Longtemps, la seule formule connue sur les réseaux a été la loi des réseaux qui permet de déterminer la position des ordres de diffraction. En 1902, Wood observa des variations brutales des propriétés optiques des réseaux dans certaines conditions d’éclairement. Ce sont les anomalies de Wood [66]. Pour expliquer ces anomalies, il faut utiliser une théorie reposant sur la résolution des équations de Maxwell. Lord Rayleigh le fit pour la première fois en 1907. Il donne alors une formulation mathématique au problème en exprimant les champs réfléchis et transmis sous la forme d’une somme d’ondes planes qu’on appelle un développement de Rayleigh. La théorie de Rayleigh est le premier modèle de simulation électromagnétique des réseaux. Mais cette théorie n’est pas adaptée à tous les types de réseaux car elle n’est pas rigoureuse. Une hypothèse de cette théorie est que la décomposition en ondes planes en dessous et au‐dessus du réseau suffit à décrire le champ dans le réseau. Petit et Maystre [16] ont pu démontrer les lacunes de cette théorie qui n’est pas valable si le rapport de la hauteur sur la période est supérieur à 0,142. Pour répondre à ce manque, de nombreuses théories rigoureuses ont été développées. L’évolution des modèles électromagnétiques utilisés pour résoudre le problème des réseaux est directement liée à l’évolution des moyens de calculs et de la compréhension des méthodes numériques.
b) La méthode intégrale
Ici, le principe est la résolution d’une équation intégrale [112]. C’est une résolution fonctionnelle de l’équation intégrale par une somme de fonctions. Cette méthode a fait ses preuves même sur des cas difficiles comme réseaux très profonds ou encore le calcul de la polarisation TM pour un matériau très conducteur. Une version avancée de la méthode a été développée par L. I. Goray, c’est la « Modified Integrale Method » (MIN)[113]. La méthode intégrale peut cependant se montrer difficile à adapter pour des milieux hétérogènes ou anisotropiques.
c) Les méthodes différentielles
Les méthodes différentielles ont comme principe la résolution directe d’une équation différentielle qui peut être l’équation de Helmholtz ou les équations de Maxwell. Les principales méthodes différentielles sont : la méthode différentielle classique[123], la méthode modale [114], ou encore la méthode des ondes couplées [16]. La méthode différentielle ne permet pas de résoudre tous les problèmes de réseau et présente des difficultés de convergence pour le mode TM. La Méthode Modale (MM) peut être utilisée pour la plupart
Annexes
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des profils. La méthode des ondes couplées a été développée en 1981 par Moharam et Gaylord [115]. Cette méthode a été freinée par les difficultés pour calculer le mode TM à cause d’une instabilité numérique intrinsèque. Le problème a été résolu de 1993 à 1996 quand les contributions de Gérard Granet [73][116][117], Lalanne et Morris [118][119], puis de Lifeng Li [120][74] aux travaux antérieurs, ont permis à la méthode rigoureuse des ondes couplées d’être améliorée [130]. Cette méthode est communément appelée Rigourus Coupled Wave Analysis (RCWA), Fourier Modal Method (FMM) ou encore Modal Method by Fourier Expansion (MMFE).
d) La méthode de transformation des coordonnées ou méthode C
Cette méthode développée par Chandezon consiste en l’utilisation d’un repère de coordonnées curviligne qui suit les contours du réseau. L’utilisation de ce repère curviligne permet de fortement simplifier la résolution des équations de Maxwell mais pas les opérateurs utilisés. De nombreuses améliorations ont suivi la première mouture de Chandezon. Ces travaux ont été réalisés par Granet [131], Li, Popov ou encore Plumey. Cette méthode ne s’est pas beaucoup développée dans les milieux industriels, plus pour des raisons de compréhension du formalisme que pour des raisons de performances. Une simplification de l’approche de la méthode C a été publiée par les principaux acteurs de l’amélioration de la méthode [131]. Cette méthode permet de traiter tous les types de réseau, des difficultés apparaissent cependant lors de fortes variations de la dérivée du profil.
e) Les méthodes maillées
En modélisation électromagnétique, les méthodes les plus répandues consistent à résoudre les équations de Maxwell par différences finies (FD) ou par les éléments finis (FE) sur une structure maillée. Dans le groupe des méthodes maillées on peut aussi rajouter la méthode des différences finies temporelles (FDTD)[121] ou la méthode des éléments de frontière (BEM) [122]. Dans ces méthodes, le champ est représenté dans une structure maillée et la précision de la simulation dépend du nombre et de la taille des mailles. Ces méthodes sont peu utilisées en scattérométrie pour des raisons de précision et de rapidité car elle demande beaucoup de ressources en temps de calcul.
f) La méthode des multipôles
La méthode des multipôles (MMP) et une méthode rigoureuse développée entre autre par Hafner [132] qui permet de réduire le calcul électromagnétique du réseau au calcul du champ rayonné par des sources fictives sur les surfaces. L’inconvénient de cette méthode est qu’il n’existe pas d’algorithme générique pour placer les sources fictives. C’est une méthode efficace pour les structures complexes comme les cristaux photoniques.
g) Choix d’une méthode
Les méthodes de simulation électromagnétique applicables aux réseaux sont variées et plus ou moins abouties. De nombreux scientifiques ont cherché à comparer ces différentes méthodes soit de façon générales [123] [124] ou en étudiant leurs propriétés de précision et de convergence ([126],[128] et [129]). Ce qui ressort de ces différentes publications est qu’aucune méthode n’est plus performante que les autres sur l’ensemble des structures possibles. Quatre méthodes sortent cependant du lot pour la scatterométrie : la méthode intégrale, la méthode C, la méthode modale et la RCWA. Le choix d’une méthode a d’abord été entrepris au laboratoire pour développer un code pour la scattérométrie par ellipsométrie sous Matlab. La
méthode choisie est la méthode différentielle des ondes couplées (RCWA) car c’est une méthode rapide, rigoureuse et surtout qui peut s’appliquer à tous les cas de figure que l’on peut rencontrer et de façon efficace sur les réseaux diélectriques. Elle est aussi adaptable au cas des réseaux bidimensionnels. C’est pour ces raisons que j’ai choisi d’utiliser le code RCWA développé au Laboratoire d’Ingénierie des Composant Photoniques sous Matlab® et de l’adapter aux différents problèmes spécifiques à l’instrument et aux structures étudiées.