Discussions

La commande proportionnelle U/f englobe quelques commandes classiquement uti- lis´ees : la commande plus-ou-moins, la commande proportionnelle et la commande pro- portionnelle en fr´equence utilis´ee pour les syst`emes stick-slip. Par rapport `a cette der- ni`ere, l’avantage suppl´ementaire est le fait d’augmenter la r´esolution. Par rapport `a la commande habituellement utilis´ee repr´esent´ee par l’algorithme (4.50), la commande pro- portionnelle U/f est plus pr´ecise si le capteur utilis´e le permet. En effet, la diminution de l’amplitude U = KU.ε conform´ement `a l’erreur fait ´egalement diminuer la valeur du

pas. De plus, la diminution de la fr´equence f = Kf.ε r´eduit le nombre de pas et donc le

nombre de phases o`u il y a des vibrations.

Nous avons test´e la commande classique de l’algorithme (4.50) ainsi que la com- mande proportionnelle U/f avec un capteur interf´erom´etrique de r´esolution 1, 24nm. Les installations utilis´ees ont un temps de rafraˆıchissement Ts et un temps de r´eponse

Trrelativement importants : le conditionneur de l’interf´erom`etre et le PC (Labview sous

Windows-XP). Une faible fr´equence est donc utilis´ee pour l’algorithme (4.50) afin d’´evi- ter les oscillations autour de la valeur finale.

LesFig.4.31montrent les r´esultats obtenus avec la commande classique en utilisant une consigne de 10µm. L’agrandissement (Fig. 4.31-b) montre que l’erreur statique est de 130nm environs. Comme on le voit sur la figure, la r´esolution du mouvement juste avant l’arrˆet est ´egale `a la moiti´e d’un pas au lieu d’un pas. En fait nous utilisons un signal en dents-de-scie de valeur crˆete-`a-crˆete (±150V ) de telle sorte qu’au moment de couper l’alimentation, seule la moiti´e de celle-ci est supprim´ee (150V → 0V ).

0 10 20 30 40 50 (a) (b) 60 70 80 90 100 −2 0 2 4 6 8 10 Commande classique t [s] t [s] x [µm] x [µm] 78 80 82 84 86 88 90 92 94 9. 2 9. 3 9. 4 9. 5 9. 6 9. 7 9. 8 9. 9 10 Agrandissement erreur statique

Fig. 4.31 – Commande proportionnelle U/f en utilisant un interf´erom`etre. a : d´eplace- ment `a grande distance. b : agrandissement de la position finale.

Les Fig.4.32montrent les r´esultats obtenus avec la commande proportionnelle U/f avec une consigne de 1mm. L’agrandissement (Fig. 4.32-b) indique que l’amplitude et la fr´equence deviennent de plus en plus petites. L’erreur statique devient ´egalement de plus en plus petite. En revanche, le rendement ηpas devient de plus en plus faible. Cela

est caus´e par la diminution de l’amplitude U . L’acc´el´eration r´esultante durant la phase slip diminue ´egalement, ce qui r´eduit la force g´en´er´ee pour r´ealiser le glissement.

0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 Ku=800000 [V/mm] Kf=1000 [Hz/mm] x [µm] x [µm] t [s] (a) (a) t [s] 15 20 25 30 35 40 45 50 55 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10 10.1

Fig. 4.32 – Commande classique en utilisant un interf´erom`etre. a : d´eplacement `a grande distance. b : agrandissement de la position finale.

4.6

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons ´etabli deux types de mod`eles correspondant respective- ment au fonctionnement en sous-pas et en grande distance. Nous avons ´egalement mis en oeuvre des lois de commande pour l’asservissement des positions lin´eaires et angulaires.

Dans un premier temps, le comportement du syst`eme `a l’int´erieur d’un pas (fonc- tionnement en sous-pas) a ´et´e mod´elis´e par deux r´ealisations d’´etat correspondant au fonctionnement en translation et en rotation. Ces mod`eles ont ´et´e obtenus `a partir des ´

equations de la pi´ezo´electricit´e associ´ees aux actionneurs utilis´es et du mod`ele de frotte- ment ´elasto-plastique `a simple ´etat. Ce dernier a ´et´e choisi car il prend en compte l’´etat interne du contact durant la phase stick. La mise en oeuvre d’un contrˆoleur proportion- nel et int´egral (PI) a permis d’atteindre des performances suffisantes pour la r´ealisation de tˆaches de micro-assemblage de haute pr´ecision.

Dans un deuxi`eme temps, un mod`ele pour les d´eplacements `a grande distance `a ´

et´e ´elabor´e. Dans ce mod`ele, la vitesse est bi-affine par rapport aux entr´ees consid´er´ees (fr´equence f et amplitude U ). Nous avons alors propos´e une commande appel´ee(( com-

4.6 Conclusion 109

mande proportionnelle U/F )) dans laquelle ces deux grandeurs sont proportionnelles `a l’erreur. L’analyse effectu´ee a montr´e que si le temps de rafraˆıchissement Ts du contrˆo-

leur est convenable, le syst`eme boucl´e est toujours stable. Les avantages de ce nouveau contrˆoleur sont sa simplicit´e (comparable `a celle d’une commande proportionnelle) et une am´elioration de la r´esolution (diminution des vibrations et diminution de la valeur du pas quand le microsyst`eme s’approche de la position consigne).

Chapitre 5

Mod´elisation et commande des

poutres pi´ezo´electriques

Ce chapitre est consacr´e `a la commande des poutres pi´ezo´electriques. Deux ´etudes sont men´ees : commande en d´eflexion et commande en force. Le d´eroulement du chapitre est le suivant. Pour la commande en d´eflexion, nous mod´elisons le transfert tension- d´eflexion avec l’approximation multilin´eaire. Puis, un correcteur PID, un correcteur par placement de pˆoles robuste (RST) et deux correcteurs multivariables robustes (H∞

et µ-synth`ese) sont appliqu´es. Pour la commande en force, une estimation plus pr´e- cise de celle-ci est d’abord pr´esent´ee. L’estimation se base sur une mod´elisation non- lin´eaire compl`ete (prenant en compte l’hyst´er´esis et la d´erive) du transfert tension-force- d´eflexion. La force ´etant connue, nous reprenons la technique d’approximation multili- n´eaire pour avoir un mod`ele tension-force `a partir duquel les lois de commande seront synth´etis´ees. Nous utiliserons les commandes PID et H∞ pour la commande en force.

La Fig. 5.1r´esume le d´eroulement du chapitre. Dans un but d’utiliser des calculateurs num´eriques embarqu´es pour les poutres pi´ezo´electriques, les contrˆoleurs synth´etis´es et l’estimateur de force pr´esent´ees ici sont discrets.

5.1

Introduction