Discussion

La forme des frappes de processus peut être aisément représentée à l’aide d’un réseau d’automates synchronisés, car chaque sorte possède un rôle similaire à celui d’un automate et chaque action pouvant être remplacée par un ensemble de transitions étiquetées avec le même libellé. Plus généralement, les frappes de processus avec actions plurielles peuvent être considérées comme une restriction des réseaux d’automates stochastiques introduits par (Plateau & Atif, 1991) pour la modélisation des systèmes parallèles.

Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l’utilisation du formalisme des réseaux d’automates (AN, Automata Networks) (Folschette et al., 2015; Paulevé, 2016a), et qui englobe notamment le cadre des frappes de processus avec actions plurielles. En effet, comme il a été indiqué dans ce chapitre, les modèles qualitatifs ont reçu une attention

52 2.5 — RRB via les frappes de processus considérable, en raison de leur capacité à saisir les comportements biologiques complexes efficacement grâce à des abstractions.

Néanmoins, l’originalité de notre contribution est de considérer les modèles AN : ce formalisme permet aux entités d’avoir des niveaux d’expression booléens (1 pour actif et 0 pour inactif) ou multivalués. Il peut représenter des interactions complexes par des transitions locales dans les automates en relation avec les états des autres automates. Ces transitions locales conditionnelles remplacent alors les transitions plurielles dans les frappes de processus.

Cette approche de modélisation avec le formalisme AN (présentée avec plus de détails dans le chapitre 3 suivant) permet de représenter une large gamme de modèles dynamiques. En outre, la forme particulière de ses transitions locales peut être bien gérée en le langage de la programmation logique, Answer Set Programming (ceci est montré dans le chapitre 6). Enfin, ce cadre permet de représenter aussi des modèles synchrones non déterministes, contrairement aux travaux précédents sur l’analyse de la dynamique (dont quelques uns sont cités dans ce chapitre) qui sont axés sur des modèles asynchrones ou synchrones déterministes. Nous détaillons ceci dans le chapitre 5.

Chapitre 3

Les Réseaux d’automates avec le

temps

Nous introduisons dans ce chapitre, une extension du formalisme des réseaux d’automates (AN, Automata Networks) appelée les réseaux d’automates avec le temps (T-AN, Timed Automata Networks). Cette extension consiste à enrichir les AN par l’intégration d’une information temporelle appelée le délai. Cette nouvelle composante du temps qui est spécifique à chaque transition locale dans un T-AN, fournit une précision sur la durée nécessaire pour que la transition s’active afin de changer l’état d’un composant. De plus, cet enrichissement permet de restreindre la dynamique générale des AN afin de saisir un comportement plus réaliste. Ainsi, nous développons dans ce chapitre une nouvelle sémantique de la dynamique des T-AN qui est raffinée par rapport à celle des AN.

Ce travail a d’abord été publié dans (Ben Abdallah, Ribeiro, Magnin, Roux & Inoue, 2016) puis une version étendue a été publiée dans (Ben Abdallah, Ribeiro, Magnin, Roux & Inoue, 2017).

3.1 Introduction

L’objectif de ce chapitre est de montrer comment nous introduisons le temps dans les réseaux d’automates (AN) et ainsi de passer des AN vers des réseaux d’automates avec le temps (T-AN).

Le formalisme des AN a été introduit dans une forme restreinte appelée les "Frappes de Processus" dans (Paulevé, 2011) et que nous avons précédemment présentées dans la section 2.5 en page 42 du chapitre 2. Il s’est avéré que le formalisme AN est adéquat pour modéliser les réseaux de régulation biologiques (Paulevé et al., 2014). Un AN modélise les composants du système étudié et leurs interactions. En effet, à partir d’un AN, nous

54 3.1 — Introduction construisons la séquence des événements discrets qui illustre la dynamique du système modélisé. Cette séquence est une succession des états du réseau et montre seulement l’ordre chronologique entre les états sans aucune information sur la durée qui les sépare. Il n’y a pas d’information sur la mesure chronométrique du temps passé dans un état avant de changer vers un nouvel état successeur. Ceci est dû au fait que les interactions sont considérées comme instantanées dans un AN. La figure 3.1 ci-dessous illustre la durée de temps à laquelle nous nous intéressons et qui est nécessaire au déclenchement d’une transition.

Figure 3.1 : Tirée de (Thomas, 1978) : explication des délais dans une interaction entre deux composants S et σ. (a) Si le gène S est activé à l’instant indiqué par la flèche gauche (S change de 0 à 1), le produit σ apparaîtra et atteindra une concentration efficace, mais seulement après un délai d’"établissement" tσ, (σ change de 0 à 1). Lorsque S est désactivé (flèche à la droite), S tombe de 1 à 0 et σ le suivra après un délai de "dégradation" tσ¯. Les valeurs successives de σ et S sont = : 0/0, 0/1, 1/1, 1/0 et 0/0. (b) Le gène S s’exprime par une enzyme σ qui catalyse la transformation du métabolite A en α. Le produit α empêche à son tour l’expression du gène S. Ceci est une boucle de rétroaction négative.

Par conséquent, notre but est de raffiner la dynamique des AN par l’introduction d’un aspect temporel comme celui indiqué dans cette figure 3.1. Nous intégrons alors une composante temporelle dans les interactions qui existent entre les composants du système. Cette variable de temps δ (noté par tσ et t¯σ dans la figure 3.1 ci-dessus) est spécifique pour chaque interaction et représente la période nécessaire pour qu’une interaction réalise son effet. Autrement dit, δ est la durée dont la transition a besoin pour que le changement qu’elle cause soit effectif.

Dans les AN, nous représentons une interaction par une transition locale dans un automate (i.e., un composant du système) et cette transition est responsable du changement de l’automate d’un état discret vers un autre. L’activation d’une transition locale (c’est-à-dire elle débute son influence sur le composant qu’elle cible) est conditionnée par les états

Chapitre 3 — Les Réseaux d’automates avec le temps 55 d’autres automates du réseau et plus précisément, seulement ceux qui ont une influence sur l’automate ciblé. Nous présentons davantage ce formalisme des AN dans la section 3.2.

Nous introduisons aussi dans ce chapitre l’impact de cet enrichissement sur la dynamique du modèle. En effet, l’ajout de telles informations temporelles peut permettre de privilégier un chemin sur un autre à un moment de l’évolution du modèle. Leur intégration permet donc d’affiner le modèle en réduisant les comportements possibles afin d’obtenir un modèle plus proche du système modélisé. Nous montrons dans la section 3.3 de ce chapitre, que la sémantique de la dynamique des T-AN est beaucoup plus affinée que celle des AN. En fait, la sémantique de la dynamique des AN porte principalement sur l’asynchrone ou sur le synchrone. La différence entre ces deux dernières réside dans le fait qu’en asynchrone, une seule transition locale peut s’activer entre deux états successifs du réseau, mais en sémantique synchrone, toutes les transitions sont activées en parallèle. Par contre, ce que nous montrons dans ce chapitre, c’est que la dynamique d’un réseau est plutôt une sémantique combinée entre l’asynchrone et le synchrone et que le choix est fait selon l’état du réseau au cours de son évolution dynamique et selon le modèle T-AN lui même. En effet, c’est grâce à l’introduction du temps qu’une telle sémantique s’impose et c’est ce que nous montrons dans la section 3.3 de ce chapitre.

Finalement, nous comparons dans la section 3.4, notre formalisme T-AN par rapport à d’autres formalismes existants qui intègrent aussi une variable du temps et qui présentent des sémantiques différentes. Nous concluons ce chapitre par une discussion dans la section 3.5.