Dictionnaire de curvelets

Dans cette expérience, nous estimons les atomes d’un dictionnaire de curvelets à l’aide d’un arbre de convolution basé sur un pavage fréquentiel spécifique à la décomposition en curvelets. Les codes, atomes et la donnée vivent dans des images de taille 256 × 256.

Pyramide de pavages fréquentiels imbriqués

La transformée en curvelet divise d’abord le plan fréquentiel en L anneaux carrés concentriques autour de la fréquence (0, 0). Ensuite, chacun de ces anneaux à l’exception du carré central est divisé en plusieurs zones angulaires trapézoïdales. Les anneaux extérieurs (i.e., les pavés associés aux hautes fréquences) ont plus de zones angulaires que les anneaux intérieurs (i.e., associés aux basses fréquences).

Pour cette expérience, le nombre de zones angulaires est fixé à 8 dans le premier anneau, et double tous les deux anneaux après cela. Chaque niveau l ≤ L = 3 de la pyramide est défini par un pavage curvelet standard (voir [CDDY06]) à ce niveau de décomposition. La pyramide de pavages fréquentiels imbriqués est représentée sur la figure 3.4.

Arbre de convolution

L’arbre est construit en suivant les règles de la section 3.4.1, avec J = 2 arêtes consécutives par niveau de décomposition, afin d’améliorer la qualité de reconstruction. Pour une décomposition en curvelets de niveau L = 3, l’arbre a alors une profondeur de K = 6 niveaux. Il est représenté sur la figure 3.5(au milieu). Les supports des noyaux sont limités à une fenêtre 3 × 3 (c = 1), dilatés tous les J = 2 niveaux comme défini par l’équation (3.23).

Nous étudions deux tailles de support, c = 1 et c = 2. L’arbre étant composé de 70 noyaux de convolution, le nombre de degrés de liberté est 630 pour c = 1 et 1750 pour c = 2. Stocker les #F = 25 atomes cibles en intégralité demanderait 112508 valeurs (la somme des tailles de leur support effectif), ce qui donne une réduction de l’espace de recherche de RER ≈ 178 pour c = 1 et RER ≈ 64 pour c = 2. Ces chiffres démontrent l’efficacité de la représentation.

3.4 - Expériences de mise à jour du dictionnaire 103

Protocole

L’expérience est mise en place de la manière suivante.

— Synthèse des atomes cibles par transformée en curvelets inverse de chaque pavé du niveau K. Nous utilisons la méthode de transformée en curvelet rapide proposée par [CDDY06].

— Construction de l’arbre à partir de la pyramide et association des atomes aux feuilles de l’arbre correspondant à leur pavé fréquentiel.

— Synthèse des données y à l’aide de la formule (3.2), plaçant une occurrence de chaque atome dans une image 256 × 256 (ces occurrences étant bien séparées les unes des autres, voir la figure 3.10).

— Résolution de (F T L) à l’aide de l’arbre, connaissant x, pour construire une approximation de y.

Résultats

La figure 3.10 montre la comparaison entre les données synthétiques et les données estimées. L’erreur de reconstruction associée est NRE = 0.188 pour c = 1 et NRE = 0.053 pour c = 2. Une comparaison plus précise entre atomes cibles et estimés est présentée sur la figure3.11. Nous observons que les atomes estimés sont très proches des atomes cibles. Le tableau3.3donne les valeurs de PSNR∗ de certains atomes estimés, pour des supports de 3 × 3(c = 1) et 5 × 5(c = 2). Sur l’ensemble des #F = 25 atomes, les valeurs de PSNR∗ varient entre 33.3 et 40.1. L’amélioration du PSNR∗ entre

c = 1 et c = 2 est conséquente, mais l’augmentation de la complexité calculatoire l’est également

(notamment celle des calculs de C_eTCe et Le, respectivement en O(S2)#P et O(S3)).

La figure 3.12 compare les supports fréquentiels des atomes estimés à ceux des atomes cibles. Nous constatons que les pavés fréquentiels sont les mêmes, en dépit de quelques artefacts de faible énergie pour c = 1. L’incertitude discrète des atomes estimés et cibles est donnée pour les 25 atomes par l’histogramme de la figure 3.13. Il est clair que les atomes estimés sont toujours plus localisés que les atomes cibles. Si la localisation fréquentielle change peu, c’est la localisation spatiale des atomes estimés qui est améliorée (particulièrement pour le cas c = 1, qui a les plus petits supports accessibles). Clairement, cette différence est due au fort étalement spatial des curvelets.

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Figure 3.10 – Estimation du dictionnaire de curvelets : (en haut) Données synthétiques y =Pf ∈Fx f_{∗ A}f_;

(au milieu) Donnée estiméeP

f ∈Fx

3.4 - Expériences de mise à jour du dictionnaire 105

Figure 3.11 – Comparaison des atomes de curvelets : (à gauche) Atomes cibles synthétisés par transformée en curvelets inverse ; (au milieu) Atomes estimés (c = 1) ; (à droite) Atomes estimés (c = 2).

Figure 3.12 – Comparaison des atomes de curvelets : (à gauche) Supports fréquentiels des atomes cibles ; (au milieu) Support fréquentiel des atomes estimés (c = 1) ; (à droite) Support fréquentiel des atomes estimés (c = 2).

106 _{Chapitre 3 - Arbres de Convolution pour l’Apprentissage multi-atomes}

Finalement, l’action de l’opérateur transposé DT sur un symbole de Kronecker est illustrée sur la figure3.14. Nous y voyons les convolutions successives des noyaux (dont les axes sont inversés), de la racine aux feuilles. Notons que malgré la nature abstraite de cette structure à six niveaux, il est clair que chaque noyau a appris un rôle spécifique dans l’approximation. De plus, contrairement à l’expérience précédente dans laquelle la structure de l’arbre n’était pas adaptée au dictionnaire, nous n’observons pas deux schémas identiques dans des branches différentes. Encore mieux, les schémas formés au 4ième niveau évoquent clairement les curvelets issues d’une décomposition de niveau 2, alors que ces dernières ne sont impliquées ni dans le modèle ni dans les données. La figure3.15fournit un comparatif visuel de ces schémas avec les curvelets de niveau 2, et la figure 3.16 compare leurs supports fréquentiels respectifs.

3.4 - Expériences de mise à jour du dictionnaire 107

PSNR∗ H1 _H2 _H6 _H7 _H11 _H12 _H16 _H17 _H21 _H22

c = 1 35.0 33.4 33.3 36.1 37.0 40.1 37.1 36.8 38.9 39.0

c = 2 42.4 36.9 37.1 41.8 45.2 45.6 45.3 44.8 46.2 46.5

Table 3.3 – PSNR∗ de certains atomes de curvelets estimés, pour des supports de 3 × 3 (c = 1) et 5 × 5 (c = 2).

Figure 3.13 – Incertitude discrète δsf des atomes cibles et des atomes estimés pour c = 1 et c = 2. Plus δsf

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Figure 3.14 – Décomposition de l’action de l’opérateur transposé DT sur un symbole de Kronecker (diction- naire appris avec L = 3, J = 2 et c = 1). Les compositions de convolutions des noyaux estimés sont calculées le long des branches de l’arbre. Au bout de chaque arête e, nous représentons la convolution du noyau associé

he _{avec tous les noyaux parents jusqu’à la racine. Ainsi, les atomes estimés sont représentés aux feuilles de}

3.4 - Expériences de mise à jour du dictionnaire 109

Figure 3.15 – Comparaison entre les schémas formés par l’opérateur DT au niveau 4 de l’arbre (avec c = 1) lors de l’apprentissage d’un dictionnaire de curvelets de niveau L = 3 (1ère ligne) et les atomes de curvelets issus d’une décomposition au niveau L = 2 (2ème ligne).

Figure 3.16 – Comparaison entre les réponses en fréquence des schémas formés par l’opérateur DT au niveau 4 de l’arbre (avec c = 1) lors de l’apprentissage d’un dictionnaire de curvelets de niveau L = 3 (1ère ligne) et les supports fréquentiels des curvelets issues d’une décomposition au niveau L = 2 (2ème ligne).

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