Dispositifs didactiques de la partie mathématique de la formation

Nous présentons par la suite les choix méthodologiques qui servent à opérationnaliser l’ingénierie de formation.

3.6.1 Démarche expérimentale

La démarche expérimentale en géométrie dynamique est institutionnalisée pour la formation sous forme de deux règles heuristiques : ‘voir plus que ce que l’on voit’, et ‘douter de ce que l’on voit’. La règle ‘voir plus que ce que l’on voit’ demande un contrôle conscient de la perception, cherchant à échapper aux mécanismes automatiques de la vision, qui donnent à voir certains aspects de la réalité perçue et en cachent d’autres (Duval, 1994). La règle ‘douter de ce que l’on voit’ rappelle le caractère hypothétique de toute affirmation sur ce qui est observé, et le besoin de soumettre à l’épreuve ces hypothèses. En effet, la perception visuelle ne peut pas être prise seule comme critère de vérité, à cause du caractère ambigu de certaines représentations, et des illusions optiques qui agissent en permanence à notre insu ; mais surtout par le fait qu’une figure statique n’est pas la seule représentation d’une figure, ce qui conduit au besoin de regarder plusieurs instanciations de la même figure (en déplaçant les objets), afin de distinguer les propriétés qui sont communes à toutes les instances, de celles propres à certains cas. Ces deux règles heuristiques se traduisent en actions concrètes : ‘voir plus que ce que l’on voit’ demande d’enrichir le dessin, en ajoutant des objets et des

‘mesures’ composantes de la figure (diagonales, prolongement des côtés, milieux, etc.), toutes ces actions pouvant être combinées avec le déplacement ; ‘douter de ce que l’on voit’ demande d’utiliser le déplacement, les mesures et l’oracle comme outils de validation.

3.6.2 Démarche empiriste

Afin que les formés puissent expérimenter la position d’un élève avec peu de connaissances théoriques, nous les confrontons directement avec des phénomènes visuels qu’ils devront décrire et interpréter, et seulement ensuite nous expliciterons la relation entre les différents phénomènes visuels, les propriétés géométriques et les primitives de Cabri.

3.6.3 Problématisation

Suivant les idées de Bachelard sur le sens du savoir (Bachelard, 1934), nous placerons les formés face à des problèmes, et nous présenterons les nouvelles techniques comme réponse à ces problèmes ; finalement, on explicitera la syntaxe des primitives de Cabri nécessaires pour la mise en oeuvre des techniques.

3.6.4 Validation, invalidation, déplacement

Comme nous l’avons dit, nous utilisons le ‘jeu de construction’, qui demande le déplacement des objets à l’écran pour valider les constructions : toute construction est validée par déplacement. Mais on travaillera également les validations intermédiaires, statiques et dynamiques, en proposant des problèmes qui nécessitent la distinction entre construction exacte et construction ajustée.

3.6.5 Validation théorique

Nous mettons en scène également la nécessité d’une validation théorique, en proposant des constructions impossibles ou des constructions qui ne sont pas possibles dans tous les cas de figure. De cette manière, le déplacement invalide toutes les constructions, et apparaît le besoin d’une explication théorique de cette invalidation.

3.6.6 Choix de la séquence de problèmes

Nous faisons l’hypothèse que les enseignants savent identifier sur des figures les phénomènes statiques (c'est-à-dire les relations entre les composantes d’une figure). Par contre, dans leur pratique courante, ils n’ont pas été confrontés à des phénomènes dynamiques. Pour cette raison nous faisons le choix de les confronter d’abord avec les phénomènes visuels dynamiques, afin de les familiariser avec leur identification et leur interprétation mathématique.

Ensuite nous allons les confronter avec la différence entre procédures de construction ‘sur papier’ et procédures de construction dans Cabri. En même temps, nous allons travailler la démarche expérimentale et la technique de division.

Dans une troisième phase, nous travaillerons la technique de lieux géométriques, et finalement nous poserons le besoin d’un contrôle théorique des constructions

Tableau 8 : séquence de problèmes

12

problèmes

Tous visent le développement de la macro-technique d’analyse : donc, application des règles heuristiques ‘voir plus que ce que l’on voit’ et ‘douter de ce que l’on voit’

ce que l’on voit’

1 et 2 Problèmes pour l’identification des phénomènes dynamiques et leur interprétation mathématique

3-7 Problèmes pour le développement de la technique de division, la mise en échec de techniques de construction statique et le développement des techniques de construction dynamique.

8-10 Problèmes pour le développement de la technique des lieux géométriques 11 et 12 Problèmes pour poser le besoin d’une validation théorique

3.6.7 Organisation du travail

Les formés sont organisés par binômes de la même école, afin qu’ils puissent interagir même pendant la période de suivi à distance. Chaque enseignant dispose d’une calculatrice TI-92 ou TI-voyage 200, avec Cabri.

Durant le cours présentiel, ils disposent de deux heures de travail par problème, avec 10 minutes de travail individuel, 60 minutes de travail en binôme et 50 minutes de mise en commun.

Lors de la période à distance, chaque enseignant doit dédier par semaine : une heure au travail individuel, une heure au travail en binôme, et une heure de communication (rédaction et envoi d’un rapport de travail, et ‘chat’ pour la mise en commun)

3.6.8 Données recueillies

De la Partie Mathématique présentielle, on a enregistré en vidéo les cycles complets de résolution des 12 problèmes travaillés : travail individuel d’un membre du binôme, dialogues du binôme, et mise en commun de tous les groupes. Pour chaque problème, on a enregistré des binômes différents, pour avoir des données de tous les participants. Etant donné que nous voulions observer le développement d’une praxéologie, il était indispensable d’avoir des données sur tous les sujets de l’institution. .

De la Partie mathématique à distance, on a recueilli les rapports individuels de résolution de tous les problèmes travaillés (5 en total), les courriels échangés et les ‘chats’. (seuls 3 enseignants ont envoyé régulièrement des rapports, entre 16 et 20 rapports au total)