i ∂u
i∂t
ΛΛΛ u
i(5.10b)
où v
s
t
est le vecteur vitesse etΛΛΛ
s
t
le vecteur rotation instantanée de la tige au tempst et au
points.
3.2 Équations dynamiques
On considère une portion infinitésimale de la tige, comprise entre la section droite en s et la
section droite ens
δs, sur laquelle on applique le principe fondamental de la dynamique, à savoir la
conservation de la quantité de mouvement et la conservation du moment cinétique.
FIG. 5.5:Bilan des forces appliquées sur une portion infinitésimale de tige, comprise entre les sections droites s et sx δs.
Forces en présence
Soitρla masse volumique (constante) de la tige etSl’aire d’une section quelconque de la tige,
supposée constante le long de la tige. La portion infinitésimale de la tige considérée a donc pour
masseρSδs, et elle est soumise à deux types de forces :
– Une force extérieure à la tige (le poids ou le frottement de l’air par exemple), notéePδs, où
P désigne la densité linéique de la force appliquée sur la tige (force par unité de longueur,
exprimée en N
Qm). Si on veut prendre en compte la gravité dans le modèle, on remplacera
doncPpar l’expressionρSgoùgest le champ gravitationnel.
– Une force interne à la tige, qui est la force appliquée sur la portion de longueurδspar le reste
de la tige. La propriété suivante donne une expression pour cette force.
Propriété 5.1 SoitF
ints
la force (en N) transmise à travers la section en s par la portion de la tige
située en s
%s (à droite) sur la portion de la tige située en s
% !s. AlorsF
ints
δs
F
ints
est la
force (en N) exercée sur la portion de la tige située entre les sections droites en s et en s
δs par le
reste de la tige.
Cette propriété se démontre facilement grâce aux principes de superposition des forces et
d’action-réaction. Noter que par le principe d’action-réaction, la force transmise à travers la section enspar la
portion de la tige située ens
% !s(à gauche) est
F
ints
(voir Figure 5.5).
Bilan de la quantité de mouvement
Le bilan de la quantité de mouvement sur une portionδsde la tige s’écrit donc :
ρSδs∂
2r
∂t
2s
t
F
ints
δs
t
F
ints
t
P
t
δs.
En divisant cette équation parδset en faisant tendreδsvers 0, on obtient alors l’équation
diffé-rentielle suivante pour la tige :
ρS∂
2r
∂t
2s
t
∂F
int∂s
s
t
P
t
. (5.11)
Rappelons que F
ints
désigne la force transmise à travers la section en s par la portion de la
tige située en s
%
s sur la portion de la tige située ens
%!
s,Pdésigne la densité linéique de force
appliquée sur la tige,ρsa masse volumique, etSl’aire de sa section.
Moments en présence
Trois types de moments peuvent s’exercer sur la portion infinitésimale de la tige considérée :
– Un moment appliqué de l’extérieur sur la tige (par exemple, un couple appliqué sur le bout
libre par un objet extérieur), notéQδs, oùQdésigne la densité linéique du moment appliqué
sur la tige (moment par unité de longueur, exprimé enN). Dans la suite, on considérera qu’il
n’y a pas de moment appliqué de l’extérieur.
– Le moment résultant des forces extérieures appliquées sur la portion δs de la tige. La force
Pδsn’applique pas de moment puisqu’elle est répartie uniformément à l’intérieur de la portion
considérée, mais la force interne à la tigeF
ints
δs
F
ints
applique au pointr
G, centre de
gravité du morceauδsde tige, le couple :
M
Fintr
s
δs
r
GOF
ints
δs
r
s
r
GO ?F
ints
.
En effectuant les développements limités deretF
intautour des, au second ordre,r
s
δs
r
s
δs
∂∂rso
δs
2etF
ints
δs
F
ints
δs
∂Fint ∂so
δs
2, il vient :
M
Fintr
s
r
GF ?F
ints
δs
F
ints
δs∂r
∂s
s
o
δs
2 O HF
ints
δs
r
s
r
GF =yδs∂F
int∂s
s
o
δs
2 {z yδs∂r
∂s
s
o
δs
2 {z2 ?F
ints
δs
.
Le termer
s
r
Gpeut s’écrire, à un facteur multiplicatif constant près,δs
∂r∂s
s
o
δs
2(car
r
s
|(r
G), donc au premier ordre, il ne reste dans l’expression deM
Fintque le second terme :
M
Fint(δs∂r
∂s
s
OF
ints
δst
s
OF
ints
oùt
s
rs δs rsδs
est le vecteur tangent à la tige ens(voir Figure 5.5).
– Le moment résultant des efforts de contact sur les sections droitessets
δs, appelé moment
interne. La propriété suivante donne une expression pour ce moment.
Propriété 5.2 SoitM
ints
le moment (en N
m) transmis à travers la section en s par la portion de
la tige située en s
%
s sur la portion de la tige située en s
%!
s. Alors M
ints
δs
M
ints
est le
moment (en N
m) exercé sur la portion de la tige située entre les sections droites en s et en s
δs par
le reste de la tige.
Équilibre des moments
Le théorème du moment cinétique indique qu’il y a égalité entre la dérivée temporelle du moment
cinétique du système par rapport à son centre de gravité, et la somme des moments extérieurs. Cet
équilibre des moments donne donc, sur la portionδsde tige considérée :
M
ints
δs
t
M
ints
t
t
s
t
OF
ints
t
δs
ρδs
}∂ΛΛΛ
∂t
s
t
où
} dΛΛΛdt
représente la dérivée du moment cinétique de la portion de tigeδs, considérée comme un petit
solide cylindrique indéformable.ΛΛΛest le vecteur rotation instantanée de la tige ens, introduit dans
les équations (5.10), et
}la matrice d’inertie de la portion de tigeδs. En fait, on montre que l’on peut
négliger le terme de droite de l’équation ci-dessus (approximation faite par Kirchhoff lui-même). En
effet,
}vaut en ordre de grandeur a
4(voir Section 3.4), où adésigne le rayon typique de la section
de la tige, et si l’on compare en ordre de grandeur le membre de droite de l’équation par rapport au
membre de gauche, on obtient :
ρ
N } ∂ΛΛΛ ∂t N NF
int N~ρS a
2 QT
2ρS L
g
~a
2L
2aveca
L
oùT désigne un temps caractéristique, gl’accélération de la pesanteur, Lla longueur typique de la
tige, avecL
gT
2. On a bien sûra
L, donc le terme d’inertie est bien négligeable dans
l’équa-tion des moments. On le prend égal à zéro dans la suite (on conservera un terme d’inertie non nul
uniquement dans l’équation des forces (5.11)).
En divisant l’équation précédente des moments par δs et en faisant tendre δsvers 0, on obtient
alors l’équation différentielle :
∂M
int∂s
s
t
t
s
t
OF
ints
t
0 (5.12)
Rappelons queM
ints
est le moment interne transmis à travers la section ensde la tige,F
ints
la force interne transmise à travers la section ensde la tige, et t
s
le vecteur unitaire tangent à la
courbe moyenne de la tige ens.
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Simulation de chevelures virtuelles
(Page 125-128)