Discrétisation spatiale : modèle de Super-Hélice

Nous abordons la discrétisation spatiale, et gardons le temps continu pour l’instant. Nous

com-mençons par énoncer une propriété très importante, qui va servir de base à notre modèle numérique

de tige de Kirchhoff :

Propriété 5.3 Siκ

κ

etτsont constantes le long de la tige de Cosserat (i.e.indépendantes de s),

alors la configuration spatiale de la courbe moyennerde la tige est unehélice.

Pour une meilleure compréhension du modèle discret de tige de Kirchhoff que nous proposons

dans la suite, sous le nom deSuper-Hélice, nous conseillons au lecteur d’examiner attentivement la

démonstration de la propriété ci-dessus, donnée en Annexe D.

Super-Hélice

Divisons maintenant la tige enN élémentss

S

d’indiceQ. L’intervalle

0 L

est subdivisé en

N segments

S

QQ4@1AANB

. Ici, les lettres en capital telles queQdésigneront des variables sur chaque

morceau (et non sur des nœuds) et donc prendront implicitement les valeurs 1

Q

N. Soitχ

s

la fonction caractéristique pour le morceauS

. Nous définissons alors le nouveau modèle déformable

discret de Super-Hélice comme suit :

Définition 5.5 On appellera Super-Héliceune tige de Kirchhoff telle que ses torsion et courbures

τ

s

t

κ

s

t

κ

s

t

κ

s

t

iI 012

sont des fonctions constantes par morceaux le long de la

tige :

κ

s

t

∑

1 Q N

χ

s

κ

t

pour i

0

1 2 (5.18)

où les quantitésκ

représentent les valeurs constantes des torsion et courbures de la tige sur chaque

élément S

(avec la convention κ

τ

). De plus, on impose la continuité du repère matériel à la

jonction entre deux morceaux de tige successifs.

D’après la propriété 5.3, on déduit que la courbe moyenne r

s

t

d’une Super-Hélice est une

hélice par morceaux. De plus, il est aisé de voir que la condition de continuité du repère matériel le

long de la tige impose la continuitéC

de la courbe moyenne. Finalement, on en conclut que la courbe

moyenner

s

t

d’une Super-Hélice est une courberégulière et hélicoïdale par morceaux, d’où le nom

choisi deSuper-Hélicepour désigner une telle tige.

Processus de reconstruction

Les degrés de liberté d’une Super-Hélice sont donc les 3N paramètres

κ

Q@1AANB

iI 012

qui

repré-sentent les torsion et courbures de la tige, constantes sur chaque morceauS

. Notonsκκκle vecteur de

taille 3N, composé des 3Nparamètres décrits ci-dessus :

κκκ

τ

κ

τ

κ

2Q4

τ

κ

.

Ce vecteur définit donc l’ensemble descoordonnées généralisées de la Super-Hélice. On notera

κ

s

q

t

la torsion et les courbures, constantes par morceaux, qui se déduisent directement de ce

vecteur, et r

s

κκκ

t

etn

s

κκκ

t

la courbe moyenne et les repères matériels obtenus par

recons-truction.

L’Annexe D montre que cette reconstruction peut être effectuée de manière purement analytique,

en commençant l’intégration du bord encastré s

0, et en utilisant une solution symbolique pour

avancer d’un élément au suivant. Au final, on obtient desexpressions explicitespour lesn

s

κκκ

t

et pourr

s

κκκ

t

, données ci-dessous :

i

0

2 n

SH i

s

κκκ

t

∑

1 Q N

n

s

Q 1

χ

s

r

s

κκκ

t

∑

1 Q N

r

s

Q 1

χ

s

avec les expression formelles de t

n

etr

données par les formules suivantes, sur chaque

morceau de tigeS

(i.e.pours

s

, en effectuant le changement de variableu

s

) :

tQuu τ_Q Ω_Qv0Qx κ_Q Ω_Q cosΩQu v1Qx κ_Q Ω_Q sinΩQu v2Q n1Quu κ₁Q Ω_Q v0Q τ_Qκ₁Q Ω_Qκ_Q cosΩ_Qux κ₂Q κ_Q sinΩ_Qu v1Qx κ₂Q κ_Q cosΩ_Qu τ_Qκ₁Q Ω_Qκ_Q sinΩ_Qu v2Q n2Quu κ₂Q Ω_Q v0Qx κ₁Q κ_Q sinΩQu τ_Qκ₂Q Ω_Qκ_Q cosΩQu v1Q τ_Qκ₂Q Ω_Qκ_Q sinΩQux κ₁Q κ_Q cosΩQu v2Q

r

u

r

0 τ

Ω

v

₀Qz

u

κ

Ω

v

₁Qz

sin

Ω

u

Ω

Q y

κ

Ω

v

₂Qz

1 cos

Ω

u

Ω

(5.19)

où κ

κ

2 1Q

κ

2 2Q

,Ω

κ

2 Q

τ

, et

v

₀Q

v

₁Q

v

₂Q

est la base adaptée de l’élémentS

,

constante sur cet élément. Les points clefs de ces calculs sont donnés en Annexe D.

Intérêt du modèle de Super-Hélice

Remarquons que le modèle de Super-Hélice correspond en fait à une réduction du nombre de

degrés de liberté en espacede la tige de Kirchhoff. Grâce à ce modèle, on passe ainsi d’un nombre

infini de degrés de liberté

κ

s

iI 012

s

0 L

à un nombre discret et fini de degrés de liberté pour la

tige

κ

Q@1AANB

iI 012

. Nous verrons dans la suite que, grâce au formalisme de Lagrange, il sera possible de

transposer les équations continues des tiges de Kirchhoff pour ce nouveau système à degrés de liberté

finis (nous appellerons ces nouvelles équationséquations des Super-Hélices). Tout l’avantage de cette

méthode sera alors dene faire aucune approximation en espace

lors de la résolution numérique des

nouvelles équations mécaniques, puisque ces dernières seront déjà paramétrées par un nombre fini de

coordonnées généralisées. Dans le cas dynamique, une fois les équations des Super-Hélices écrites, il

restera alors à trouver un schéma numérique performant pour la discrétisation temporelle.

L’Annexe C présente le formalisme de Lagrange et un exemple simple de discrétisation d’un

système continu par réduction du nombre de ses degrés de liberté. Le lecteur pourra d’ores et déjà s’y

référer pour une meilleure compréhension de la suite (en particulier du Chapitre 7).

5 Bilan

Nous avons décrit dans ce chapitre les principales caractéristiques du modèle mécanique de tige

de Kirchhoff, et tâché d’en retranscrire les équations cinématiques et mécaniques de la manière la plus

claire possible vis-à-vis d’un non-spécialiste de la mécanique. Contrairement aux précédents modèles

utilisés pour simuler des cheveux individuels, ce modèle intègre à lui tout seul toutes les propriétés

souhaitables et nécessaires pour représenter le comportement d’un cheveu de manière réaliste, à savoir

les déformations élastiques en courbure et en torsion, les effets non-linéaires caractéristiques (mis en

évidence dans les deux chapitres suivants), ou encore la contrainte d’inextensibilité de la tige. Dans

la suite, tout l’enjeu consistera, d’une part, à proposer une méthode de simulation numérique de

ce modèle ; nous verrons que les méthodes proposées s’appuieront avantageusement sur le modèle

discret de Super-Hélice introduit dans ce chapitre. D’autre part, il s’agira de montrer que ce modèle

de tige mécanique est bien adapté en termes de réalisme, de stabilité numérique, et de performances

-à des applications virtuelles mettant en jeu des chevelures complètes, telles que la coiffure virtuelle

(Chapitre 6) ou l’animation de chevelures (Chapitre 7).

FIG. 5.7:Mascottes chevelues,c

Le 9 Télécom

1L’approximation spatiale du modèle continu de tige de Kirchhoff aura déjà été réalisée par le choix de courbures et torsion constantes par morceau, et donc en nombre fini, dans le modèle de Super-Hélice. L’intérêt d’une telle réduction du nombre de degrés de liberté d’un système mécanique continu, plutôt qu’une discrétisation standard consistant à trouver une solution approchée des équations continues du système (par différences finies ou éléments finis) est, comme nous l’avons vu au Chapitre 2, de pouvoir ensuite formuler des équations mécaniquescompatiblesavec le nouveau système mécanique discret, qui garantiront en particulier la conservation de son énergie mécanique.

Simulation statique de chevelures

ES LOGICIELS

existants pour la coiffure virtuelle se basent essentiellement sur des

approches géométriques pour la modélisation : un peu comme un dessinateur,

l’uti-lisateur trace autour d’une tête virtuelle des courbes, des surfaces ou des volumes,

qui vont servir à définir le support de la chevelure du personnage, puis il ajoute des

détails procéduraux (boucles, ondulations), jusqu’à parvenir à la coiffure désirée.

Au cours de la modélisation, la physique du cheveu et tous les mécanismes physiques liés aux

opéra-tions de coiffage sont donc complètement (et délibérément) ignorés, l’unique but étant de parvenir à

l’image de la coiffure finale souhaitée. À l’opposé de ces approches, nous nous intéressons aux

phé-nomènes physiquesliés à la pousse de cheveux et à la coiffure. Dans un contexte de prototypage pour

l’industrie cosmétique, comprendre l’influence des propriétés physiques, structurelles et ethniques

des cheveux sur la forme de la chevelure au repos est en effet essentiel afin d’identifier ensuite les

paramètres à modifier (par un produit cosmétique) pour obtenir tel ou tel effet. Ce pas significatif

vers la simulation physique de coiffures fait par ailleurs percevoir de nouvelles applications dans le

domaine de la réalité virtuelle : par exemple, l’entraînement à la coupe de cheveux par simulation,

pour les apprentis coiffeurs ; ou encore, à destination du grand public, la prédiction de l’apparence

d’une personne réelle après une coupe, calculée automatiquement à partir des caractéristiques de ses

propres cheveux (données microscopiques, carte d’implantation sur le cuir chevelu, etc.).

Dans ce chapitre, nous présentons de premiers travaux menés dans ce sens, le but étant de

gé-nérer des chevelures naturelles de manière physiquement réaliste, en tenant compte des propriétés

physiques, structurelles et ethniques des cheveux individuels. Notre méthode s’appuie sur la physique

des tiges de Kirchhoff présentée au chapitre précédent, appliquée ici dans le cas statique. La Section 1

décrit le simulateur statique de cheveu unique mis au point par Basile Audoly en 2001, dans le cadre

de la collaboration avec L’Oréal sur la modélisation de cheveux : dans ce modèle, appeléHair3D, la

forme à l’équilibre d’un cheveu est calculée de manière stable et efficace par la minimisation de son

énergie potentielle. Nous mettons également en évidence les paramètres physiques importants du

si-mulateur qui nous seront utiles par la suite pour générer des formes de cheveux réalistes. En Section 2

nous proposons une extension de ce modèle de cheveu unique à l’échelle d’une chevelure complète.

Notre logiciel final est capable de prédire la forme d’une chevelure naturelle, pour des types ethniques

variés, et à partir d’un nombre réduit de paramètres intuitifs. Dans cette seconde partie, nous

présen-tons également l’interface utilisateur mise en place pour créer des coiffures rapidement, et de manière

intuitive. Cette interface offre à l’utilisateur la possibilité de réaliser virtuellement des opérations de

coiffure classiques telles que le mouillage, la coupe et le séchage. Enfin, nous présentons en Section 3

des résultats de coiffures obtenus ainsi qu’une validation de notre approche.

FIG. 6.1:Cheveux bouclés réelsvs.synthétiques. De gauche à droite : configuration à l’équilibre d’un cheveu bouclé ; mèche générée de manière procédurale à partir de ce cheveu ; mèche réelle dont on s’est inspiré pour la modélisation ; chevelure complète composée d’une centaine de mèches ; chevelure réelle dont on s’est inspiré pour la modélisation.

Le travail développé dans ce chapitre a fait l’objet d’un papier court à Eurographics en 2005

[BAQ

05], ainsi que d’une présentation à l’AFIG en 2005 [BAC

05] (prix du second meilleur

pa-pier).

1 Modèle statique d’un cheveu unique

Nous nous plaçons dans le cas statique des tiges de Kirchhoff (plus de dépendance en la

va-riable tempst). Nous considérons pour l’instant que le cheveu est uniquement soumis au champ de

la pesanteur. Les autres forces extérieures (notamment les forces de contact) seront considérées en

Section 2.2.

Sous ces hypothèses, les équations mécaniques de Kirchhoff (5.11) et (5.12) se récrivent :

∂Fint ∂s

s

ρSg

0

∂Mint ∂s

s

t

s

F

_int

s

0. ^(6.1)

Ces équations, combinées aux équations cinématiques (5.9), sont non-linéaires, en particulier à

cause du termet F

_int

dans l’équation des moments (voir Annexe B pour une réécriture explicite de

ce terme dans le cas 2D).

r

0 r

n

0 n

pouri

0

1

2 F

_int

L

0 M

_int

L

0. (6.2)

Une solution consisterait à résoudre numériquement ces équations statiques de Kirchhoff. Cette

approche, suivie par Pai [Pai02], mène à un système d’équations différentielles ordinaires non-linéaires

avec des conditions aux limites aux deux extrémités de la tige. Ce type d’équations ne peut se résoudre

que de manière itérative,viaune méthode de tir par exemple [AP88], et la non-unicité de la solution

peut soulever d’importantes difficultés numériques. Pour éviter ces problèmes, les équations de

Kir-chhoff statiques sont exprimées, de manière physiquement équivalente, sous la forme d’un problème

de minimisation d’énergie potentielle. Cette nouvelle formulation s’avère beaucoup plus facile à

ré-soudre et plus robuste. En effet, elle garantit de trouver une position d’équilibre stable de la tige,

pour un jeu de paramètres donné en entrée caractérisant la géométrie, l’encastrement et les propriétés

physiques de la tige.

Après une description de ce modèle statique, nous montrons et analysons les formes de cheveu

pouvant être générées par ce modèle, et présentons quelques résultats de validation.

Dans le document Simulation de chevelures virtuelles (Page 131-136)