Discussion

40 -20 -40 (a) D=Id 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 -20 -40 (b) D=M^T_uM_u 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 -20 -40 (c) D=Mε^TMε

FIGURE2.12: Erreur d’identification locale pour différentes normes de la

fonc-tion coût

Malgré un biais nul, il apparaît que les deux nouvelles normes n’améliorent pas les résultats d’identification puisque l’écart-type s’en trouve augmenté. Une augmentation du rayon de filtrage accentue ce phénomène. Cela est dû à des données, aussi bien mesurées que calculées, de plus en plus floutées à cause du filtrage, conduisant à une perte des informations mécaniques et une diminution de la sensibilité des champs cinématiques vis-à-vis des propriétés matérielles. Par conséquent, le gain lié à l’annulation du biais est compensé par une perte liée à l’augmentation de l’écart-type. Les normes alternatives sont donc inappropriées dans le cas étudié. Par ailleurs, cette tendance est observée partout dans la région d’étude.

Remarque :

Parmi les choix de norme possibles, et pour des mesures de champs issues de la CIN, l’inverse de la matrice de covariance peut être un choix optimal pour la matrice des poids (car le bruit est coloré).

2.4.4 Discussion

L’évaluation de la contribution du filtrage par approximation diffuse a été faite en com-parant l’erreur d’identification avec et sans filtrage, via un critère d’amélioration illustré dans laFIGURE 2.11, qui constitue un indicateur afin de choisir les paramètres optimaux du filtrage. Plusieurs configurations du problème inverse étudié ont été testées en jouant sur l’échelle d’hétérogénéité souhaitée.

Quand couplé à l’identification par la méthode FEMU, le filtrage des mesures de champ s’avère utile dans certaines configurations où, hormis dans les zones de fort gradient de déformation, l’identification a été améliorée. Toutefois, l’intérêt est limité dans le cas étudié parce que le niveau d’erreur correspondant aux configurations où il y a une amé-lioration (résolution spatiale assez petite) est très élevé, d’une part, et le filtrage apporte peu d’amélioration pour les tailles de zone les plus grandes, d’autre part.

Remarque :

2.5. Conclusion Le problème d’identification a été formulé avec l’hypothèse de conditions aux limites exactes (2.4), c’est-à-dire que seuls les points de mesures inté-rieurs sont perturbés. Il s’agit d’une hypothèse forte puisque l’algorithme de CIN ne voit aucune différence entre les points de mesure internes et ceux du bord, d’une part, et que les mesures sur le bord, issues de méthodes globales de CIN par exemple, contiennent davantage de perturbations car elles sont basées sur un plus petit nombre de pixels [Hild et Roux, 2012]. Cette hypo-thèse est néanmoins acceptable dans le cadre d’une comparaison de résultats basés sur des mesures (brutes et filtrées) construites avec la même formula-tion FEMU.

Il reste possible de tenir compte de perturbations sur le bord, soit en consi-dérant une formulation FEMU avec des conditions aux limites perturbées de type Dirichlet, soit en perturbant les contraintes du problème d’identification sur les conditions aux limites. La deuxième possibilité permet d’utiliser les mêmes équations déjà définies et consiste à extrapoler le vecteur des pertur-bations (2.31) au bord du domaine, de sorte qu’il contienne une perturbation scalaire de déplacement et une d’effort.

2.5 Conclusion

Ce chapitre a abordé l’étude de l’effet du filtrage par approximation diffuse sur les ré-sultats d’identification en élasticité linéaire basée sur l’approche de recalage de modèles par éléments finis. L’objet de l’étude était de discuter l’efficacité d’un filtre “non mécani-que” en présence de mesures perturbées. Pour ce faire, la relation entre perturbations de mesures et erreur d’identification a dû être caractérisée à travers une analyse au premier ordre.

La méthodologie a ensuite été appliquée à un exemple numérique où des propriétés élastiques hétérogènes étaient recherchées. En comparaison aux mesures brutes, l’identi-fication avec des données filtrées a été satisfaisante dans le cas étudié. Plus précisément, il a été montré que le filtrage est plus efficace lorsque les zones constantes sont de plus en plus petites. Par ailleurs, il a été observé que le filtrage détériore les résultats d’identifica-tion dans les régions à fort gradient de déformad’identifica-tion.

En outre, l’étude du choix de la norme associée à la fonction coût du problème d’identifi-cation a conclu que l’utilisation des déplacements plutôt que des déformations était plus appropriée et que le filtrage des données simulées n’améliore pas les résultats d’identifi-cation.

La méthodologie proposée peut être appliquée comme une étude préliminaire à l’iden-tification expérimentale des paramètres matériels : en considérant la modélisation numé-rique de l’essai et en prenant en compte une erreur aléatoire réaliste, l’ajustement du filtrage peut être étudié en amont afin d’évaluer l’amélioration attendue et la résolution spatiale des résultats d’identification. Par ailleurs, ayant à disposition l’erreur aléatoire et les paramètres de filtrage choisis, le filtrage peut ensuite être utilisé en aval de l’iden-tification expérimentale comme outil d’estimation des incertitudes relatives à la solution identifiée. L’exemple étudié a montré que les erreurs sont plus importantes sur les bords de l’échantillon ainsi que dans les régions à fort gradient de déformation. De ce fait, le rayon

R peut être adapté spatialement afin de mieux contrôler les erreurs locales d’identification.

Ce chapitre a permis d’évaluer l’apport du filtrage de mesures perturbées sur les résul-tats d’identification obtenus par des approches de recalage par éléments finis. Cette étude Thèse de doctorat - M. Ben Azzouna - 2013 45

2. Filtrage des mesures pour l’identification

peut par ailleurs être mise en place pour d’autres stratégies d’identification. Malgré une amélioration de l’identification pour les résolutions spatiales les plus fines, le filtrage ne s’avère pas nécessaire pour l’identification de paramètres homogènes.

Dans le prochain chapitre, nous abordons le problème d’identification de propriétés maté-rielles élastiques, homogènes et hétérogènes, en proposant une méthode qui tient compte du caractère incertain aussi bien des mesures que du modèle de comportement.

Chapitre 3

Stratégie d’identification par l’Erreur

en Relation de Comportement modifiée

Ce chapitre présente la stratégie d’identification basée sur l’er-reur en relation de comportement modifiée, développée dans le cas général de l’élasticité statique, isotrope ou orthotrope, homogène ou hétérogène, et s’appuyant sur les mesures de champs. Après la définition du cadre d’identification, le pro-blème d’identification est formulé en prenant en compte les in-certitudes sur les mesures, d’abord en l’absence de conditions aux limites, puis en tenant compte d’informations fiables sur le bord du domaine. La méthode est ensuite étudiée dans le cas d’exemples numériques de sollicitations statiques, où la robus-tesse vis-à-vis des perturbations sur les mesures est étudiée.

Sommaire

3.1 Stratégie d’identification . . . . 48

3.1.1 Cadre général de l’identification en 2D . . . 48