L’EQUITABLE INTEREST ET LES TRUSTS DE PROTECTION ANGLO-AMÉRICAINS
A. Le droit fixe (fixed interest) 1. Notion
Neste trabalho, estudamos vários aspectos relacionados à formação de padrões em células de Hele-Shaw com levantamento tanto em estágios puramente lineares quanto em estágios não- lineares (intermediários) da evolução da interface. Nossa abordagem analítica incorpora a ação combinada de três parâmetros importantes para o problema, os estresses viscosos (que apare- cem sempre quandoδ = 1), o campo magnético aplicado (NB) e a tensão superficial (σ). Em particular, exploramos o fato da inclusão dos estresses viscosos no problema levar o sistema a depender de uma de suas condições iniciais, o espaçamento inicial entre as placas, ou a razão de aspecto inicial q. Esta dependência surge tanto em estágios lineares quanto em etapas não- lineares da evolução. Em níveis puramente não-lineares, um quarto importante parâmetro (a susceptibilidade magnética χ) surge no problema como resultado de estresses magnéticos - a tração magnética normal - na interface.
Em estágios lineares, seσ= 0, verificamos que os estresses viscosos regularizam o sistema, atuando como uma tensão superficial efetiva. Neste caso, a razão de aspecto inicial q influencia tanto o número típico de dedos formados nmax quanto a banda de modos instáveis ∆nc. ∆nc varia mais significantemente com NB para maiores valores de q, e nmax não depende de NB, apenas de q. Seσ 6= 0, verificamos que o número típico de dedos continua sendo influenciado por q, no entanto ∆nc não varia muito com mudanças nesse parâmetro. Quando os estresses viscosos radiais são considerados, encontramos que o número típico de dedos encontrado é consideravelmente menor que o predito pela análise de estabilidade tradicional que não consid- era o efeito desses estresses. Este resultado teórico é apoiado por resultados experimentais de fluxos em Hele-Shaw com levantamento considerando fluidos não-magnéticos [32, 40]. Isso indica que a inclusão dos estresses viscosos acrescenta um elemento importante para esclarecer discrepâncias recentes entre outros modelos teóricos (que desprezam os estresses viscosos) e experimentos acerca do número típico de dedos encontrado [39, 40].
Em estágios fracamente não-lineares, focalizamos na influência de δ e NB na competição entre os dedos viscosos. Encontramos que os estresses viscosos afetam significativamente a dinâmica de competição levando a uma interessante relação entre a razão de aspecto inicial
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e a intensidade da competição. Se o sistema é fortemente confinado em t = 0 (grande q), espera-se que a competição em instantes posteriores seja também maior. Fica mostrado, por- tanto, que a inclusão dos estresses viscosos é de considerável importância para uma descrição precisa do problema de levantamento. Identificamos também os papéis específicos de NB e deδ: enquanto os estresses viscosos atuam reduzindo a intensidade da competição, o campo magnético pode suprimi-lo completamente. O efeito intrisicamente não-linear introduzido pela tração magnética normal na condição de contorno generalizada de pressão [Eq. (2.8)] também foi examinado. Ele revelou o papel fundamental da susceptibilidade magnéticaχ no controle dos mecanismos de competição. Verificamos que, ao se escolher apropriadamente um fer- rofluido, isto é, ao selecionarχ, é possível controlar convenientemente o desenvolvimento dos dedos viscosos usando números magnéticos (intensidades de campo) bem menores que aqueles tipicamente preditos pela teoria linear. Neste sentido, a ação conjunta dos estresses viscosos normais, da tração magnética normal e do campo magnético, conspiram para inibir a formação de instabilidades de interface quandoσ 6= 0, e para prevenir a formação de singularidades de interface quandoσ = 0.
O fato de os estresses normais (viscosos e magnéticos) junto ao campo magnético azimutal atuarem reduzindo a formação dos dedos em fluxos com levantamento podem ter implicações importantes no cálculo da adesividade de materiais adesivos líquidos. Mostramos recentemente [Phys. Rev. E 70, 036311 (2004), Apêndice C] que, em condições em que a separação das pla- cas é realizada com velocidade constante, e desprezando os efeitos das instabilidades da inter- face, o campo magnético azimutal atua reduzindo a adesão entre as duas placas. Uma extensão natural deste trabalho seria investigar o papel dos estresses normais, do campo magnético e das instabilidades de dedos viscosos em propriedades adesivas de fluidos confinados em duas cir- cunstâncias: em que a separação é feita puxando a placa de cima com uma força constante [24] e quando a separação entre as superfícies é feita a uma taxa constante [31, 32, 33, 34, 38, 39].
Pretendemos também analisar o fluxo de ferrofluidos confinados em células de Hele-Shaw de espaçamento constante considerando a influência de um campo magnético externo que atua desestabilizando a interface inicialmente circular da gota. Esta nova configuração de campo magnético tem simetria radial e sua intensidade cresce linearmente com o raio. Pode ser obtido ao colocarmos os pólos norte de dois ímãs longos próximos um do outro. E tem ainda a grande vantagem de ser de fácil tratamento analítico se comparado a outros campos desestabilizantes, como por exemplo os campos perpendiculares.
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é geralmente feito através de simulações numéricas, ou métodos pertubativos. Por outro lado, e surpreendentemente, sabe-se que soluções exatas da dinâmica completamente não-linear (e não local) em células de Hele-Shaw podem ser representadas por equações locais relativa- mente simples, mesmo para casos não estacionários. A solução deste aparente paradoxo e a possibilidade de calcularmos tais soluções exatas são proporcionados pelo método da “vortex- sheet” [60], que leva em consideração a descontinuidade da componente tangencial da veloci- dade na interface que separa os dois fluidos. Um dos nossos principais objetivos será usar tal método para tentar revelar simetrias “escondidas” nos padrões que não são acessíveis por análises pertubativas ou puramente numéricas. As soluções exata de um problema, apesar de não serem exatamente idênticas aos padrões obtido por complicadas simulações numéricas, apresentam suas características morfológicas básicas, tornando-se assim muito mais que sim- ples curiosidades matemáticas, sendo potencialmente importantes no entendimento completo e estudo da validade das estruturas (padrões) obtidas por outros métodos teóricos.
É justamente esta possibilidade que planejamos explorar após a conclusão desta dissertação, analisando ferrofluidos submetidos a um campo magnético radial. Estaremos interessados em obter as soluções exatas que descrevem a forma dos padrões de interface gerados em estágios completamente não-lineares da dinâmica do sistema. Afim de encontrarmos tais soluções ex- atas, usaremos o método da vortex-sheet, dentro do qual as soluções exatas correspondem a impor uma condição de vorticidade nula na interface que separa os fluidos [61]. Em termos práticos, tal condição corresponde à forma da interface que resulta do equilíbrio perfeito en- tre as diversas forças atuantes no problema. No caso do campo magnético radial, teremos o equilíbrio entre as forças magnéticas e as de capilaridade (devida a tensão superficial). Em geral, obtém-se uma equação diferencial ordinária (de caráter local) que pode ser resolvida analiticamente, ou por métodos numéricos. Além da busca das soluções exatas citadas acima, pretendemos utilizar os métodos analíticos de estabilidade linear e análise fracamente não- linear que foram tão úteis nesta análise de sistemas de fluidos magnéticos confinados sob a ação de campo magnético azimutal [27, 29, 30] para um melhor entendimento e descrição das propriedades dos padrões gerados pelo campo radial.