a des probl`emes apparent´es `a la d´econvolution. Ainsi, la d´econvolution et la d´econvolution en aveugle apparaissent comme des cas extrˆemes pour lesquels la fonction d’´etalement de point est soit parfaitement connue soit compl`etement inconnue, `a part peut ˆetre ses propri´et´es. De fa¸con plus g´en´erale, lorsque la fonction d’´etalement de point n’est pas parfaitement d´etermin´ee, il est tr`es simple de modifier la m´ethode de d´econvolution que je pr´econise pour tenir compte de cette information impar- faite. En effet, il suffit de choisir les deux composantes du produit de convolution comme param`etres du probl`eme et d’ajouter `a la fonction d’erreur une quantit´e mesurant les ´ecarts des param`etres de la fonction d’´etalement de point aux mesures correspondantes. De cette mani`ere, j’ai propos´e d’am´eliorer la restauration d’image pour les m´ethodes holographiques.