Discussion sur les limites du modèle numérique

Les deux paramètres évoqués dans les hypothèses, l’ellipticité des résonateurs et la différence de hauteurs entre les deux résonateurs, permettent d’améliorer la cohérence entre réponses en fréquence expérimentales et numériques (notamment grâce à la prise en compte de la différence de hauteur) mais ne solutionnent pas les différences entre les orientations des modes de vibration des piliers. Ce sont pourtant les paramètres physiques les plus importants, en plus de la rugosité des flancs dont l’impact a déjà été étudié. Il semblerait donc que ce soit le modèle numérique qui présente des limites. En particulier, deux éléments propres aux simulations numériques semblent créer des divergences entre expériences et simulations : le maillage a une influence sur les comportements des résonateurs (voir section 3.4.5) et la ligne source semble forcer les piliers à vibrer suivant la direction de propagation de l’onde. Nous

Chapitre 4. Paires de résonateurs couplés par la surface discutons ici les limites liées à ces deux paramètres. Limites liée au maillage de la structure

Comme cela a été évoqué dans la partie 3.4.5, la façon de mailler la structure utilisée pour l’analyse numérique fréquentielle influe sur les fréquences de résonance des piliers et donc aussi sur les réponses en fréquence de chaque résonateur d’une paire. En outre, lors de l’étude de piliers couplés, il est impor- tant de choisir un maillage tel qu’un certain nombre d’élements se trouvent entre les deux résonateurs : il est nécessaire que ce nombre d’éléments entre les résonateurs soit maximal afin que les calculs soient les plus précis possibles dans cette zone. Il serait alors confortable qu’au moins dix éléments de maillage séparent les deux piliers. Avec la distance de séparation de 1,5 µm étudiée jusqu’ici, cela impose que les éléments du maillage aient une taille de 150 nm au maximum. Un tel maillage a été testé dans la sec- tion 3.4.4 ; le temps de calcul pour un pilier isolé pour une fréquence est d’environ 90 minutes, sachant qu’il sera plus important pour une structure avec une paire de piliers. L’étude du couplage entre deux pi- liers nécessitant des pas en fréquence relativement faibles (50 kHz) sur une largeur d’une dizaine de mé- gahertz, un tel maillage impliquerait un temps de calcul de plus de 12 jours pour une seule configuration. Ce temps, en plus de problèmes liés à la mémoire nécessaire pour le calcul, est totalement rédibitoire. L’étude de tels phénomènes physiques à une échelle très sub-longueur d’onde peut donc s’avérer plus ou moins délicate avec la méthode des éléments finis, pour les raisons évoquées ici. En ce sens, il aurait pu être intéressant de compléter ces simulations avec un modèle analytique pour lequel on s’affranchit de ces considérations de dimensions liées à un maillage. Cette étude analytique pourrait s’appuyer sur un modèle de résonateurs couplés de type masse / ressort, en tenant compte des deux dimensions de l’espace (afin de voir l’influence des deux modes de flexion orthogonaux d’un résonateur cylindrique sur les phénomènes de couplage). Toutefois, un tel modèle, du moins dans sa forme classique, ne permettrait pas la prise en compte de l’influence du vecteur d’onde incident.

Limites liée à la source

En plus des incertitudes liées au maillage, les orientations des modes de vibration obtenues nu- mériquement laissent supposer qu’elles sont fortement influencées par l’orientation de la source et le déplacement qui lui est imposé (déplacement suivant le plan sagittal). Cette source avait été initialement choisie comme telle dans le but de s’apparenter au mieux aux ondes générées par les peignes interdigités, c’est-à-dire d’obtenir un front d’onde droit parallèle aux peignes. Au vu des résultats des simulations nu- mériques, on choisit de tester de nouvelles sources. La première idée consiste à utiliser un point source plutôt qu’une ligne source, afin de ne privilégier aucune direction. Initialement, ces simulations avec point source avaient pour but de décorréler l’influence de l’onde source propagative de l’interaction pi- lier / pilier. En ce sens, le choix de la position du point source s’est porté sur un des deux piliers. Ainsi, un seul des piliers est directement excité et les amplitudes observées sur l’autre pilier, si il y en a, sont uniquement dues à l’excitation du premier pilier et donc au couplage entre les résonateurs. Plusieurs simulations numériques ont donc été effectuées sur des piliers isolés et des paires de piliers, en disposant le point source soit au sommet du pilier (sur un bord de pilier), soit en surface du substrat (à l’interface entre bord du pilier et surface du substrat). Comme avec la ligne source, on impose au point source un déplacement mécanique de 1 nm suivant z (hors-plan) et 1 nm suivant l’axe x. Les résultats montrent alors que cette méthode n’est pas convaincante car le fait d’imposer un déplacement en un point du pilier force aussi une direction de vibration, comme avec la ligne source. Une seconde alternative a donc été essayée : elle consiste à exciter un ou les deux piliers suivant son (leur) mode propre. Pour cela, on ef- fectue une première simulation avec la ligne source ; on utilise ensuite la forme du mode obtenue comme source pour une seconde simulation. Plus concrètement, on enregistre les déplacements en quatre points

4.5. Prise en compte des imperfections de fabrication du sommet du résonateur et l’on utilise ces déplacements comme source pour la simulation finale. Ainsi, de cette façon, la source utilisée correspond à la vibration « naturelle » du résonateur. Ces simulations présentent toutefois un inconvénient au niveau de la durée de calcul : d’abord il est nécessaire d’effectuer deux simulations (une première avec la ligne source et ensuite une seconde avec les déplacements en quatre points du résonateur) et surtout, le déplacement mécanique de la deuxième simulation varie pour chaque fréquence. Nous sommes alors contraint de modifier la source pour chaque fréquence et donc de réitérer la simulation pour chaque fréquence. Le temps considérable pris pour effectuer une telle simu- lation nous oblige à limiter notre étude à quelques configurations de paires de piliers seulement. Deux d’entre elles sont décrites ci-dessous.

FIGURE4.17 – Etude numérique de deux piliers d’une paire, espacés de 1,5 µm, en configuration longitudinale, excités grâce à la vibration du pilier P1. Le pilier le plus proche de la source (P1) a une hauteur de 4,0 µm (courbe orange), le pilier le plus éloigné (P2) a une hauteur de 3,9 µm (courbe en violet). (A gauche) Réponses en fréquence des deux piliers couplés (P1 en orange, P2 en violet). En pointillés : réponses en fréquence de chaque pilier pris individuellement (P1 en rouge, P2 en vio- let). (A droite) Cartographies des champs de déplacement hors-plan pour deux fréquences d’intérêt : f = 75,95 MHz (A) et f = 77,45 MHz (B) ; en haut : cartographies de l’amplitude (|uz|), au milieu : cartographies de la phase et en bas : cartographies de l’amplitude en surface du substrat uniquement. Les cartographies couvrent chacune une zone de 13 µm par 7 µm.

On choisit de présenter le cas de la paire de piliers espacés de 1,5 µm en configuration longitudinale puisque c’est celui pour lequel il subsiste des divergences avec les mesures expérimentales. On fixe la hauteur du premier pilier à 4,0 µm et celle du deuxième à 3,9 µm parce que c’est avec ces hauteurs que les réponses en fréquence numériques s’approchent le plus des réponses expérimentales. Un premier essai a été réalisé en utilisant comme source les déplacements des deux piliers de la paire : on effectue séparément l’analyse fréquentielle des deux piliers isolés excités par la ligne source et l’on enregistre les déplacements (suivant les trois axes x, y et z) en 4 points de chacun des piliers ; ces 8 déplacements ainsi obtenus sont exploités comme source pour la seconde simulation. Cet essai n’est pas convaincant : la simulation finale ne montre aucune interaction entre les deux résonateurs, la réponse en fréquence de chaque pilier est quasiment identique à la réponse obtenue avec la première simulation (pilier isolé excité par une source linéaire). Un second essai consiste à utiliser comme source les déplacements d’un

Chapitre 4. Paires de résonateurs couplés par la surface

seul des deux piliers. On utilise donc les déplacements en 4 points du pilier P1 comme source pour ex- citer la paire de résonateurs. Les réponses en fréquence ainsi obtenues sont présentées en Figure 4.17 ; comme auparavant, elles sont obtenues par extraction de la valeur maximale du module du déplacement hors-plan en surface de chaque pilier. Pour faciliter la comparaison, les réponses en fréquence des deux piliers étudiés séparément (piliers isolés) sont ajoutées en pointillés sur le graphe. Les réponses en fré- quence montrent que le pilier P1 (qui est utilisé comme source) se comporte comme un pilier isolé : sa réponse en fréquence est quasiment identique à celle obtenue avec la ligne source pour le pilier pris individuellement (courbe orange superposée à la courbe rouge). On retrouve ainsi les mêmes difficultés que lors de l’étude numérique précédente (en prenant comme source les déplacements de deux piliers). Cela peut s’expliquer par le fait que l’on impose délibérément à ce pilier un déplacement typique de la résonance de ce pilier seul, c’est-à-dire qu’on le force à vibrer de cette façon. Il ne peut donc pas se comporter différemment d’un pilier isolé. Le fait d’imposer un tel déplacement en quatre points de sa surface ne permet pas d’observer une éventuelle rétroaction, due à l’interaction avec le second pilier de la paire. La seule différence entre la réponse de ce pilier (servant de source) et du même pilier pris indi- viduellement se situe au niveau de la fréquence propre du pilier P2 (proche de f = 77,80 MHz), où l’on constate une très légère augmentation des amplitudes. En revanche, la réponse en fréquence du second pilier met en évidence une excitation du pilier : on constate la présence de deux modes d’amplitudes non négligeables. Le premier de ces modes apparaît à une fréquence proche de la fréquence de résonance du pilier P1 (supérieure de quelques dizaines de kilohertz) : les déplacements de P1 étant maximaux à sa fréquence de résonance, ils permettent d’émettre une onde de forte amplitude (comparativement aux amplitudes émises aux fréquences hors-résonance) et ainsi favoriser l’excitation du pilier P2. Le second mode apparaît à une fréquence proche de la fréquence de résonance du pilier P2 pris individuellement (inférieure de quelques dizaines de kilohertz). Concernant les orientations des modes, les cartographies du champ de déplacement hors-plan aux fréquences correspondant aux deux modes ( f = 75,95 MHz et f = 77,45 MHz), présentées en Figure 4.17, montrent que les deux piliers vibrent suivant la même direction pour les deux modes. C’est également le cas pour d’autres fréquences typiques, non présentées ici. On n’observe donc toujours pas de rotation de 90° d’un mode à l’autre. En fait, cette méthode de si- mulations est inefficace car les premières simulations avec la source linéaire imposent aux piliers (isolés) de vibrer suivant la direction de propagation, à l’instar de ce qui a été observé en section 3.4.1. Ainsi, le pilier servant de source pour la simulation finale se comporte de la même façon que lors de l’étude avec une ligne source. Cette tentative de simulation montre toutefois qu’en excitant un seul des deux piliers, le second pilier de la paire entre en vibration et présente des résonances. Cela prouve donc le couplage entre les deux résonateurs (et l’interaction entre eux, comme on peut le constater sur la cartographie de la surface du substrat en Figure 4.17 pour f = 77,45 MHz) mais ne résout pas le problème concernant les divergences d’orientations des modes de vibration entre expériences et simulations.

Des études numériques de recherche de valeurs propres ont aussi été réalisées avec des paires de résonateurs mais cette méthode de recherche ne permet pas non plus la prise en compte de l’influence du vecteur d’onde incident. Il faut toutefois rappeler que les simulations numériques telles que présentées dans ce manuscrit ne prennent pas en compte la dissipation et d’éventuelles non-linéarités des maté- riaux. L’introduction de ces deux propriétés dans les modèles numériques pourrait permettre de mieux retranscrire numériquement les comportements (caractères vectoriels en particulier) observés expérimen- talement.

4.6 Conclusion intermédiaire

Les résultats obtenus jusqu’ici dans ce chapitre démontrent la présence de couplage entre deux piliers espacés de 1,5 µm. Ce couplage se manifeste par une séparation en plusieurs modes (deux ou trois selon

4.7. Influence de la distance de séparation