Dynamique du modèle

Équations

An de pouvoir représenter les phénomènes de petite échelle, le choix, lors de sa concep- tion, s'est porté sur un modèle à aire limitée. Comme dans tout modèle géophysique, l'air est considéré comme un gaz parfait et un uide de Navier-Stokes (c'est-à-dire un milieu continu). L'évolution de l'état de l'atmosphère est régi par un système fermé d'équations comprenant principalement l'équation d'état des gaz parfaits et les équations de conserva- tion de la masse, de la quantité de mouvement, de l'humitité et de l'énergie.

L'équation de continuité, ou deuxième principe de conservation de la masse (2.1) relie le taux d'accumulation de la masse à l'intérieur du volume élémentaire ∂ρ

∂t au taux d'aug-

mentation de la masse entrant dans le volume élémentaire : ~5 · (ρ~U),avec ~U = u~i + v~j + z~k le vecteur vitesse. L'équation de continuité est simpliée en utilisant une des trois formes de la contrainte anélastique disponibles dans le modèle : Durran [1989], Lipps et Hemler [1982] pour la convection profonde, et Bannon [1995] Modied Anelastic Equation (MAE). La contrainte anélastique permet de considérer que les variations temporelles de la densité de l'air sec ρ sont négligeables par rapport à un état de référence ρ0. La densité de l'air ρ

2.1 Le modèle mésoéchelle Méso-NH

ne dépend alors plus que de sa position (z). ∂ρ

∂t + ~5 · (ρ~U) = 0 (2.1)

(2.2)

L'équation de continuité s'exprime alors sous la forme (2.3) :

~5 · (ρ0~U) = ∂(α −1 0 uj) ∂xj = ∂(ρ0uj) ∂xj = 0 (2.3) avec α0 = 1/ρ0

La pression est alors déduite de la solution de l'équation elliptique obtenue par méthode itérative, c'est-à-dire un solveur résolvant l'équation anélastique (2.3) et celle du vent géostrophique ~ug = _ρf1 (~k ∧ ~gradzp). Cette équation et celle du vent thermique qui en dérive

∂ ~ug

∂z ' fTg ~k∧ ~gradzT sont valables dans l'approximation géostrophique, c'est-à-dire, lorsqu'il

y a équilibre entre force de pression et force de Coriolis, pour des petits nombres de Rossby (eg Ro ' 0.1 à l'échelle synoptique). Cette approximation est valable dans l'atmosphère libre des moyennes latitudes.

L'approximation anélastique ne permet pas d'assurer la conservation de la masse par l'équation de continuité. Une équation additionnelle utilisant le système de coordonnées σ est nécessaire. Dans ce système, appelé aussi  système de coordonnées de pression normalisée , les coordonnées verticales sont des niveaux ayant un même rapport avec la pression de surface.

Ce système d'équations anélastiques permet le ltrage des ondes acoustiques générées par la résolution du système d'équations d'Euler (en considérant d

dt = 0). En outre, le

système ne produit alors pas d'ondes de gravité externe et la discrétisation du temps est complétement explicite.

Le modèle tient compte de l'hypothèse non-hydrostatique donnée par l'équation (2.4). Elle oppose les uctuations de pression (premier terme de la somme) à la ottabilité (deuxième terme de la somme). Elle permet ainsi de représenter explicitement des phé- nomènes pour lesquels les accélérations verticales ne sont pas négligeables et dont les échelles horizontales sont inférieures à 10 km, comme la convection, l'évaporation, ou la condensation. dw dt ' − 1 ρ0 ∂P0 ∂z + g  θ0 ν θν0 − ql  (2.4) avec θ0

ν et θν0 les termes de otabilité

ql le poids des hydrométéores

∂P0

∂z uctuation verticale de pression

Variables du modèle

Les variables pronostiques du modèle sont les trois composantes du vent (u, v, w), la température potentielle θ, l'énergie cinétique turbulente e ou TKE , les rapports de mélange de l'eau sous forme de vapeur et de 5 classes d'hydrométéores qui sont l'eau liquide, la pluie, la glace non précipitante, la neige, et le grésil (rv, rc, rr, ri, rs, rg). Ces rapports de mélange

sont calculés par rapport à la masse d'air sec dans un volume donné. La masse totale d'eau dans un volume donné varie par précipitation et par advection .

De plus, des variables diagnostiques (comme le tourbillon potentiel, la hauteur des nuages, les températures de brillance synthétiques, la CAPE,. . .) sont calculables à partir des variables pronostiques.

Coordonnées

La grille de Méso-NH est la grille C d'Arakawa. Elle est décomposée en points de ux pour le vent, et en points de masse pour les autres variables (Figure 2.1). Des points de

2.1 Le modèle mésoéchelle Méso-NH

garde, hors des limites du domaine de simulation sont prévus pour permettre le calcul des conditions aux limites (Figure 2.2).

Fig. 2.1  Détails d'une maille de Méso-

NH : points de grille et point de masse Fig. 2.2  Grille horizontale de Méso-NH Le système de coordonnées verticales est celui de Gal-Chen et Sommerville [1975] où les niveaux suivent le relief en basses couches puis tendent vers l'horizontale avec l'altitude suivant la formule (2.5) et comme le montre la gure 2.3.

ˆ

Z = H(Z − Zs)_{(H − Zs)} (2.5)

Ce système est valable pour tous types de relief hormis ceux très discontinus comme les falaises. La résolution verticale a une discrétisation variable laissée au choix de l'utilisateur. Elle permet ainsi d'avoir des résolutions plus nes pour les basses couches, notamment la couche limite et plus lâches au-dessus, en s'étirant avec l'altitude.

Plusieurs projections horizontales (Mercator, Lambert, stéréographie ou plat), dont le choix s'avère important sur les grands domaines, sont possibles.

Résolution

La résolution horizontale peut varier de la centaine de kilomètres à la dizaine de mètres pour répondre aux contraintes d'échelle des phénomènes que l'on souhaite étudier. Pour éviter des temps de calculs trop longs, les résolutions nes peuvent être obtenues en utilisant

Fig. 2.3  Système de coordonnées verti- cales de Gal-Chen suivant les courbes du relief

Fig. 2.4  Modèles imbriqués à résolution de plus en plus ne

la technique des modèles imbriqués [Stein et al., 2000]. La gure 2.4 illustre cette technique. Des sous-domaines (modèles ls), de même résolution verticale, de mailles plus nes et de résolution temporelle plus petite, sont inclus dans la zone d'intérêt du domaine initial (modèle père). Ces résolutions nes permettent la simulation de phénomènes nécessitant une haute résolution (ondes de gravités, circulation convective,. . . ). Les interactions entre modèles imbriqués peuvent être unilatérales ou bilatérales. Dans le premier cas, seuls les champs du modèle père sont utilisés pour le calcul de ceux du modèle ls, la réciproque n'étant pas vraie. Les interactions sont alors dites  one-way . Dans le deuxième cas, en plus de l'interaction précédente, les champs du modèle ls sont moyennés, en temps et en espace, pour être pris en compte en retour, à un coecient de relaxation près, dans le modèle père. Les interactions sont alors dites  two-way  .

Conditions initiales et aux limites

Le modèle nécessite d'être initialisé et couplé. En début de simulation, toutes les va- riables pronostiques du modèle sont initialisées, et ce, pour toutes les mailles du modèle. L'atmosphère étant considérée comme chaotique, de petites variations de l'état initial peuvent entraîner de grandes variations de l'état nal. L'initialisation doit donc être faite avec soin, puisque d'elle, dépend le résultat, et donc la qualité de la simulation. Le couplage

2.1 Le modèle mésoéchelle Méso-NH

sert, en cours de simulation, à fournir des données aux limites latérales du modèle pour les simulations avec des conditions aux limites ouvertes.

Les conditions aux limites du modèle sont réelles ou articielles. Elles peuvent être cycliques ou rigides, dans ce cas il y a conservation de la masse ou bien ouvertes, auquel cas la masse n'est pas conservée. Les limites latérales et supérieures du modèle sont des limites articielles liées à la nature non globale du modèle. La limite inférieure est une limite réelle : le sol, pour lequel il faut tenir compte des interactions à l'interface de celui- ci avec l'atmosphère. Les conditions aux limites inférieures et supérieures, malgré leurs natures diérentes, sont de type rigide. Les vitesses normales sont nulles sur les limites et les autres variables y sont symétriques. Les dernières couches sous le toit du modèle servent d'absorbant, an d'éviter les réexions d'ondes non désirées. Les conditions aux limites latérales peuvent être de tout type, mais sont généralement ouvertes pour l'étude de cas réels. Pour les conditions aux limites ouvertes, les conditions entrantes sont données par les chiers de couplage. Les conditions sortantes sont les valeurs pronostiques du modèle relaxées vers les valeurs de grande échelle, an d'éviter les réexions latérales non désirées des ondes hautes fréquences générées par le domaine de simulation. Il est possible d'ajouter une diusion numérique sur tout le domaine par rapport à l'écart aux champs de grande échelle ; c'est un ltre spatial permettant aux champs d'être moins bruités.

L'initialisation et le couplage des cas réels sont généralement faits, pour le modèle père, avec les analyses de l'ECMWF (European Center for Medium-range Weather Forecasts) ou ARPEGE (Action de Recherche Petite Echelle Grande Echelle). Ces analyses sont interpo- lées ou moyennées sur la grille du modèle. Dans le cas de modèles imbriqués, les modèles ls des simulations sont initialisés et couplés à partir du modèle père grâce à un ensemble de fonctions permettant de préparer les états initiaux. Du fait de l'absence d'analyse nuageuse par les modèles opérationnels, le départ de Méso-NH se fait toujours en conditions de ciel clair, ce qui impose un temps de spin-up correspondant au temps de formation des nuages par le modèle.

Malgré tous les ltrages, les discontinuités et les incertitudes liées aux limites du do- maine ont une inuence sur les mailles en bordure du domaine de modélisation. Il est indispensable d'avoir un domaine susamment grand pour que toutes les limites du do- maine soient éloignées de la zone d'intêret, an d'éviter au maximum de la perturber.