Discrétisation surfacique de l’objet

La sphère a été modélisée bande par bande afin d’approcher au plus près de la géométrie initiale comme le montre la figure 3.8.

r

b

𝜶

Figure 3.8: Modélisation par bandes de la sphère.

Ainsi, la surface élémentaire de la sphère δSsw est donnée par l’équation

(3.13) suivante :

δSsw = 2π.rw.bw, (3.13)

où w est le nombre de bandes, bw est l’épaisseur de la bande et rw est le

rayon du disque considéré à la hauteur de la bande w :

rw = rcos(αw), (3.14)

où αw est l’angle de la bande w (figure 3.8).

La distance orthogonale h_w entre la charge sur la sphère et le substrat est donc définie par :

hw = z + bw.(w − 1) +

bw

2 , (3.15)

où z est la distance entre le bas de la sphère et le substrat.

Le nombre de bandes optimal à décompter pour chaque diamètre de sphère est calculé en fonction de la distance z. Quand la sphère est éloignée de la surface (z > r), cinq bandes sont suffisantes tandis que lorsque la sphère est très proche du substrat (z < r/1000) il est nécessaire de modéliser la sphère à l’aide de 5000 bandes.

La force totale F_elec suivant z appliquée par le substrat sur la sphère entière est donnée par :

Felec= X w X ij Γ_sw.Γd. 1 4π0r .[(hw− κ).M P−3− hw.M N−3]. (3.16)

Nous avons vu dans la première partie de ce chapitre que la mise en place d’un modèle complet tenant compte de l’intégralité de la surface de la sphère qui interagit avec le substrat a permis d’identifier les distances et les forces d’interaction pour une gamme de diamètres de sphère correspondant à notre zone d’intérêt (entre 100nm et 100µm). Ce modèle possède quatre intégrales et est par conséquent assez lourd en temps de calcul. Il est donc intéres- sant d’essayer de simplifier ce modèle. Nous avons déjà vu précédemment, qu’en s’éloignant de la surface, le nombre de bandes de la sphère utiles à la modélisation de l’interaction diminuait, passant de 5000 à 5. Dans cette perspective, nous avons réalisé une nouveau modèle plus simple puisqu’il né- cessite de simuler uniquement une charge élémentaire au centre de la sphère. Cette charge élémentaire prenant la valeur de la somme des charges initia- lement réparties sur l’ensemble de la surface de la sphère (figure 3.9). Nous nous sommes placés dans le cas d’une sphère de 10 µm de diamètre. Nous avons obtenu les résultats donnés par la figure 3.10.

+ + +

+

+

modèle complet modèle simplifié

Figure 3.9: Représentation schématique des sphères des modèles complet et simplifié.

Nous avons également comparé les deux modèles, complet et simplifié à celui représentant une charge élémentaire pour un diamètre de 10 nm. La

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-13 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 Distance z (m) F o rc e ( N ) Sphere / Surface Charge ponctuelle / Surface Pointe / Surface Limite du bruit thermique

10 nm

10 µm

Figure 3.10: Modélisation de l’interaction entre une surface de dipôle et une sphère chargée ou une charge ponctuelle ou une pointe chargée.

limite du bruit thermique est indiquée par les droites vertes pour les deux diamètres considérés, que nous détaillerons ensuite.

La première courbe (carrés verts) représente l’interaction entre une sphère chargée de 10µm de diamètre, modélisée bande par bande et une surface de 10 nm2. Les charges Qs sont uniformément réparties sur la totalité de

la sphère et pondérées en fonction de leur distance par rapport à la sur- face. Ainsi les charges de la partie basse de la sphère induisent une force plus importante que celles situées au niveau équatorial. Par extension, les charges de la demie-sphère supérieure sont négligeables car elles présentent une interaction quasi nulle avec la surface.

La deuxième courbe (triangles roses) représente un modèle simplifié de l’in- teraction considérant la charge comme ponctuelle. Les charges ne sont alors plus réparties sur l’ensemble de la sphère mais regroupées en son centre. L’in- teraction est donc celle entre une sphère de 10 µm de diamètre considérée comme une charge ponctuelle et une surface chargée de même signe. La troisième courbe (étoiles bleues) représente l’interaction entre une sphère de 10 nm de diamètre formant une charge ponctuelle et possédant la même densité de charge que dans les deux cas précédents.

est juste pour une distance entre la sphère et la surface supérieure ou égale à 10 µm puisque les courbes "carrés verts" et "triangles roses" se superposent parfaitement. En revanche, pour une distance sphère/surface inférieure à 10

µm, le modèle simplifié sous-estime sensiblement la force de l’interaction.

Ceci s’explique par la localisation des charges sur la sphère. En effet, pour une courte distance, dans le modèle complet les charges présentes à la partie basse de la demie-sphère inférieure sont prépondérantes vis-à-vis de celles placées sur la partie médiane de la sphère. Or, dans le modèle simplifié, les charges sont simplement sommées en une charge centrale et non pas pondérées par leur emplacement. Les charges les plus proches de la surface ne sont donc pas prises en compte dans le calcul, la force finale calculée apparaît donc plus faible.

Il est donc possible de simplifier les simulations lorsque l’on s’intéresse à des distances d’interaction suffisamment grandes valant au moins le diamètre de la sphère considérée. De plus, il en ressort l’intérêt d’utiliser le modèle complet pour les faibles distances qui prend en compte la géométrie réelle de l’objet. L’équation et les paramètres basiques du modèle sont maintenant dé- finis [30]. Nous devons maintenant vérifier et mesurer l’effet des paramètres utilisés pour générer des simulations proches des résultats réalistes.