DISCUSSION G´EN´ERALE ET RETOMB´EES
Bien que les processus adaptatifs aient ´et´e appliqu´es avec succ`es pour les ´ecoulements tridimensionnels externes non-visqueux et compressibles, les ´ecoulements internes restent probl´ematiques. Ces ´ecoulements sont en effet tr`es sensibles aux effets de parois et aux inter- actions entre ces parois dˆus `a la turbulence. N´eanmoins, les technologies adaptatives semblent suffisamment int´eressantes et prometteuses pour s’y int´eresser imm´ediatement. Il faut donc mettre en oeuvre un processus adaptatif tel que d´ecrit dans la litt´erature en trois dimensions pour des g´eom´etries industrielles telles que d´ecrites `a la section 1.1.1 et suivre ou compl´eter les d´eveloppements permettant d’appliquer le processus aux ´ecoulements internes.
On commence donc par la mise en oeuvre d’un processus adaptatif permettant de donner des r´esultats fiables pour un probl`eme avec un seul scalaire. Cette premi`ere boucle adapta- tive n´ecessite la mise en oeuvre d’un estimateur d’erreur, d’une librairie de modification de maillage et d’une boucle adaptative. Afin d’effectuer ces mises en oeuvre de fa¸con m´ethodique et rigoureuse, on doit ´emettre des hypoth`eses sur les objectifs de chacune des composantes et ensuite mesurer si ces objectifs ont ´et´e atteints.
Dans le cas de l’estimateur d’erreur, les travaux de Zienkiewicz et de Zhu sont d´ej`a tr`es rigoureux sur la mise en oeuvre de l’estimateur d’erreur. L’utilisation d’une solution manufactur´ee et les graphes de convergence de la reconstruction utilis´ee et de la convergence entre l’estimateur d’erreur et l’erreur exacte permettent de v´erifier que la mise en oeuvre est correcte.
Dans le cas du calcul du maillage adapt´e, on peut utiliser une carte de taille analytique aux fins de comparaison, mais on ne dispose pas d’une mesure unique permettant de mesurer `a quel point le maillage adapt´e correspond `a la carte de taille que le maillage doit satisfaire. On a donc propos´e une nouvelle mesure qui compare les tenseurs de la carte de taille avec la m´etrique de la transformation qui rend l’´el´ement ´equilat´eral. Cette mesure permet de valider que le maillage est bien adapt´e `a la carte de taille analytique utilis´ee comme cas test.
Finalement, dans le cas de la boucle adaptative, il n’existe pas de fa¸con formelle de v´erifier que le processus adaptatif fonctionne bien. En effet, le but exprim´e des processus adaptatifs est d’´equir´epartir l’erreur d’approximation. Les th´eories d’approximation parlent du probl`eme minimax afin de d´efinir l’approximation optimale. Il s’agit de minimiser la distance maxi- male entre la fonction `a approximer et l’interpolation. Dans ce contexte, l’approximation est optimale quand tous les ´el´ements ont la mˆeme distance maximale entre l’approximation et
la fonction `a approximer. L’´equir´epartition correspond donc, dans ce contexte, `a g´en´erer un maillage adapt´e pour lequel tous les ´el´ements auront la mˆeme distance maximum entre la solution num´erique et la solution manufactur´ee. La distance maximale est bien entendu la norme L∞´el´ementaire de l’erreur d’approximation. Comme cette mesure varie d’un ´el´ement
`a l’autre, on s’int´eresse plutˆot `a la population des normes ´el´ementaires maximum de l’erreur d’approximation, `a sa moyenne et `a sa variance. Tout ´ecart notable est signe d’un probl`eme d’implantation. De plus, des r´egions coh´erentes o`u la norme ´el´ementaire maximum s’´ecarte de la moyenne indiquent des probl`emes. L’´equir´epartition de l’erreur n’est pas une quan- tit´e qui est mesur´ee ou qui est surveill´ee dans la litt´erature par les ´equipes oeuvrant dans le domaine de l’adaptation de maillage. On a donc exprim´e math´ematiquement une fa¸con de mesurer l’´equir´epartition. On a ensuite v´erifi´e que le processus adaptatif ´equir´epartissait l’erreur d’approximation en utilisant des probl`emes avec des solutions manufactur´ees.
5.1 Retomb´ees de la non-conformit´e
La mesure de non-conformit´e a ´et´e d´evelopp´ee s´epar´ement par Labb´e et al. (2004) et par Bottasso (2004). Cette mesure a ´et´e utilis´ee par Gruau (2004) pour suivre la convergence de son remailleur. La mesure a aussi ´et´e appliqu´ee par Sirois et al. (2010) pour adapter des maillages compos´es d’´el´ements non-simpliciaux qui a pr´esent´e une m´ethode efficace permet- tant d’approximer la mesure de non-conformit´e sur des hexa`edres.
5.2 Retomb´ees de la v´erification du processus adaptatif
La m´ethodologie de v´erification du processus adaptatif de la figure 1.2 a permis la mise en oeuvre m´ethodique et rigoureuse d’une boucle adaptative qui utilise OORT . Cette boucle adaptative a ´et´e utilis´ee par Guibault et al. (2009) pour adapter des maillages hybrides. La boucle a aussi ´et´e utilis´ee par Joubarne et Guibault (submitted) pour adapter des maillages de probl`emes avec des vortex, par Bedwani et al. (2008) et par Courchesne et al. (2007) pour adapter des maillages pour des probl`emes d’imagerie.
5.3 Retomb´ees de la strat´egie de visualistion
La strat´egie de visualisation des actions principales que l’estimateur d’erreur veut effectuer sur le maillage a ´et´e pr´esent´ee dans un symposium de l’ASME le 3 aoˆut 2010 `a Montr´eal. Cette strat´egie a ´et´e mise en oeuvre `a l’IREQ.
5.4 Retomb´ees de l’algorithme de basculement
L’algorithme r´ecursif de basculement par division bipari´etale est int´egr´e dans OORT depuis sa cr´eation. Cet algorithme est efficace et robuste. Le basculement n’a jamais ´et´e identifi´e comme un goulot d’´etranglement dans le processus d’adaptation de maillage. Cet algorithme contribue `a tous les r´esultats produits par OORT .
5.5 Limitations des solutions propos´ees
La mesure de non-conformit´e pr´esent´ee est coˆuteuse. Son ´evaluation requiert deux inver- sions de matrices `a tous les points de Gauss. Son utilisation comme fonction objective est tr`es couteuse par rapport au simple calcul de la longueur m´etrique des arˆetes.
Aussi, quand la non-conformit´e est ´elev´ee, il semble difficile de prime abord de savoir si l’´el´ement doit ˆetre raffin´e parce qu’il est trop gros ou d´eraffin´e parce qu’il est trop petit. Or, la section 4.1 montre comment la non-conformit´e est constitu´ee de deux matrices r´esiduelles et comment chaque matrice correspond s´epar´ement au fait que l’´el´ement est trop grand ou trop petit par rapport `a la carte de taille. Ces matrices contiennent donc toute l’information n´ecessaire pour savoir si l’´el´ement est trop grand ou trop petit.
La m´ethodologie de v´erification du processus adaptatif quant `a elle assume que le proces- sus ´equir´epartit la norme L∞de l’erreur d’interpolation. Or, de nouveaux processus adaptatifs
´equir´epartissent d’autres normes de l’erreur. Le processus devrait ˆetre revu pour tenir compte de ces nouvelles normes, principalement en calculant l’´ecart type de la norme appropri´ee. De plus, il semble manquer un ´el´ement th´eorique qui prouve que le processus adaptatif `a un ordre de convergence plus ´elev´e que le raffinement uniforme. En effet, si on raffine uniform´ement un maillage adapt´e, on devrait obtenir le taux de convergence th´eorique de la m´ethode. Par ailleurs, si on adapte ce mˆeme maillage de d´epart, mais avec une cible plus pr´ecise, on devrait obtenir un meilleur maillage que le maillage obtenu pr´ec´edemment. Il semble donc opportun de faire l’analyse unidimensionnelle n´ecessaire pour bien comprendre ce ph´enom`ene.
Pour ce qui est de la visualisation des actions principales que l’estimateur veut effectuer sur le maillage, le fait de visualiser simultan´ement de l’information sur les ´el´ements trop gros et trop petits devient lourd. Notamment, on ne peut pas utiliser de d´egrad´e de couleur dans ce cas, puisque l’usager ne saura pas si les couleurs s’appliquent aux ´el´ements trop grands ou trop petits. Finalement, dans le cas d’un ´el´ement trop petit, on con¸coit bien qu’un grand vecteur veut dire qu’il faut repousser les fronti`eres de l’´el´ement jusqu’au bout du vecteur. Mais dans le cas d’un ´el´ement trop gros, un grand vecteur signifie qu’il faut beaucoup rapetisser l’´el´ement. Ceci est contre-intuitif et n´ecessite une p´eriode d’adaptation.
pari´etale, l’approche fonctionne seulement dans le cas de probl`emes o`u il faut maximiser la qualit´e minimum. Notamment, cet algorithme ne peut pas ˆetre utilis´e pour minimiser le recouvrement.