Além da abordagem das concepções de educação algébrica e/ou de álgebra presente neste trabalho, buscamos também apresentar nesse capítulo, um estudo referente à interpretação, concepção e dimensão para a introdução algébrica, presentes nos PCN de
Matemática (BRASIL, 1998). Mas antes, apresentaremos algumas ações antes da regulamentação dos PCN.
A preocupação legal de introduzir álgebra no ensino brasileiro teve início na carta Régia de 1799, organizando-se o ensino secundário de forma que o estudo da álgebra sucedesse o estudo completo da aritmética, embora ambos fossem conduzidos de modo mecanizado. Enfatizava regras e fórmulas, geralmente aceitas sem justificativas, com finalidade de resolver problemas que, em sua maior parte, eram artificiais. Esse tratamento foi dado à álgebra até antes da chegada do Movimento da Matemática Moderna (MMM).
No Brasil, o MMM tinha como proposta a unificação dos três campos da matemática, na década de 1960. Com esse movimento, a álgebra passa a ter destaque, especialmente a álgebra das estruturas, até o surgimento da crise do ensino da matemática a partir da década de 1970, quando essa tentativa de unificação fracassou, pois o MMM não conseguiu aplicar as formas estruturais de seu pensamento aos mais variados domínios, dentro e fora da matemática.
A partir da década de 1990, surgem estudos sobre as concepções de educação algébrica em pesquisas sobre educação matemática, possivelmente em resposta a reflexões sobre concepções que acompanharam o próprio amadurecimento da educação matemática.
As propostas encontradas nos PCN, para 3° e 4° ciclos do ensino fundamental, apresentam a Álgebra como subitem de Números e Operações. Nesse documento, encontramos informações do resultado do desempenho dos alunos em avaliações, como o SAEB, referentes ao desempenho em álgebra – raramente se atinge 40% de acertos em muitas regiões, fator que, como apresentamos, ainda permanece atualmente.
De acordo com os PCN, a organização dos conteúdos era dominada pela ideia de pré- requisito, cujo único critério é a estrutura lógica da Matemática. Nessa visão, a aprendizagem ocorre como se os conteúdos se articulassem na forma de uma corrente, cada conteúdo sendo um pré-requisito para o que vai sucedê-lo. Uma das principais características do conhecimento matemático, contida no documento aponta que
[...] o saber matemático como algo flexível e maleável às inter-relações entre os seus vários conceitos e entre os seus vários modos de representação, e, também, permeáveis aos problemas nos vários outros campos científicos. Um saber matemático desse tipo pode ser o motor de inovações e de superação dos obstáculos, desde os mais simples até aqueles que significam verdadeiras barreiras epistemológicas no seu desenvolvimento. (BRASIL, 1998, p. 26).
O ensino de matemática tem se caracterizado, segundo os PCN, como prática frequente de ―apresentar o conteúdo oralmente, a partir de definições, exemplos e demonstrações, seguidos de uma sequência de exercícios‖ (BRASIL, 1998, p. 37). Nesse contexto, a garantia de aprendizagem por parte do aluno está vinculada à resolução correta dos exercícios, e não à aprendizagem dos conceitos relativos aos conteúdos.
De acordo com os PCN, a matemática é subdividida em quatro eixos temáticos: Números e operações, que contém álgebra e funções; Grandezas e medidas; Espaço e forma e Tratamento da informação:
Números e operações: construção gradativa dos conceitos relacionados aos diferentes tipos de números e operações e sua utilização na resolução de problemas; relações entre as operações; aspectos algébricos relacionados com generalizações e padrões aritméticos; variação de padrões de grandezas e exploração da noção de função.
Espaço e forma: conceitos geométricos; relações entre números e medidas; construções e transformações geométricas; relações com o mundo físico.
Grandezas e medidas: relações entre grandezas e medidas e suas aplicações cotidianas; reafirmação do significado de números e operações; interdependência entre grandezas.
Tratamento da informação: noções de estatística e probabilidade; análise de dados, tabelas e gráficos; cálculo de medidas estatísticas.
Ao considerarmos as concepções de álgebra e o seu ensino, não podemos deixar de destacar a questão de seu papel no currículo:
[...] Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à variedade de representações. Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas
enfatizando as manipulações com expressões e equações de uma forma meramente mecânica (BRASIL, 1998, p.116).
Na figura 10, podemos observar as diferentes interpretações da álgebra e as diferentes funções das letras apresentadas de forma sintetizada, nos PCN.
Figura 10 - Concepções de Álgebra segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais
Fonte: PCN (BRASIL, 1998, p. 116).
Embora os PCN indiquem o estudo associado de álgebra e aritmética, não contemplam no conjunto de suas orientações situações que possam concretizar essa indicação. Silva (2006) reflete que talvez os PCN devessem conter mais subsídios para que os professores estabelecessem, junto a seus alunos, relações entre aritmética e álgebra, de tal modo que uma auxiliasse o aprendizado da outra.
Para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, o documento oficial sugere que o aluno desenvolva atividades que inter-relacionem as diferentes concepções de álgebra. Podemos considerar que os professores não desenvolvem tais concepções da álgebra no ensino fundamental, como observamos nos resultados das avaliações sistêmicas e como destaca o próprio documento, pois é privilegiado o estudo de equações, por meio de manipulações e do cálculo algébrico, mas de forma dissociada dos problemas.
É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce dos conceitos (BRASIL, 1998, p. 63).
Nos anos finais do Ensino Fundamental, de acordo com os PCN, são trabalhados os conceitos de variável e de função, a representação de fenômenos de forma gráfica, a resolução de problemas por meio de equações. Esses conceitos e os procedimentos algébricos mantêm forte relação com os demais conteúdos matemáticos e também com os de outras áreas para as quais a matemática é ferramenta.
Iniciar o estudo da sintaxe que o aluno está construindo com as letras poderá completar a noção da álgebra como uma linguagem com regras específicas para o manuseio das expressões, ou seja, o cálculo algébrico. Esse trabalho é significativo para que o aluno perceba que a transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente, mais simples, facilita encontrar a solução de um problema (BRASIL, 1998, p. 118).
Segundo os PCN, o estudo de álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas.
Ao falar de linguagem algébrica, está implícita uma concepção de linguagem. Nessas concepções de linguagem, temos que ter clareza de incluir a relação entre incógnitas e variáveis, bem como a generalização de padrões.
Na esteira desse pensamento, podemos destacar as contribuições de Vigotski (2009), a linguagem não antecede necessariamente o pensamento, pois ambos se desenvolvem em uma relação dialética, embora possamos salientar que apropriação da linguagem pode potencializar e promover o desenvolvimento do pensamento algébrico.
No quadro a seguir, podem ser observadas as propostas para o ensino de álgebra de Usiskin (1995) e a dos PCN (BRASIL, 1998) para os 3° e 4° ciclos do ensino fundamental no Brasil.
Quadro 5 – Comparação das propostas de ensino de Álgebra de Usiskin e dos PCN
Enfoque Usiskin (1995): concepções
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998): dimensões. Aritmética Generalizada - Generalizadoras de modelos; - Traduzir; - Generalizar
Letras como generalizações de modelo aritmético. Conteúdo: Propriedades das
Operações. Meio de resolver
certos problemas - Incógnitas e constantes; - Resolver;
- Simplificar
Letras como incógnitas. Conteúdo: Resolução de Equações. Resolução de Equações Equações Estudo de Relações - Argumentos e parâmetros; - Relacionar; - Gráficos.
Letras como variáveis para expressar relações e funções.
Conteúdo: Variação de grandezas. Funcional (PCN)
Estrutura (Usiskin)
- Sinais arbitrários no papel; - Manipular;
- Justificar.
Letra como símbolos abstratos. Conteúdo: Cálculo algébrico e
obtenção de expressões equivalentes. Estrutural (PCN)
Fonte: Adaptado de Figueiredo (2007, p. 85).
As duas propostas enfatizam as concepções de álgebra com base nos conceitos de variável e no papel dos símbolos. Consideramos que ambas são muito similares, justificando novamente a escolha da utilização das concepções algébricas de Usiskin (1995), neste trabalho.
Conforme exposto nos PCN, as atividades algébricas propostas no ensino fundamental devem possibilitar que os alunos construam seu conhecimento a partir de situações-problema que confiram significados à linguagem, aos conceitos e procedimentos referentes a esse tema, favorecendo o avanço do aluno quanto às diferentes interpretações das letras.
Os contextos dos problemas deverão ser diversificados para que eles tenham oportunidade de construir a sintaxe das representações algébricas, traduzir as situações por
meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis), e construir as regras para resolução de equações.
A capacidade de raciocinar algebricamente permite que os alunos explorem situações e organizem seus pensamentos. Enquanto a aritmética é normalmente vista como um cálculo a partir de quantidades conhecidas, com o objetivo de encontrar o caminho certo para uma resposta, o raciocínio algébrico visa analisar as relações entre os números para encontrar um valor desconhecido. É por isso que é essencial para o desenvolvimento básico, a habilidade de pensar algebricamente, especialmente em situações de resolução de problemas.
Na próxima sessão, abordamos o ensino de álgebra e os nexos conceituas da álgebra, para isso exploraremos os trabalhos de Moura et al (2010), Sousa (2004), Caraça (1984) e Lanner de Moura (2001).