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A energia cinética de uma part´ıcula de massa m que, no instante t, move-se a uma velocidade de módulo v em rela¸cão a um referencial, é dada por 1₂mv2_{. Para um}

meio cont´ınuo, a forma mais genérica da energia cinética, K(Pt) é dada por

K(Pt) = 1 2 Z Pt ρ ˙x(x, t) · ˙x(x, t)dV. (5.4.1)

Admite-se que a energia cinética, fornecida pela equa¸cão 5.4.1, não fornece toda a energia da região Pt, de modo que, para se obter o total da energia nessa região, definimos

tautologicamente a energia não-cinética Γ(Pt). Alguns textos de mecânica dos meios

cont´ınuos, como [4], [2] e [9], denominam esta segunda parcela como energia interna. A fim de distinguirmos a energia interna já estabelecida nos textos de termodinâmica e f´ısico- qu´ımica daquela estabelecida nos textos de mecânica dos meios cont´ınuos, utilizaremos o termo energia não-cinética aprioristicamente.

Postulamos que a energia não-cinética obede¸ca às condi¸cões de continuidade e aditividade, sendo poss´ıvel definir uma energia não-cinética espec´ıfica (razão entre energia e massa), γ(x, t) (nos mencionados textos, u(x, t)), tal que

Γ(Pt) =

ργ(x, t)dV. (5.4.2)

Escrevendo v2 _{= ˙x · ˙x, definimos a energia total E(P}

t) como a soma da energia cin´etica

com a energia n˜ao-cin´etica, logo

E(Pt) = K(Pt) + Γ(Pt) = Z Pt ρ(1 2v 2_{+ γ)(x, t)dV.} _(5.4.3)

No balan¸co de massa, foi postulado que a massa do corpo jamais se altera, portanto sempre se conserva. Já nos balan¸cos de momento linear e angular não foi apresentado postulado análogo, portanto estes momentos podem variar, por influência do exterior. Entretanto, se as for¸cas e torques que o exterior exercer sobre o sistema forem nulos, respectivamente o momento linear e angular se conservarão. Isto pode ser facilmente notado anulando t e b nas equa¸cões 3.2.11 e 3.2.12.

O balan¸co de energia é análogo aos balan¸cos de momentos linear e angular, ou seja, a energia não precisa se conservar mas, para que ela varie, é exigido que haja trocas energéticas com o exterior, caso contrário ela se conserva. Em termodinâmica, consideram-se dois tipos de trocas energética, os quais diferem fisicamente no que se refere ao movimento das part´ıculas, quando sujeitas a tais trocas. São elas calor e trabalho ou, utilizando as respectivas taxas temporais de transferência, a potência térmica, Q(Pt) e a

potˆencia at´ermica, P (Pt). Assim, escrevemos o balan¸co de energia

dE(Pt) dt = dK(Pt) dt + dΓ(Pt) dt = Q(Pt) + P (Pt). (5.4.4) Mas note que, como a mecânica dos meios cont´ınuos não lida com part´ıculas (entende-se aqui part´ıcula por uma por¸cão discreta de matéria, tais como átomos e moléculas, por

exemplo), analogamente ao que ocorre com a energia não-cinética também a potência térmica é apenas uma desconhecida parcela aditiva, cuja existência é admitida como poss´ıvel. Note que dK(Pt)

dt 6= P (Pt) e dΓ(Pt)

dt 6= Q(Pt).

A potência atérmica é a taxa temporal de trabalho realizado no corpo ou pelo corpo. Este trabalho resulta da a¸cão, sobre o corpo, das for¸cas de corpo e de tra¸cão em um determinado instante, sendo a potência realizada pelas for¸cas de tra¸cão transmitida nas fronteiras do corpo e a efetuada pelas for¸cas de corpo produzida nos pontos interiores do mesmo. Assim, P (Pt) = I ∂Pt ˙x(x, t) · t(x, t, n)dS + Z Pt ρ ˙x(x, t) · b(x, t)dV. (5.4.5)

Foi postulado que a energia não-cinética seja tratada à semelhan¸ca da energia cinética. Analogamente, a potência térmica será tratada à semelhan¸ca da atérmica. Por isto, a potência térmica pode ser decomposta em dois termos aditivos, sendo um deles a razão, h(x, t, n), entre a potência térmica que atravessa uma área superficial e esta área, para uma vizinhan¸ca infinitesimal do ponto x localizado na superf´ıcie ∂Ptda representa¸cão espacial

do corpo. Note que foi imposto postulado análogo ao de Cauchy, mas ao contrário do que ocorre com o vetor t, tem-se que h é um escalar, sendo sua unidade energia por tempo e ´

area.

Mantendo analogia com tratamento dado ao vetor t, ocorre que h(x, t, n) = −q(x, t) · n, logo h(x, t, n) é a proje¸cão do vetor fluxo de calor, q(x, t), na dire¸cão do vetor unitário n, o qual é normal à superf´ıcie no ponto x. O sinal negativo é devido à conven¸cão de que toda energia que ingresse no corpo, independentemente das caracter´ısticas f´ısicas de tal energia, seja positiva, enquanto que n é orientado positivamente para o exterior do corpo.

O outro termo proveniente da decomposi¸cão é a razão r entre a potência térmica absorvida ou emitida (por exemplo, via radia¸cão, rea¸cões qu´ımicas, etc.) e a massa, em um ponto interior da região Pt. A unidade de r é energia por tempo e massa. Portanto,

Q(Pt) = − I ∂Pt q(x, t) · n dS + Z Pt ρr(x, t)dV. (5.4.6)

Então, substituindo as equa¸cões 5.4.3, 5.4.5 e 5.4.6 na equa¸cão 5.4.4, obtemos d dt Z Pt ρ(1 2v 2 + γ)(x, t)dV =

I ∂Pt (−q(x, t) · n + ˙x(x, t) · t(x, t, n))dS + Z Pt ρ(r + ˙x · b)(x, t)dV. (5.4.7)

A equa¸cão 5.4.7 ressalta a proposital semelhan¸ca entre os tratamentos ma- temáticos dispensados às desconhecidas energia não-cinética e potência térmica, respectivamente em compara¸cão à energia cinética e potência atérmica, ambas estas últimas bem conhecidas desde o desenvolvimento da dinâmica dos fluidos. Em outras palavras, as diferen¸cas entre os dois tipos de energia e os dois tipos de potência são de caráter f´ısico, explicadas em termos de part´ıculas e, como em meio cont´ınuo estas não existem, é mantido o formalismo matemático da dinâmica dos fluidos.

Usando o teorema de Cauchy, t(x, t, n) = T(x, t)n e comparando a equa¸c˜ao 5.4.7 com a forma integral da equa¸c˜ao de balan¸co geral, 5.1.4, temos

ϕ(x, t) = ρ(1 2v

2_{+ γ)(x, t),}

ψ_ϕ(x, t) = T ˙x(x, t) − q(x, t) e

σϕ(x, t) = ρ(r + ˙x · b)(x, t).

Portanto, para a energia total, a forma local da equa¸cão de balan¸co geral, 5.1.8, é dada por ∂ ∂tρ( 1 2v 2_{+ γ)(x, t) + div(ρ(}1 2v 2_{+ γ) ˙x − T ˙x(x, t) + q(x, t)) − ρ(r + ˙x · b)(x, t) = 0. (5.4.8)} Tem-se que ∂ ∂tρ( 1 2v 2 + γ)(x, t) = = d dtρ( 1 2v 2 + γ)(x, t) − ˙x · ∇ρ(1 2v 2 + γ)(x, t) (equa¸cão 2.3.3) = ρd dt( 1 2v 2_{+ γ)(x, t) +}dρ dt( 1 2v 2_{+ γ)(x, t) − ˙x · ∇ρ(}1 2v 2_{+ γ)(x, t)} = ρd dt( 1 2v 2_{+ γ)(x, t) − [ρ(}1 2v 2_{+ γ)div ˙x(x, t) + ˙x · ∇ρ(}1 2v 2_{+ γ)(x, t)]} _{(eq. 5.2.2)} = ρd dt( 1 2v 2_{+ γ)(x, t) − div[ρ(}1 2v 2_{+ γ) ˙x].} _(5.4.9)

Na última equa¸cão foi utilizada uma conhecida propriedade do operador divergente, de- monstrada na nota de rodapé da página 43. Substituindo a equa¸cão 5.4.9 na 5.4.8 obtém-se a forma local alternativa do balan¸co de energia total

ρd dt(

1 2v

Seja o produto escalar de cada termo da equa¸c˜ao de movimento de Cauchy 3.4.1 pela velocidade ˙x. Assim,

˙x · ρ¨x(x, t) = ˙x · div(T)(x, t) + ˙x · ρb(x, t).

Observe que _dtd( ˙x · ˙x) = ˙x · ¨x + ¨x · ˙x = 2 ˙x · ¨x, logo ˙x · ρ¨x = ρ₂_dtd( ˙x · ˙x). Considere também que, como T é simétrico, a identidade div(Tv) = v · div(T) + T : ∇v (conferir a nota de rodapé da página 36). Logo ˙x · div(T) = div(T ˙x) − T : ∇ ˙x (O significado do operador : ´

e dado pela equa¸c˜ao A.33). Utilizando essas identidades na equa¸c˜ao acima, obtemos ρ

2 d

dt( ˙x · ˙x)(x, t) = div(T ˙x)(x, t) + ρ ˙x · b(x, t) − T : ∇ ˙x(x, t). (5.4.11) A equa¸cão 5.4.11 é a forma local da equa¸cão do balan¸co de energia cinética. Os dois primeiros termos no lado direito da equa¸cão, quando tomamos sua integral na região Pt,

podem ser identificados como a potência atérmica, P (Pt), dada pela equa¸cão 5.4.5. O ter-

ceiro termo, quando integrado nessa mesma região, fornece a potência de interconversão. O lado esquerdo da equa¸cão, quando integrado, fornece a potência cinética dK(Pt)

dt .

Subtraindo a equa¸cão 5.4.11 da equa¸cão 5.4.10 obtém-se

ρdγ

dt(x, t) = −div(q)(x, t) + ρr(x, t) + T : ∇ ˙x(x, t), (5.4.12) a qual é a forma local da equa¸cão do balan¸co de energia não-cinética. Perceba que, tanto na equa¸cão 5.4.11 como na 5.4.12, fazer t = b = q = 0 e r = 0 não impede que varia¸cões de energias cinética e não-cinética ocorram, enquanto que tal impedimento acontece para a energia total, de acordo com a equa¸cão 5.4.10. De fato, como

Z Pt div(T ˙x)dV = I ∂Pt T ˙x · ndS = I ∂Pt ˙ x · tdS,

então t = 0 exige div(T ˙x) = 0. Entretanto, t = 0 não implica em T : ∇ ˙x = 0. Esta fundamental diferen¸ca, portanto, é causada pela existência da energia de interconversão entre as energias cinética e não-cinética. Em resumo, pode-se afirmar que:

a massa se conserva em qualquer corpo, sob quaisquer condi¸c˜oes;

os momentos linear e angular, bem como a energia total, conservam-se no corpo sempre que este estiver completamente isolado do seu exterior, ou seja, nada existente fora do corpo interfira nele e vice-versa;

as energias cinética e não-cinética não se conservam mesmo que o corpo esteja completamente isolado do seu exterior, porque se convertem uma na outra, dentro do corpo, sem que se altere a energia total do mesmo.

Cap´ıtulo 6

Discuss˜ao

Conforme colocado ao final da se¸cão para balan¸co de energia, as energias cinética e não-cinética não se conservam nem sequer em corpo totalmente isolado, porque podem converter-se uma na outra sem que a energia total seja modificada, enquanto que esta ´

ultima não se pode alterar em corpo sujeito a isolamento. Entretanto, a parti¸cão da energia total nas duas parcelas somativas cinética e não-cinética, evidentemente não é a única poss´ıvel. Assim, podemos transferir uma por¸cão da energia de uma das duas parcelas para a outra, mantendo a mesma soma, mas mudando as parcelas aditivas.

Tal transferência, porém, não pode ser arbitrária e, para ter caráter geral e independente das caracter´ısticas espec´ıficas do corpo em questão, precisa envolver energias fisicamente bem definidas. Por isto, como a energia não-cinética é desconhecida sob o ponto de vista das ra´ızes históricas da mecânica dos meios cont´ınuos, não há como quan- tificar uma por¸cão dela a ser transferida. Mas sabemos que a energia cinética corresponde ao movimento e que, este, pode ser decomposto em r´ıgido e deformativo puro.

Os movimentos r´ıgido e deformativo puro foram definidos na se¸cão 2.5. O primeiro foi utilizado na 3.5 para demonstrar a simetria do tensor de Cauchy e novamente citado na se¸cão 5.3, onde mostrou-se que os balan¸cos de massa, momentos linear e angular, junto com a separa¸cão de qualquer movimento em dois componentes aditivos, sendo um r´ıgido e o outro deformativo puro, são conceitos coerentes entre si. Portanto, a energia cinética pode ser dividida em duas por¸cões, cada uma delas correspondendo a um dos

dois tipos de movimento fisicamente bem definido.

A potência de interconversão, mencionada no final do balan¸co de energia, na se¸cão 5.4, é dada pela integral volumétrica, sobre a região espacial Pt, do escalar −T :

∇ ˙x(x, t). Este pode ser decomposto em duas parcelas, uma devida ao movimento r´ıgido e outra `a deforma¸c˜ao, porque

T : ∇ ˙x(x, t) = T : ∇w(x, t) + T : ∇d(x, t).

Entretanto, como T é simétrico e ∇w é antissimétrico, o produto interno entre eles é nulo, isto é, T : ∇w(x, t) = 0, logo

T : ∇ ˙x(x, t) = T : ∇d(x, t).

Este fato fortemente sugere uma outra divisão em parcelas aditivas para a energia total do corpo, alternativa àquela em cinética e não-cinética.

Suponha, então, que a energia cinética da deforma¸cão pura seja retirada da parcela de energia cinética, nesta permanecendo somente a de movimento r´ıgido, enquanto que à parcela de energia não-cinética seja adicionada a cinética da deforma¸cão pura. Neste caso, a forma local da potência de interconversão entre as duas novas parcelas será T : ∇w(x, t) = 0 porque o valor de tal escalar depende do tipo de velocidade utilizada na equa¸cão 5.4.11, a qual é subtra´ıda da 5.4.10 para produzir a 5.4.12. Logo, ambas as duas parcelas referentes a esta nova divisão da energia total não poderão sofrer altera¸cão em corpo isolado, assim como a energia total e os momentos linear e angular. Podemos chamar a estas novas duas parcelas de energia cinética de movimento r´ıgido e energia interna.

E preciso, porém, lembrar que, conforme mostra a equa¸cão 5.4.12, a única ma- neira de transferir energia não-cinética de fora para dentro do corpo, ou vice-versa, é por meio do tipo de troca energética que denominamos calor. Além disto, de acordo com a equa¸cão 5.4.11, apenas trabalho pode efetuar trocas energéticas entre a energia cinética e o exterior. Ao se alterar o modo de divisão da energia total em duas parcelas, apenas trabalho referente a movimento r´ıgido consegue alterar a energia cinética de movimento r´ıgido, enquanto que tanto calor como trabalho de deforma¸cão pura podem modificar a energia interna.

Aliás, a termodinâmica tradicional considera que a energia interna não se altere caso haja isolamento e, não ocorrendo este, sua altera¸cão possa ser efetuada tanto por intermédio de trabalho como de calor. Além disto, se formos analisar as expressões ma- temáticas que a termodinâmica tradicional admite para o que denomina apenas trabalho, veremos que, em todos os casos, trata-se de um trabalho deformativo puro, ou seja, que não inclui movimento r´ıgido. Isto é especialmente fácil de perceber ao se considerar a bem conhecida expressão matemática que a termodinâmica tradicional utiliza para o trabalho volumétrico.

Em resumo, a alternativa divisão em parcelas apresentada nesta discussão é aquela considerada pela termodinâmica tradicional, enquanto que a separa¸cão em energia cinética e não-cinética é utilizada pela mecânica dos meios cont´ınuos. Isto não cria difi- culdades para nenhuma das duas disciplinas. De fato, como o balan¸co de energia cinética ´

e consequência dos balan¸cos de massa e momentos linear e angular, sua imposi¸cão nada acrescenta para ajudar na resolu¸cão dos problemas solucionados pela mecânica dos meios cont´ınuos. Por isto, na resolu¸cão de tais problemas impõe-se o balan¸co de energia total, ou o de não-cinética, dependendo da preferência do autor, já que o resultado será o mesmo. Geralmente, é algebricamente mais conveniente impor o balan¸co de energia não-cinética.

No que se refere à termodinâmica tradicional, este texto nada adiciona ao seu formalismo. Acreditamos, porém, que ele tenha significativo valor conceitual, no tocante a esta teoria. De novo, basta verificar as expressões matemáticas daquilo que é inclu´ıdo na primeira lei da termodinâmica, sob o nome de trabalho, para perceber que a mencionada lei se restringe ao trabalho deformativo puro, logo não é a lei da conserva¸cão de energia total em sistema isolado. Portanto entendemos que, ao tentar esclarecer melhor o que é energia interna, este texto produza significativa contribui¸cão conceitual à termodinâmica tradicional.

Apˆendice

´

Algebra Vetorial e Tensorial

Este apêndice não visa tratar à exaustão todos os objetos de estudo da Aná- lise Vetorial e Tensorial, mas tão somente fornecer subs´ıdios ao leitor que não estiver familiarizado com conceitos destas áreas ou relembrá-los ao leitor que já possui algum conhecimento do tema. Uma abordagem mais completa pode ser encontrada em diversas fontes, como em [2], [9], [3] e outras. É suficiente, no entanto, um conhecimento preliminar de Álgebra Vetorial, Matrizes e no¸cões de Cálculo Diferencial e Integral para entender os conceitos aqui expostos. Com a mesma intensão de relembrar ao leitor, são a seguir apresentados os significados de s´ımbolos matemáticos utilizados neste texto.

Lista de S´ımbolos Matem´aticos

E3 Espa¸co euclidiano tridimensional

V Espa¸co vetorial euclidiano

LinV = VN V Espa¸co vetorial dos tensores que operam em V α, β, γ... Escalares reais x, y, z... Pontos do espa¸co tridimensional euclidiano

u, v, w... Vetores do espa¸co euclidiano

T, S, U... Tensores que operam em V

ui _{Componente contravariante de um vetor u}

ui Componente covariante de um vetor u

Tij, Tij, Tji, T j

i Componentes covariantes, contravariantes e mistas de

um tensor T, respectivamente

G Base de um espa¸co vetorial covariante

G0 Base de um espa¸co vetorial contravariante

gi Elemento de uma base vetorial covariante

gi Elemento de uma base vetorial contravariante

gij Tensor m´etrico

δ_ji, δij, δij, ... Delta de Kronecker

ijk S´ımbolo de Levi-Civita ou Tensor Permuta¸c˜ao

g(., .) Produto interno de um espa¸co vetorial normado · Produto escalar de um espa¸co vetorial euclidiano

: Produto interno de dois tensores

⊗ Produto tensorial ou di´adico de dois vetores

tr(.) Tra¸co de um tensor

T−1 Tensor inverso de T TT _{Tensor transposto a T}

dev(.) Parcela desviante de um tensor sym Parcela sim´etrica de um tensor skw Parcela antissim´etrica de um tensor

o(h) Erro de uma fun¸cão em rela¸cão à aproxima¸cão linear dado um acréscimo h em seu argumento

∇ Operador gradiente

∇· ≡ div Operador divergˆencia ∇× ≡ rot Operador rotacional

R, S, P.... Regi˜oes limitadas do espa¸co tridimensional ∂R Fronteira da regi˜ao R.

n Vetor unit´ario normal orientado para o exterior de uma regi˜ao.

1 Vetores e Espa¸cos Vetoriais

O espa¸co tridimensional euclidiano E3 ´e um conjunto de pontos definidos por trˆ_{es coordenadas. Dois pontos x e y ∈ E}3 _{definem um vetor v ∈ V, sendo V denominado}

espa¸co vetorial. O vetor v pode ser visto como o segmento de reta orientado que liga o ponto x ao ponto y no espa¸co tridimensional. Neste caso, todo vetor é definido por uma lista de três números reais, chamados componentes, de modo que cada um desses componentes é dado de uma coordenada do ponto x da correspondente para o ponto y. Então, pode-se escrever v = y − x, significando que, se y = (y1, y2, y3) e x = (x1, x2, x3),

ent˜ao v = (y1− x1, y2− x2, y3− x3).

Um espa¸co vetorial V é um conjunto dotado de duas opera¸cões: A) Adi¸cão: ∀u, v ∈ V, u + v ∈ V

B) Multiplica¸c˜_{ao por escalar: ∀α ∈ R e ∀u ∈ V e , αv ∈ V. Tais opera¸c˜oes satisfazem `as} seguintes regras ∀α, β ∈ R e ∀u, v, w ∈ V:

A1) u + v = v + u

A2) u + (v + w) = (u + v) + w A3) ∃0 ∈ V tal que v + 0 = v

A4) ∀v ∈ V, ∃−v ∈ V tal que v + (−v) = v − v = 0 B1) α(βv) = (αβ)v

B2) (α + β)v = αv + βv B3) α(u + v) = αu + αv B4) 1v = v

Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} ´e denominado uma base de um espa¸co

vetorial de dimens˜ao n se:

1. For linearmente independente, isto ´e, se ∀α1, α2, ..., αn, αi ∈ R, ent˜ao α1v1+ α2v2 +

... + αnvn= 0 ⇐⇒ α1 = α2 = ... = αn= 0.

2. Gerar o espa¸co V, isto ´e, se cada u ∈ V puder ser escrito como uma combina¸c˜ao linear dos vetores desse conjunto.

Um espa¸co vetorial V pode ser gerado por infinitas bases de mesma dimens˜ao. Seja gi um vetor pertencente a determinada base de V. Considerando o que foi exposto

acima, podemos escrever qualquer vetor u ∈ V como a combina¸c˜ao linear u = n X i=1 uigi. (A.1)

Os n´umeros ui _{∈ R s˜ao os componentes de u na base {g}

i} e variam em virtude da escolha

da base do espa¸co V. Comparando a equa¸cão A.1 com o colocado no primeiro parágrafo, percebe-se a rela¸cão entre coordenadas e bases.

Nota¸c˜ao Indicial (ou de Einstein)

Em Álgebra Tensorial, somatórios como o da equa¸cão A.1 normalmente são suprimidos a fim de se obter uma nota¸cão mais limpa, sem que o sentido matemático da expressão se altere. A esta nota¸cão enxuta denominamos nota¸cão indicial ou nota¸cão de Einstein.

A nota¸c˜ao indicial compreende as seguintes regras:

a) Quando um ´ındice aparece repetido duas vezes em um somatório, uma vez como sub´ındice e a outra como super´ındice, o sinal de somatório pode ser suprimido. Por exemplo, considere o somatório

y =

i=1

cixi = c1x1+ c2x2+ c3x3.

Omitindo o somat´orio, podemos escrever a mesma express˜ao na forma enxuta

y = cixi, i = 1, 2, 3.

b) Quando um ´ındice aparece repetido uma única vez em uma expressão, não operamos o somatório sobre este ´ındice. Tal ´ındice é denominado ´ındice livre, uma vez que podemos alterá-lo como quisermos sem que isso altere o significado da expressão. Por exemplo, considere o somatório

yi = 3

j=1

Cijxj = Ci1x1+ Ci2x2+ Ci3x3.

Este somatório pode ser escrito de forma mais enxuta através da nota¸cão indicial, isto é

O ´ındice livre é i, de forma que podemos alterá-lo (para k, por exemplo), sem que isso altere o significado da expressão. Já o ´ındice j, que aparece duas vezes na expressão, não pode ser alterado livremente, sendo denominado ´ındice mudo. Isto significa que se alterarmos o ´ındice j para m, por exemplo, somos obrigados a alterar de j para m os ´ındices dos dois termos onde j aparece.

c) Caso um ´ındice apare¸ca duas vezes, uma vez como sub´ındice e outra como super´ındice, e por razão de contexto não queiramos realizar o somatório, devemos deixar indicada tal inten¸cão na frente da expressão. Por exemplo,

yi = cixi (sem somat´orio).

d) Caso um ´ındice apare¸ca repetido três ou mais vezes, não suprimimos o sinal de so- matório. A nota¸cão indicial restringe-se a dois ´ındices repetidos apenas. Por exemplo,

y =

i=1

λicixi.

A expressão acima não pode ser simplificada pela nota¸cão indicial como

y = λicixi,

porque as expressões acima não são equivalentes (na última, o ´ındice em λi é livre,

enquanto que em ci e xi ele ´e mudo).

Usando as regras apresentadas para a nota¸c˜ao indicial, podemos escrever a equa¸c˜ao A.1 como

u = uigi. (A.2)

Espa¸cos vetoriais podem ser dotados de uma opera¸c˜ao bilinear1, que mapeia dois argumentos vetoriais a um valor real, denominada produto interno. O produto interno ´e uma

1_{Uma fun¸}_c˜_{ao f : x 7−→ f (x) ´}_{e linear se obedecer `}_{as seguintes condi¸}_c˜_oes:

1. f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2)

2. f (αx) = αf (x)

Uma fun¸c˜ao pode ser bilinear, trilinear, ..., n-linear se as condi¸c˜oes de linearidade descritas acima forem observadas para cada um dos n argumentos.

A opera¸c˜ao mencionada no texto principal pode ser representada pela fun¸c˜ao bilinear g(u, v), g : V × V → R, que possui as seguintes propriedades: ∀u, v, w ∈ V e ∀α ∈ R,

1. g(u + αv, w) = g(u, w) + αg(v, w) (linearidade em cada argumento) 2. g(u, v) = g(v, u) (simetria)

propriedade genérica, a qual indica que um espa¸co vetorial é normado, isto é, que dentro deste espa¸co vetorial genérico existem as no¸cões de comprimento e distância. O conceito

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