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Os modelos estocásticos descrevem a bateria em um nível mais elevado de abstração. A descarga e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos. Um modelo estocástico, em geral, representa a bateria por um número nito de unidades de carga, e o comportamento de descarga é modelado usando um processo estocástico transiente em tempo discreto. A medida que o processo evolui ao longo do tempo (o qual é dividido em uma sequência de intervalos iguais), o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de carga restantes. Em cada intervalo de tempo, a corrente média de descarga é medida e usada para determinar o número de unidades de carga consumidas. Se esta média não é zero, o número de unidades drenadas é obtido de uma tabela de pesquisa que contém dados das taxas de capacidades. No entanto, se o intervalo não sofreu descarga, então a bateria recupera um certo número de unidades de carga. O número exato de unidades recuperadas é modelado utilizando uma função exponencial decrescente de densidade de probabilidade, a qual está baseada no estado de carga da bateria e nos coecientes, que dependem da bateria especíca, bem como das características de descarga. Durante o tempo de descarga, a bateria passa de um estado de carga completa, a um estado onde o nível de cuto é atingido, ou estado onde a capacidade teórica é exaurida [4].

Como exemplos dos principais modelos estocásticos, destacam-se o modelo de Chias- serini e Rao e o modelo KiBaM Modicado, os quais serão brevemente explicados a seguir. Os primeiros modelos estocásticos de baterias foram desenvolvidos por [15] utilizando ca- deias de Markov, onde são descritos dois modelos pricipais de bateria para um dispositivo portátil de comunicação.

No primeiro modelo, a bateria é descrita por uma cadeia de Markov no tempo discreto com N +1 estados, numerados de 0 a N (Figura 2.6). O número do estado corresponde ao número de unidades de carga disponíveis na bateria. Uma unidade de carga corresponde a quantidade de energia requerida para transmitir um pacote simples, onde N é o número de unidades de carga diretamente disponíveis com base no uso contínuo. Neste modelo simples, a cada passo de tempo uma unidade é consumida com probabilidade a1 = q

difusão chega a 0 ou quando um número máximo T de unidades de carga for consumido. O número T de unidades de carga é igual a capacidade teórica da bateria (T > N).

Figura 2.6: Modelo de bateria básico, utilizando uma cadeia de Markov por Chiaserini e Rao, [1,3].

O modelo KiBaM Modicado, é uma versão ampliada do modelo de Chiasserini e Rao. Novamente, tem-se uma cadeia de Markov no tempo discreto com N + 1 estados. Porém, neste segundo modelo, mais de uma unidade de carga pode ser consumida em um passo do tempo, com um máximo de M unidades de carga (M ≤ N). Desta forma, um maior consumo de energia pode ser modelado. Outro aspecto relevante é que há uma probabilidade diferente de zero de permanecer no mesmo estado. O que signica que nenhum consumo ou recuperação acontece durante um passo de tempo.

Além destes dois modelos, outros foram desenvolvidos com modicações dos apresen- tados anteriormente. Para melhorar o modelo, a probabilidade de recuperação foi feita dependente do estado. Quanto menos unidades de carga estão disponíveis, menor será a probabilidade de recuperar uma unidade de carga. O número fase (f) é uma função do nú- mero de unidades de carga consumidas. Quanto mais unidades de carga são consumidas, maior o número fase, diminuindo a probabilidade de recuperação. Com probabilidade

qi, onde i unidades de carga são requisitadas em um intervalo de tempo. Durante pe-

ríodos ociosos, a bateria pode recuperar unidades de carga com probabilidade pj(f ), ou

permanecer no mesmo estado com probabilidade rj(f ). A recuperação é então denida

por

pj(f ) = q0e(N−j)gN−gC(f), (2.2)

onde: gN e gC(f) dependem do comportamento de recuperação da bateria. Pode-se modelar diferentes cargas congurando apropriadamente as probabilidades de transição. Entretanto, não se pode controlar a ordem com que as transições são tomadas. Portanto, é impossível para o modelo xar padrões de carga e calcular seu impacto no tempo de vida da bateria.

A propriedade principal investigada por Chiasserini e Rao [1,3] é o ganho (G) obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante. Este ganho é denido

como

G = m

N

onde: m é o número médio de pacotes transmitidos, e para diferentes N variando de 3 a 50. O ganho aumenta quando a carga é reduzida, devido a maior probabilidade de recuperar.

O modelo nal é utilizado para modelar uma bateria de Li-Ion, onde N é congurado para aproximadamente 2 × 106 estados e 3 fases são utilizadas, o que resulta em uma

cadeia de Markov com aproximadamente 6 × 106 estados. O modelo é analisado por

cálculos numéricos, e os resultados são comparados com o modelo eletroquímico de [16]. Em ambos os modelos, o ganho obtido de descargas pulsadas comparado a descargas constantes é calculado para diferentes correntes de descarga. Os ganhos aumentam para taxas de descarga menores e densidades de correntes altas. O último é principalmente devido ao fato que as densidades de corrente estão próximas aos limites especícos da bateria. Quando a densidade de corrente está acima deste limite, a capacidade da bateria decai rapidamente e, portanto, o ganho obtido por descargas pulsantes aumenta.

Os resultados do modelo estocástico possuem um desvio médio em torno de 4%, quando comparado ao modelo eletroquímico, com um desvio médio de 1%. Estes resultados de- monstram que o modelo estocástico possui boa qualidade na descrição do comportamento de bateria sobre descargas pulsantes.

Além destes modelos, Chiasserini e Rao [5, 11, 16] também propuseram um modelo estocástico de bateria com base no Modelo Analítico Cinético de Manwell e McGowan [5] (KiBaM). Este modelo é utilizado para modelar baterias de Ni-MH, ao invés de baterias de chumbo-ácido, para o qual o modelo KiBaM foi originalmente proposto. Para modelar bateria de Ni-MH, o modelo sofreu algumas modicações. No termo correspondente ao uxo da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível foi adicionado um fator h2

extra. Deixando a recuperação mais lenta quando menos carga estiver na fonte de carga limitada. Também foi adicionado a possibilidade de não ocorrer recuperação durante períodos ociosos.

O comportamento da bateria é representado por uma cadeia de Markov no tempo discreto transiente. Os estados da cadeia de Markov são marcados por três parâmetros (i, j, t), onde os parâmetros i e j são os níveis discretizados da carga disponível e da carga limitada respectivamente, e t é o tempo de corrente ociosa, este é o número de passos no tempo tomado desde a última vez que a corrente foi drenada da bateria.

27× 10 e 45 × 10 unidades de carga respectivamente. O que resulta em uma cadeia de Markov grande para ser calculada como um todo. Deste modo, nenhuma solução analítica, para o modelo pode ser denida. Para obter o tempo de vida da bateria vários processos de descarga da bateria são simulados com o modelo [1].

As simulações mostram que os modelos estocásticos são bastante acurados, especi- almente o modelo KiBaM Modicado, uma vez que foi encontrado um erro máximo de 2, 65%para as simulações [1,3].