Discussion – La description auto-affine est-elle la plus appropriée ?

dérive linéaire ne change pas l’analyse en ondelette. L’ajout d’une dérive quadratique modifie l’analyse, mais permet de retrouver aux petites échelles l’exposant de rugosité “correct”, avec une transition très nette vers un comportement en λ1.3aux grandes échelles [Simonsen et al., 1998]. De manière analogue, l’ajout d’un bruit, dont les composantes d’ondelettes aux grandes échelles sont très petites, détruit l’information auto-affine aux petits coefficients d’ondelette, mais laisse les grands coefficients inchangés, ce qui permet de retrouver l’exposant de rugosité. En comparaison, l’analyse par spectre de Fourier, par exemple, est très sensible au bruit sur les données. Le paragraphe 3.1 fournit un échantillon de quelques transformations subies par le signal et de la façon dont elles sont “vues” par les analyses de Fourier et en ondelettes.

1.3.6 Conclusion sur les méthodes d’analyse

Les méthodes initialement développées pour l’analyse des objets auto-similaires permettent de faire le lien entre l’exposant de rugosité et la dimension fractale du profil, mais elles sont peu indiquées pour l’analyse proprement dite, car elles peuvent introduire des biais dans l’analyse. Parmi les méthodes qui tirent parti de la spécificité de la géométrie auto-affine, on peut écarter les méthodes de premier et multi retour et la méthode de fenêtre à largeur variable, qui ne fournissent pas la même précision sur toutes les échelles, et sont difficiles à appliquer pratiquement. On retiendra l’analyse de Fourier, qui a le mérite d’être rapide et précise sur un signale peut bruité. La méthode du coefficient d’ondelette moyenné possède également ces avantages, et est de plus très robuste vis-à-vis d’éventuelles dégradations du signal, quelles que soient les échelles touchées par ces dégradations. Au contraire, un bruit localisé spatialement peut polluer l’intégralité du spectre de Fourier, du fait de la non-localité de l’analyse spectrale.

En toute rigueur, il est souhaitable d’utiliser conjointement plusieurs techniques de calcul et de confronter les résultats [Schmittbuhl, Vilotte et Roux, 1995; Mehrabi, Rassamdana et Sahimi, 1997] obtenus par les différentes techniques. Cela permet de réduire l’intervalle d’incerti-tude, en considérant l’intersection des intervalles d’incertitude obtenus par chacune des méthodes. On utilisera systématiquement les analyses de Fourier et en ondelettes, en parallèle. La Fig. 1.4 fournit un exemple d’analyse par ces deux méthodes. Elles ont été réalisées sur la surface pré-sentée à la Fig. 1.3(a). Les deux analyses sont cohérentes ; le spectre de Fourier permet d’estimer l’exposant de rugosité comme ζ = 0.81 ± 0.02. L’analyse en ondelettes fournit : ζ = 0.80 ± 0.02. Les incertitudes découlent des incertitudes sur la gamme d’échelles choisie pour effectuer la ré-gression. Finalement, on estime, à 5/100 près, ζ = 0.805 ± 0.015.

1.4 Discussion – La description auto-affine est-elle la plus

appro-priée ?

L’absence d’échelle caractéristique sur plusieurs décades, caractéristique de l’auto-affinité, laisse supposer l’existence d’un phénomène critique sous-jacent à la fracturation du matériau [Charmet, Roux et Guyon, 1990; Herrmann et Roux, 1990]. Ceci nous amène à une forme plus générale de géométrie liée aux phénomènes critiques : la multi-affinité. Même si de nombreuses études on conclu à une bonne adéquation du modèle auto-affine avec les propriétés observées, il est intéressant d’examiner si elle constitue une bonne approximation d’une description plus précise, multi-fractale.

Dans la description mono-fractale, les moments de la distribution vérifient tous la même loi d’échelle (1.15). En réalité, il existe une légère différence d’exposant entre les fonctions puissance qui décrivent le comportement des différents moments d’une topographie enregistrée sur le granite

Chapitre 1. Surfaces de fracture et invariances d’échelles

Fig. 1.5 –Comportement des fonc-tions de structure d’une surface de granite, en fonction du degré p de la fonction (d’après [Schmittbuhl, Schmitt et Scholz, 1995]). 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 (a=2.25) PSfrag replacements p ξ( p ) ξ(p) = 0.8 p + ^C1 1−α [(p/a)α− p/a] Données ξ(p) = 0.8 p

[Schmittbuhl, Schmitt et Scholz, 1995]. Plus précisément, on peut écrire

Mp(∆) ∝ l^ξ(p) . (1.51)

Le modèle auto-affine est un cas particulier où ξ(p) = ζ p. On peut définir la correction au modèle mono-fractal à l’aide la fonction K définie selon la relation

K q a



= ζ p − ξ(p) , (1.52)

où l’exposant a est celui où les représentations mono- et multi- fractales coïncident :

ξ(a) = ζ a . (1.53)

Les champs multi-fractals sont obtenus par exemple par des processus de cascade multiplicative [Schertzer et Lovejoy, 1987; Schertzer et Lovejoy, 1989], qui imposent à la fonction K d’être convexe, c’est-à-dire que son graphe tourne sa concavité vers le bas. Dans la limite continue des processus de cascade multiplicative discrète, la forme de K est contrainte de façon beaucoup plus précise :

K(p) = ^C1 α − 1^(p

α− p) , (1.54)

où α ∈ [0; 2] est l’index de Lévy du générateur du champ multi-fractal, et C1 caractérise l’inho-mogénéité moyenne.

Schmittbuhl, Schmitt et Scholz (1995) ont procédé à l’étude de la multi-affinité d’une surface de granite de granite rose de Westerley. La dépendance qu’ils observent pour ξ en fonction du degré p du moment est représentée à la Fig. 1.5. Ils obtiennent a = 2.25 ± 0.25, C1 = 0.30 ± 0.05 et α = 0.5 ± 0.1. La linéarité de la fonction K obtenue expérimentalement pour les exposants supérieurs à 6 est expliquée théoriquement par un artefact de l’analyse lié à l’échantillonnage [Schertzer et Lovejoy, 1987].

Le modèle auto-affine semble être une bonne approximation pour les moments d’ordre in-férieur à 5. Il présente l’intérêt de “résumer” les propriétés d’invariance d’échelle des surfaces

Conclusion

de fracture rugueuse par un nombre charactéristique unique, ζ. C’est pourquoi nous nous bor-nerons à cette représentation. Le moment entier dont le comportement est le plus proche du comportement auto-affine “moyen” est le moment d’ordre 2, c’est-à-dire la variance. Une tech-nique d’analyse fondée sur l’analyse de ce moment, telle que la méthode de la fenêtre à largeur variable, ou bien la méthode du spectre de Fourier, est mieux indiquée pour trouver la meilleure approximation auto-affine au comportement multi-fractal.

Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre un outil bien adapté à la description statistique de profils enregistrés sur des surfaces de fracture : la description auto-affine. Cette description met en évidence une invariance d’échelle anisotrope des profils ; le profil reste statistiquement identique à lui-même lorsque le rapport d’aspect de la fenêtre évolue comme une loi de puissance de la largeur de la fenêtre, d’exposant ζ − 1. Le coefficient de rugosité ζ est caractéristique de l’invariance d’échelle. Il caractérise la persistance des corrélations d’altitude le long du profil, ou, de manière équivalente, l’importance des détails de petite échelle relativement aux détails de grande échelle. Un certain nombre de quantités calculées à partir de la distribution des hauteurs du profil, telles que la fonction d’auto-corrélation, le spectre de Fourier ou la transformée en ondelettes, dépendent de l’échelle en suivant une loi de puissance dont l’exposant est relié linéairement à ζ. Le passage d’une description à deux dimensions à une description complète de la topographie à trois dimensions pose un certain nombre de questions. Le problème de la croissance de la rugosité à partir de la zone d’initiation de la fracturation a déjà été étudié. La sensibilité de la valeur de l’exposant de rugosité à la direction des profils est moins bien connue. Pour des topographies où l’on peut considérer que ζ ne dépend pas de l’orientation des profils, la surface est bien décrite par un modèle auto-affine isotrope. Nous avons développé un modèle numérique permettant d’engendrer de telles topographies. La description de ces surfaces est fondée sur trois paramètres : l’extension horizontale de la surface, l’amplitude verticale de la rugosité, et l’exposant de rugosité.

Les méthodes d’analyse de l’auto-affinité d’une topographie en trois dimensions sont en géné-ral menées sur des profils pagéné-rallèles, et moyennées sur ces profils. Nous avons donné une aperçu des différentes méthodes utilisables. Les méthodes d’analyse par transformée (Fourier et onde-lettes) nous ont paru les plus performantes ; en outre, elles se sont révélées les plus rapides. On veillera à les employer toujours conjointement, et à confronter leurs résultats.

L’applicabilité du modèle auto-affine isotrope aux topographies de surfaces de fracture en trois dimensions n’est pas prouvée. Cette question est l’objet de l’étude expérimentale de surfaces de fractures de granite et de grès présentée au chapitre 3. Les analyses de l’auto-affinité des surfaces seront menées à l’aide des méthodes d’analyse par transformée (Fourier et ondelettes), qui ont été décrites dans le présent chapitre. Les enregistrements de topographies de surfaces utilisés pour faire les analyses ont été réalisés à l’aide d’un dispositif qui est décrit dans le chapitre 2.

Chapitre 2

Développement d’un rugosimètre à

mesure optique et mécanique

Sommaire

Introduction . . . . 35 2.1 Anatomie du rugosimètre . . . . 36 2.1.1 Présentation globale du fonctionnement du dispositif . . . 36 2.1.2 Système de positionnement . . . 36 2.1.3 Système de mesure . . . 37 2.1.4 Système d’acquisition – pilotage des instruments . . . 43 2.2 Validation de la rugosimétrie mécanique . . . . 43 2.2.1 Calibration du capteur de déplacement LVDT . . . 43 2.2.2 Description de la grille — précautions liées à la fragilité de la pointe 44 2.2.3 Estimation des incertitudes . . . 46 2.2.4 Comparaison de deux enregistrements de la même surface réalisés

avec deux machines différentes . . . 48 2.3 Validation de la rugosimétrie optique statique . . . . 51 2.3.1 Calibration du capteur optique . . . 51 2.3.2 Utilisation de la table en z . . . 51 2.3.3 Changement de nœud – cinématique du positionnement précis . . . 52 2.3.4 Prise en considération des points aberrants . . . 53 2.3.5 Reproductibilité de la mesure optique . . . 56 2.4 Validation de la rugosimétrie optique dynamique . . . . 57 2.4.1 Tests de la cinématique du déplacement . . . 57 2.4.2 Définition de la vitesse de déplacement – ajustement de l’intervalle

entre deux mesures . . . 61 2.4.3 Positionnement des profils dans la direction x . . . 61 2.4.4 Confrontation d’un enregistrement à un enregistrement réalisé avec

la technique pas à pas . . . 66 2.5 Technique de répliques en silicone . . . . 66 Conclusion . . . . 68 Annexes . . . . 69 A Présentation du programme de rugosimétrie mécanique . . . . 70 B Présentation du programme de rugosimétrie optique pas à pas . . 74 C Présentation du programme de rugosimétrie optique par balayage 76

Introduction

Introduction

L’étude de la topographie des surfaces rugueuses peut être menée en suivant deux types de procédures. Si l’on a une connaissance a priori concernant la nature de la rugosité, on peut effectuer des mesures qui permettent de remonter aux paramètres du modèle supposé pour la géométrie. Dans le cas des surfaces de fracture, on suppose une description auto-affine et on recherche la valeur de l’exposant d’auto-affinité. Différentes grandeurs physiques peuvent être utilisées pour obtenir cette information. Ainsi, Fang, Adame, Yang, Wang et Lu (1995) ont me-suré le facteur de réflexion d’une surface de fracture en fonction de l’angle de réflexion. Simonsen, Vandembroucq et Roux (2000) ont développé une méthode d’analyse analogue, utilisant le co-efficient de réflexion différentiel. Le dispositif utilisé pour mettre en œuvre ces deux techniques mesure des intensités lumineuses. Boffa, Allain et Hulin (1998) ont développé une méthode qui consiste à photographier la surface en éclairage rasant et à analyser la distribution des zones d’ombre dans les photos. Une méthode largement utilisée pour les surfaces de fracture métal-liques consiste à réaliser des sections planes de la surface, dont on peut ensuite analyser la géométrie. Par exemple, on détermine le coefficient de rugosité d’une surface auto-affine à partir de la dimension fractale des îlots contenus dans les sections planes parallèles au plan de fractu-ration. Dans ce cas, ainsi que dans la méthode d’ombrage de Boffa et al. (1998), l’appareil de mesure est un microscope optique ou un microscope électronique à balayage (Scanning Electron Microscope) [Bouchaud, 1997; Hull, 1999], selon la gamme d’échelles considérée.

Une autre approche consiste à effectuer un enregistrement en 3 dimensions de la topographie. La topographie “numérique” obtenue doit reproduire la surface expérimentale le mieux possible. Elle peut être analysée a posteriori de diverses manières, sans forcément avoir de connaissance a priori sur la géométrie de la surface. C’est cette solution que nous avons choisie, car nous cherchons à caractériser la géométrie aussi finement que possible, à valider le modèle auto-affine isotrope, mais également à rechercher une description d’ordre supérieur. Des dispositifs permettant d’enregistrer la topographie d’une surface le long de profils linéaires existent [Brown et Scholz, 1985], mais la reconstruction d’une topographie en trois dimensions par juxtaposition de profils parallèles enregistrés sur la même surface avec ces dispositifs est malaisée. Une méthode stéréographique permettant de reconstruire la topographie à partir de deux photos de la surface légèrement décalées a été développée et utilisée par Jessel, Cox, Schwarze et Power (1995) ; cette technique ne permet pas d’obtenir une précision sur les hauteurs meilleure que 100 microns. Nous avons développé un dispositif permettant de réaliser de vrais enregistrements en trois dimensions, en essayant de combiner deux propriétés antagonistes : une précision micrométrique dans les trois directions de l’espace et la possibilité de mesurer des échantillons de dimensions allant jusqu’à 20×20 cm2. Le dispositif permet deux types de mesure de la rugosité : à l’aide d’un palpeur mécanique qui vient en contact avec la surface, et avec un capteur optique, sans contact. Trois modes de fonctionnement sont implémentés. Pour chacun d’entre eux, on a développé un programme informatique qui dialogue avec les différents appareils constituant le rugosimètre et les pilotes pour réaliser la mesure de topographie. On dispose ainsi de trois appareillages pouvant être utilisés en alternance. Les mesures de rugosimétrie étant souvent coûteuses en temps, un effort important a été consacré à l’optimisation de la vitesse de mesure.

Les caractéristiques de ces appareillages et leurs qualités et inconvénients respectifs sont présentés en détail dans le présent chapitre, avec les différentes mesures qui ont servi à les tester et à les valider. La première partie est dévolue à une présentation globale du principe de fonctionnement et des caractéristiques du rugosimètre. Les trois parties suivantes décrivent les spécificités des trois modes de fonctionnement, et les expériences de validation qui ont été réalisées. La dernière partie présente une technique de moulage des surfaces.

Chapitre 2. Développement d’un rugosimètre à mesure optique et mécanique