Définition 5.4. Soit aune suite d’éléments de A et M un A-module. Pour un entier k, on dit que la dimension cohomologique de a relativement à M est inférieure à k lorsque ˇHi
a(M ) = 0 pour tout i > k. De manière abrégée
cd(a ; M ) 6 k ⇐⇒ Hˇia(M ) = 0, ∀ i > k Dimension cohomologique et rang arithmétique
Une première inégalité vérifiée par la dimension cohomologie est cd(a ; A) 6 δ(a), où δ(a) désigne le nombre minimal de générateurs radicaux de hai défini à la page 119, aussi appelé « arithmetical rank » dans la littérature. Plus précisément :
Proposition 5.5. Si δ(a) 6 k alors cd(a ; M) 6 k.
Preuve. Soit a une suite de longueur k telle que √a =√b. La cohomologie de Čech est invariante par radical donc ˇHi
a(M ) = 0 pour tout i > k. Two skew lines in P3(k)
En guise d’application, donnons un exemple archi-classique qui figure par exemple dans [ILL+07, example 9.17]. Considérons l’idéal hX, Y i · hU, V i de A = k[X, Y, U, V ] où k est un anneau commutatif. Son lieu des zéros dans P3(k) est la réunion de deux droites gauches (skew lines, in english). On pose a = (X, Y ) et b = (U, V ). L’idéal est alorshabi où ab désigne la suite produit (XU, XV, Y U, Y V ). On va montrer que δ(ab) > 3, autrement dit l’idéal n’est pas radicalement 2-engendré.
La suite exacte de Mayer-Vietoris (plus précisément le morphisme de liaison) fournit l’isomorphisme ˇ
H3
ab(A)≃ ˇH4a,b(A). Ce dernier module n’est ni plus ni moins que le dernier module de cohomologie de la suite des 4 indéterminées (X, Y, U, V ) sur l’anneau A = k[X, Y, U, V ]. D’après la proposition 4.1, on en déduit que ˇH3ab(A) est non nul. La proposition précédente montre que l’idéal habi ne peut pas être radicalement 2-engendré. Cependant, l’idéal est radicalement 3-engendré par (XU, Y V, XV + Y U). Dimension cohomologique : anneau versus module
Il est bien connu que la dimension cohomologique de a relativement à un module quelconque est inférieure à celle définie relativement à l’anneau, i.e. cd(a ; M) 6 cd(a ; A). On se propose de fournir une démonstration élémentaire reposant uniquement sur le fait que le module ˇCi
a(A) est plat. On trouve souvent des preuves noethériennes de ce résultat, confer par exemple [ILL+07, theorem 9.6]. Cependant, il faut signaler la proposition 4.1 de l’article [CJR13] qui donnent plusieurs inégalités et ceci dans un contexte très général.
II-5. Le complexe de Čech est un complexe de modules plats
Proposition 5.6. Soit k un entier. Si ˇHi
a(A) = 0 pour tout i > k alors ˇHia(M ) = 0 pour tout i > k et ˇ
Hk
a(M )≃ ˇHka(A)⊗ M. En particulier cd(a ; M) 6 cd(a ; A).
Preuve. On est exactement dans les conditions de la proposition 5.2 avec le complexe ˇ
Ck
a(A) Cˇk+1a (A) · · · Cˇan−1(A) Cˇna(A) 0
Chapitre III
La suite exacte de Mayer-Vietoris en
cohomologie de Čech
1 Un tour d’horizon de la littérature
Ce chapitre1est consacré à la mise en place de la suite exacte de Mayer-Vietoris en cohomologie de Čech, cohomologie relative au complexe de Čech augmenté, complexe encore appelé « the stable Koszul complex ». Notre approche se veut élémentaire pour plusieurs raisons et est radicalement différente de celle de Grothendieck, dont le cadre est la cohomologie locale des faisceaux.
En effet, il ne sera pas question de faisceaux injectifs ou flasques, comme dans l’exposé de Gro- thendieck, ni de constructions relativement éthérées comme celles conduisant à la cohomologie locale noethérienne des algébristes. Interviendront uniquement des objets effectifs permettant d’éventuelles im- plémentations. Pour mieux situer notre travail, donnons quelques détails concernant ces diverses théories cohomologiques.
Pour un schéma affine X = Spec(A), un faisceau quasi-cohérent fM et un fermé Y = V (a) de X (où a une suite finie d’éléments d’un anneau A et M un A-module), les modules Hi
Y(X, fM ) de cohomologie locale des faisceaux s’identifient aux modules ˇHi
a(M ) de cohomologie de Čech. Cette identification permet non seulement de travailler avec un anneau commutatif A et un A-module M, mais aussi de rester avec des objets élémentaires sans invoquer le spectre premier de A. Parmi ces objets explicites, il faut citer celui sur lequel tout repose, à savoir le complexe de Čech ˇC
·
a(M ) sur M d’une suite a = (a1, . . . , an)ˇ
C
·
a(M ) : 0 Cˇ0a(M ) Cˇ1a(M ) · · · Cˇna(M ) 0dont le terme ˇCk
a(M ) de degré k est une somme directe de localisés MaI de M (où I est une partie de
{1, . . . , n} et aI =Qi∈Iai) et dont la différentielle est donnée par
d : M #I=k MaI −→ M #J=k+1 MaJ, mI 7→ M j /∈I (−1)εj(I)(m I)I∨j
où εj(I) est le nombre d’éléments de I strictement inférieurs à j. Par définition, la cohomologie de ce complexe fournit les modules ˇHi
a(M ) de cohomologie de Čech de M relativement à a.
En ce qui concerne la différentielle du complexe de Čech sur A, il s’avère efficace d’en donner une re- présentation matricielle (comme dans [MP99, p.57-58]). Par exemple, pour n = 4 et k = 2, la différentielle d2: ˇC2a(A)→ ˇC3a(A) peut être représentée matriciellement par :
12 13 14 23 24 34 123 1 −1 0 1 0 0 124 1 0 −1 0 1 0 134 0 1 −1 0 0 1 234 0 0 0 1 −1 1 . 1. Son contenu est identique à l’article [Têt14].
III. La suite exacte de Mayer-Vietoris en cohomologie de Čech
Une autre manière expéditive pour définir le complexe de Čech de a sur A consiste à le réaliser comme le produit tensoriel de n complexes élémentaires ˇC
·
ai(A) où pour un scalaire a∈ A, on a :degrés : 0 1
ˇ
C
·
a(A) : 0 Aloc
Aa 0
De son côté, la cohomologie locale d’un espace topologique X à coefficients dans un faisceau F de groupes abéliens et à support dans un fermé Y a été introduite par Grothendieck lors de son séminaire de 1961 intitulé « Local Cohomology ». Elle est définie à partir du foncteur F 7→ ΓY(X,F) des sections globales à supports dans Y qui est un foncteur covariant exact à gauche. Son i-ème foncteur dérivé à droite, c’est-à-dire le i-ème groupe de cohomologie du complexe ΓY(X,Q
·
) oùQ·
désigne une résolution injective de F, est le i-ème groupe de cohomologie locale des faisceaux.Dans ce cadre très général, la suite exacte de Mayer-Vietoris s’énonce ainsi
Soit X un espace topologique, F un faisceau de groupes abéliens et Y1, Y2deux fermés de X. On a une longue suite exacte, dite de Mayer-Vietoris :
· · · Hi Y1∩Y2(X,F) H i Y1(X,F) ⊕ H i Y2(X,F) H i Y1∪Y2(X,F) H i+1 Y1∩Y2(X,F) · · ·
Et la preuve (cf. [Har77, exercice III.2.4, p. 212]) dans ce contexte est quasi-immédiate car le for- malisme de Grothendieck est très efficace (la preuve fait intervenir la notion de faisceau flasque et le fait qu’un faisceau injectif de groupes abéliens est flasque, cf. [Har67, lemma 1.5]). Pour étendre cet énoncé (et sa preuve) à la catégorie des faisceaux de OX-modules sur un espace annelé (X, OX), il suffit d’utiliser la proposition 2.6 de [Har77], chapitre III. Grâce à l’isomorphisme mentionné au début Hi
V (a)(Spec(A), fM )≃ ˇHia(M ) (cf. [Har67, theorem 2.3]), « débarque » la suite exacte de Mayer-Vietoris
en cohomologie de Čech ! Mais cet argument de force n’en fournit pas une description s’inscrivant dans le cadre algébrique élémentaire que nous nous sommes imposés. La vocation de ce chapitre est de donner naissance à cette suite exacte de Mayer-Vietoris en cohomologie de Čech et non d’invoquer le formalisme très puissant de Grothendieck.
Vu l’abondance de la littérature sur la cohomologie locale algébrique avec notamment la parution des deux ouvrages [BS07] et [ILL+07], il nous paraît intéressant de présenter succinctement cette théorie et le traitement mis en place pour obtenir la suite exacte de Mayer-Vietoris, bien que cette cohomologie ne mesure pas toujours la même chose que la cohomologie de Čech.
La cohomologie locale algébrique de M à support dans un idéal a de A est définie à partir du A-module :
Γa(M ) =
x∈ M | a ⊂√Ann x = x∈ M | ∀ a ∈ a, x = 0 dans le localisé Ma qui est aussi, lorsque a est de type fini, égal à
Γa(M ) =
x∈ M annulés par une puissance de a .
Il est facile de voir que l’on obtient un foncteur covariant M 7→ Γa(M ) exact à gauche. On définit alors le i-ème module de cohomologie locale Hi
a(M ) de M à support dans a comme étant le i-ème foncteur dérivé à droite, c’est-à-dire le i-ème module de cohomologie du complexe Γa(Q
·
) où Q·
désigne une résolution injective de M.Il n’est pas inutile de remarquer que le foncteur M 7→ Γa(M ) est le pendant algébrique du fonc- teur F 7→ ΓY(X,F) lorsque X = Spec(A), F = fM et Y = V (a). En effet, une section globale de
ΓV (a)(Spec(A), fM ) s’identifie à un x de M nul dans tous les (Mp)p/∈V (a) i.e. tel que a ⊂ √Ann x. On
voit donc une analogie flagrante entre cohomologie locale faisceautique et cohomologie locale algébrique. Mais cette analogie n’a lieu qu’en apparence et est en fait trompeuse car ces deux cohomologies sont différentes, en témoignent d’ailleurs les propos d’Eisenbud dans [Eis05] : « If A is non-noetherian, then the Čech complex does not always compute the derived functors in the category of A-modules of Γa(), even for finitely generated a. Rather, it computes the derived functors in the category of (not necessarily quasi-coherent) sheaves of OSpec(A)-modules. For this and other reasons, the general definition of the local
III-1. Un tour d’horizon de la littérature
cohomology modules should probably be made in this larger category. See [Hartshorne/Grothendieck 1967] for a treatment in this setting ».
Bien que différentes en général, les cohomologies locale algébrique et de Čech sont étroitement liées ; la considération du bicomplexe (ˇCp
a(A)⊗AQq)p>0, q>0 où Q
·
est une résolution injective de M, fournitun morphisme canonique en notant a = hai:
Hai(M ) −→ ˇHia(M )
qui est un isomorphisme si A est noethérien. En fait, il y a une condition bien plus précise que la noethérianité qui assure l’isomorphie des deux cohomologies. Et cette condition porte non plus sur l’anneau, mais sur la suite a elle-même cf. la notion de suite faiblement pro-régulière chez Schenzel [Sch03], ou la condition de Mittag-Leffler chez [Wei94, p. 117-118]. Signalons à ce sujet que tout ceci figure dans l’exposé de Grothendieck sous l’appellation « système inverse essentiellement nul », cf. [Har67, p. 23].
La preuve la plus répandue de la suite de Mayer-Vietoris en cohomologie locale est basée sur la réalisation de Hi
a(M ) comme lim−→ℓExt
i(A/aℓ, M ) (cf. par exemple [Wei94, p. 115]) et fait appel au lemme d’Artin-Rees, lemme qui requiert bien entendu un anneau de base noethérien. Concernant le comportement de cette limite, profitons-en pour rapporter les propos de Mustata [Mus00] : « In general, this limit is not well behaved : the natural maps Exti(A/aℓ, A)
→ Hi
a(A) are not injective and it is difficult to understand how their images converge to Hi
a(A) ». Dans l’ouvrage [ILL+07, theorem 15.1, p. 153], on peut également trouver une approche reposant sur la notion d’enveloppe injective et ses propriétés noethériennes.
Au regard de ces deux théories cohomologiques (cohomologies locale faisceautique et algébrique) et des preuves fournies dans leur contexte, on comprend qu’établir la suite exacte de Mayer-Vietoris en cohomologie de Čech, en des termes algébriques élémentaires, ne va a priori pas de soi.
Donnons l’énoncé précis que nous allons démontrer dans ce chapitre.
Théorème. Soit A un anneau commutatif et M un A-module. On considère a = (a1, . . . , an) et b = (b1, . . . , bm) deux suites de A. On note ab la suite constituée des nm termes aibj dans un certain ordre. Alors on dispose d’une suite exacte longue explicite, dite de Mayer-Vietoris,
0 Hˇ0
a, b(M ) Hˇ0a(M )⊕ ˇH0b(M ) Hˇ0ab(M )
ˇ H1
a, b(M ) Hˇ1a(M )⊕ ˇH1b(M ) Hˇ1ab(M ) · · ·
La stratégie adoptée pour démontrer cet énoncé consiste à exhiber une suite exacte courte de com- plexes de « type Čech » ayant les cohomologies attendues. Ces nouveaux complexes de « type Čech » sont obtenus à partir du complexe de Čech ˇC = ˇCa, b, ab(M ) en sélectionnant certains localisés, i.e. en sélectionnant certaines parties de P(a, b, ab). Une façon naturelle et rigoureuse de traduire cela est d’in- troduire un complexe simplicial ∆ sur les sommets étiquetés par les scalaires de (a, b, ab) et de considérer le complexe quotient ˇC/ ˇC∆ où ˇC∆ est un sous-complexe ad hoc de ˇC dépendant de ∆. Pour des com- plexes simpliciaux judicieusement choisis, on retrouve certains complexes de Čech habituels et la suite exacte courte de complexes évoquée ci-dessus prend la forme suivante
0 C/ ˇˇ C∆ Cˇ
a, ab⊕ ˇCb, ab Cˇab 0
où ∆ est un complexe simplicial sur (a, b, ab) qui sera bien sûr précisé par la suite. Au milieu et à droite, on voit apparaître, grâce à l’invariance par idéal de la cohomologie de Čech, les cohomologies attendues. Tout le travail consiste à cerner la cohomologie du complexe ˇC/ ˇC∆ (dont on aimerait qu’elle donne la cohomologie de a, b qui est celle de ˇC) ou plutôt à prouver que le complexe ˇC∆est acyclique. Intervient alors une combinatoire relativement étonnante, combinatoire intimement liée à la forme du complexe simplicial ∆. C’est elle qui permettra d’expliciter une homotopie contractante montrant largement l’acy- clicité de ˇC∆.
III. La suite exacte de Mayer-Vietoris en cohomologie de Čech
2 Des complexes de « type Čech »
On rappelle qu’un complexe simplicial ∆ sur un ensemble fini V est un ensemble de parties de V stable par inclusion : si J ∈ ∆ et J′⊂ J, alors J′ ∈ ∆.
Dans toute cette section, on considère M un A-module et a = (a1, . . . , an) une suite d’éléments de A.