D´ecomposition de Benders

La D´ecomposition de Benders (DB) est une technique math´ematique pour r´esoudre des probl`emes difficiles (non polynomiaux), et plus particuli`erement des probl`emes formul´es en MIP. Cette m´ethode a ´et´e propos´ee par Benders (1962). Le probl`eme initial est formul´e de la mani`ere suivante : Min cT · x + f (y); (1.20) s.c. A · x + g(y) ≥ b; (1.21) D · y ≥ e; (1.22) y ∈ N; (1.23) x ≥ 0. (1.24)

La D´ecomposition de Benders consiste `a d´ecomposer le probl`eme en un probl`eme maˆıtre et un sous-probl`eme (aussi appel´e probl`eme esclave). Le probl`eme maˆıtre capture les va- riables enti`eres (ou binaires), aussi appel´ees variables de conception pour le probl`eme de conception de r´eseau, plus une variable r´eelle z qui capture une ´evaluation du coˆut du sous-probl`eme. Le sous-probl`eme est formul´e comme un Programme Lin´eaire (PL), i.e. avec des variables r´eelles uniquement, en consid´erant la solution du probl`eme maˆıtre ¯y comme une donn´ee. Le sous-probl`eme est donc formul´e de la mani`ere suivante :

Min cT · x + f (¯y); (1.25)

s.c. A · x ≥ b − g(¯y); (1.26)

1.4. M´ETHODES DE R´ESOLUTION FOND´EES SUR LA P.L. 25

Le sous-probl`eme est plus facile `a r´esoudre que le probl`eme de d´epart. En effet, il s’agit ici d’un Programme Lin´eaire. Il convient de noter qu’en fonction des valeurs des variables de conception (¯y), le sous-probl`eme peut ˆetre non r´ealisable. Mais cette situation ne peut pas se produire dans le cas du probl`eme CRS-CCP puisque nous consid´erons la possibilit´e de r´ealiser des ventes perdues dans le mod`ele. Pour la D´ecomposition de Benders, la formulation du dual du sous-probl`eme est utilis´ee car elle permet de r´esoudre le probl`eme avec des contraintes ind´ependantes des variables de conception. La formulation est la suivante :

Max β = u · (b − g(¯y)) + f (¯y); (1.28)

s.c. u · A ≥ c; (1.29)

u ≥ 0. (1.30)

L’objectif du dual du sous-probl`eme (β∗<sub>) est une borne inf´erieure du probl`eme avec</sub>

les variables ¯y fix´ees. La solution du dual (u∗) est finie, donc il est possible d’ajouter cette borne dans le probl`eme maˆıtre de telle sorte qu’elle soit valide pour n’importe quelle valeur des variables de conception (y), et pas uniquement pour la valeur ¯y. En effet, les contraintes du dual du sous-probl`eme sont ind´ependantes de y donc la solution u∗ reste une solution r´ealisable pour n’importe quelle valeur de y (mais pas n´ecessairement optimale).

Ainsi, une coupe de Benders est ajout´ee dans le probl`eme maˆıtre, dont la formulation devient alors :

Min z; (1.31)

s.c. z ≥ u∗· (b − g(y)) + f (y); (1.32)

z ≥ 0; (1.22) − (1.23). (1.33)

La solution de ce probl`eme maˆıtre donne une borne inf´erieure pour le probl`eme initial. La nouvelle solution pour les variables de conception (y) permet de r´esoudre de nouveau le sous-probl`eme et d’it´erer la m´ethode. Chaque sous-probl`eme g´en`ere une coupe dans le probl`eme maˆıtre qui est le suivant apr`es k it´erations :

Min z; (1.34)

s.c. z ≥ ui· (b − g(y)) + f (y) ∀i = 1..k; (1.33). (1.35)

Dans la m´ethode de D´ecomposition de Benders, des coupes sont ajout´ees de mani`ere it´erative dans le probl`eme maˆıtre jusqu’`a ce que la diff´erence entre la borne inf´erieure donn´ee par le probl`eme maˆıtre et la borne sup´erieure donn´ee par le sous-probl`eme passe en dessous d’un certain ε fix´e. La Figure 1.2 pr´esente un sch´ema descriptif de l’algorithme

de D´ecomposition de Benders. La D´ecomposition de Benders est consid´er´ee parmi les ap- proches qui ont fourni les solutions les plus performantes pour les probl`emes de conception de r´eseau `a coˆuts fixes (Costa, 2005).

Figure _{1.2 – Principe de l’algorithme de D´ecomposition de Benders.}

Cette approche a ´et´e appliqu´ee au probl`eme de CRS-CCP. Un des avantages est que le sous-probl`eme peut lui mˆeme se d´ecomposer en plusieurs sous-probl`emes de plus petite taille. En effet, lorsque les variables de conception (yh, yf ct, yf ht, yhct) sont fix´ees, le

probl`eme de flot peut se r´esoudre de mani`ere s´epar´ee pour chacune des p´eriodes et chacun des produits. De plus des in´egalit´es valides ont ´et´e int´egr´ees dans le probl`eme maˆıtre afin d’acc´el´erer le temps de r´esolution et d’´eviter que le probl`eme maˆıtre fournisse de trop mauvaises solutions. X f∈F yf ht ≤ |F | · yh ∀h ∈ H, t ∈ T (1.36) X c∈C yf ct ≤ |C| · yh ∀h ∈ H, t ∈ T (1.37)

Les contraintes (1.36) et (1.37) assurent qu’un service entre la plateforme et un agri- culteur ou un client soit ouvert seulement si la plateforme est ouverte. De plus, si trop peu de services sont ouverts dans le probl`eme maˆıtre, seulement une faible partie de la demande peut ˆetre satisfaite lors de la r´esolution du sous-probl`eme. Ceci engendre alors de forts coˆuts de ventes perdues. Ces contraintes dans le probl`eme maˆıtre permettent de ne pas passer de temps sur des solutions de trop mauvaise qualit´e. De plus, l’avantage de la D´ecomposition de Benders est (1) que le probl`eme de localisation des plateformes peut ˆetre g´er´e directement dans le probl`eme maˆıtre et (2) que le probl`eme maˆıtre donne une

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borne inf´erieure du probl`eme ce qui permet de g´en´erer des solutions (bornes sup´erieures) avec une garantie sur l’´ecart par rapport `a la borne inf´erieure.

Cette m´ethode a aussi l’avantage d’ˆetre g´en´erale. Ainsi, les coˆuts fixes d’ouvertures des plateformes fh peuvent facilement ˆetre pris en compte. Pour cela, il suffit de modifier le

probl`eme maˆıtre en ajoutant le terme P

h∈Hfh· yh dans la fonction objectif et de retirer

ou non, selon les besoins de l’application, la contrainte (1.8).