Approches par minimisation

Dans le cadre d’identification du comportement élastique ou de l’endommagement par perte de rigidité, à partir de mesures cinématiques ou d’effort (mesures de champs ou mesures redondantes sur la frontière), le problème direct consiste à chercher, pour un jeu de paramètres p fixé, les champs solution u vérifiant : l’équation d’équilibre, la relation de comportement et les conditions aux limites. Si il y a recouvrement des conditions aux limites mixtes mesurées sur la frontière, si celles-ci sont partiellement connues ou si les champs cinématiques mesurés sont bruités, alors ce problème direct est mal posé avec toutes les équations, sauf dans le cas où le jeu de paramètres p est le bon, que les mesures ne sont pas perturbées et que les conditions aux limites sont parfaitement connues. Le problème inverse se formule comme suit : trouver p tel que toutes les équations soient vérifiées :

– exactement : pas possible à cause des perturbations de mesure et des erreurs de modèle.

1.5. Cadres d’identification et approches inverses – au mieux : selon un critère qui reste à définir. En pratique, certaines équations seront vérifiées de façon exacte par imposition de contrainte tandis que les autres seront simplement vérifiées au mieux via la minimisation d’un critère de non vérification de ces équations. Cela conduit à la reformulation du problème d’identification en un problème de minimisation sous contraintes.

Les méthodes qui seront présentées ci-après diffèrent par le choix des équations à vérifier exactement et au mieux, et par le critère choisi à minimiser.

1.5.4.1 Méthodes de recalage de modèles par éléments finis

La méthode de recalage de modèles éléments finis ou Finite Element Model Updating (FEMU) est basée sur le concept de recalage itératif de valeurs de modèle élément fini par la comparaison entre des grandeurs mesurées et calculées [Kavanagh et Clough, 1971, Collins et al., 1974, Cottin et al., 1984, Hemez et Farhat, 1993, Pagnacco et al., 2005]. On se place dans le contexte d’identification de p propriétés matériellesθ. Les mesures peuvent être : la résultante d’effort f et des champs cinématiques qui peuvent être des déplacementsU ou des déformationse eε. Le principe de la méthode de recalage de modèles éléments finis est de construire un problème direct bien posé en ne tenant pas compte d’un certain nombre de mesures. Le problème direct consiste à chercher, pour un jeu de paramètresθfixé, les champs solution U vérifiant : l’équation d’équilibre, la relation de comportement et l’admissibilité cinématique. Avec la méthode des éléments finis, le problème direct s’écrit :

K U =F (1.9)

avec K =K(θ) la matrice globale de rigidité, F le vecteur des efforts nodaux qui tient compte de la mesure f en utilisant une hypothèse de répartition de l’effort sur la fron-tière. Les déformations, qui dépendent des paramètresθ, sont obtenues à partir du calcul comme :

ε=BU (1.10)

où B est la matrice des dérivées des fonctions de forme et le champ de déformation est estimé dans la zone de mesure. Le problème inverse s’écrit :

Trouverθminimisant :

pour une formulation en déformation :

J(θ) = ¹

2(BU(θ)−eε)^T(BU(θ)−eε) (1.11) ou, pour une formulation en déplacement :

J(θ) =¹ 2 U(θ)−Ue_T U(θ)−Ue (1.12) dont la solution s’écrit :

θopt=arg min

θ ^J(θ) (1.13)

Remarque :

La fonction coût peut être pondérée. Une matrice des poids doit alors être choisie. Ici, elle est égale à l’identité. D’autre part, outre les formulations FEMU en déplacement et en déformations, il existe des formulations FEMU en effort [Avril et al., 2008a].

L’évaluation de J(θ)demande la résolution d’un problème éléments finis. Cette for-mulation permet de traiter tout type de problème et tout type de paramètres du modèle. Thèse de doctorat - M. Ben Azzouna - 2013 19

1. Identification et fiabilité des mesures

La recherche du minimum de J, quant à elle, se fait de différentes manières, et peut dé-pendre de la dimension du problème à résoudre. Une façon de faire consiste à résoudre le problème associé à la stationnarité de J, c’est-à-dire ∂J

∂θk =0,∀k∈[1,p]. La deuxième piste consiste à utiliser les algorithmes de minimisation ou recherche. Plusieurs types d’al-gorithmes existent, dont les ald’al-gorithmes d’exploration, type génétique [Richard, 2000] ou colonies de fourmis, et algorithmes de descente, qui, pour la plupart d’entre eux, néces-sitent le calcul du gradient de la fonction coût (méthode du simplex, méthode de Newton, méthode du gradient conjugué, méthode de l’état adjoint).

Très souvent, l’essai mécanique étant piloté par des sollicitations contrôlées, celles-ci sont considérées comme fiables et vérifiées exactement. Néanmoins, on a pu voir dans l’exemple traité plus haut, dans le cas d’un essai piloté en effort, qu’une hypothèse sur la répartition de l’effort a été nécessaire pour construire le problème direct. Les méthodes FEMU demandent donc une attention particulière en termes de détermination des efforts, étant donné que la mesure d’effort concerne souvent les résultantes des actions méca-niques sur les frontières. Quant aux mesures de déplacement ou de déformation, consi-dérées comme moins fiables, elles sont vérifiées au mieux. Le choix de la répartition “sollicitation - mesure” dépend de la confiance que l’on accorde à chaque quantité. Au delà de l’élasticité, les méthodes FEMU peuvent être appliquées dans le domaine non linéaire, comme l’étude de l’endommagement, de l’élastoplasticité dans [Cooreman et al., 2007] ou encore de la viscoélasticité dans [Le Magorou et al., 2002, Le Magorou et al., 2003].

1.5.4.2 Méthode de l’écart à l’équilibre

La méthode de l’écart à l’équilibre ou Equilibrium Gap Method (EGM) permet, à par-tir de mesures de champs de déplacement, d’identifier une distribution de propriétés élas-tiques et son évolution au cours de l’essai (endommagement). Elle consiste à vérifier au mieux l’équilibre interne au sein du matériau. Toutes les équations de la mécanique sont alors supposées fiables, les mesures incluses, et la méthode consiste à trouver le champ de propriétés élastiques qui, à mesures de déplacements fixées, permet de respecter au mieux l’équilibre interne [Claire et al., 2002, Ben Azzouna et al., 2011c]. La vérifica-tion de l’équavérifica-tion d’équilibre consiste ici à minimiser les efforts résiduels locaux sur les nœuds éléments finis. L’effort résiduel en un nœud i est la somme des efforts résiduels venant de chaque élément de maillage Q4 l’entourant. Cette procédure s’applique partout sur la zone d’étude.

Sans la prise en compte de l’information effort, c’est un contraste de modules de rigidité qui est recherché. L’utilisation de la méthode des éléments finis avec des déplacements nodaux connus permet une écriture faible de l’équation d’équilibre, qui est linéaire en déplacements et en propriétés élastiques. Un recalage des contrastes de rigidité identifiés peut être fait en confrontant un modèle éléments finis basé sur la mesure d’effort avec les champs de déplacement mesurés. Quelques calculs itératifs sont alors conduits jusqu’à la bonne concordance des champs de déplacement [Crouzeix, 2008].

Appliquée à l’identification de l’endommagement à partir des champs de déplacements mesurés dans [Roux et Hild, 2008], l’EGM reconditionnée apporte une robustesse vis-à-vis des perturbations de mesure en ramenant la fonction coût à un écart de champs de déplacement ne faisant pas appliquer la matrice de rigidité globale aux déplacements, de façon à éviter leur dérivation, et donc l’amplification du bruit. Pour l’identification de l’endommagement, la version reconditionnée de l’EGM postule la connaissance a priori de la forme de loi d’évolution de l’endommagement et vise ainsi à identifier, non pas des contrastes de rigidité endommagés, mais les coefficients de la loi d’endommagement 20 Thèse de doctorat - M. Ben Azzouna - 2013

1.5. Cadres d’identification et approches inverses préalablement imposée.

L’EGM présente l’avantage d’être directement applicable comme un post-traitement pour tout champ de déplacement mesuré. Elle a été surtout appliquée pour l’identification de l’endommagement isotrope à partir de champs de propriétés isotropes et orthotropes. Une des spécificités de cette méthode réside dans la nécessité de résoudre le problème d’équilibre posé sur la zone de mesure. Ce procédé présente, a priori, deux limites : la première concerne l’imposition des déplacements perturbés sur la frontière afin de générer le problème direct, et la seconde se traduit par la non prise en compte d’informations fiables susceptibles d’être présentes sur le bord de l’échantillon, comme les bords libres ou la résultante d’effort mesurée, quand la zone de mesure ne couvre pas la frontière de l’échantillon étudié. Par ailleurs, les mesures sont vérifiées de manière exacte.