Atomes de cosinus

Dans cette expérience, nous estimons des atomes de cosinus à l’aide d’un arbre de convolution non optimal. Les atomes cibles sont des fonctions cosinus 2D de fréquences variées. Les codes, atomes et la donnée vivent dans des espaces de taille 256 × 256 (espace image).

Atomes cibles

Les atomes cibles sont définis par des fonctions cosinus 2D sur l’intervalle [−π, π]2. Tous sont supportés sur un ensemble carré w de 25×25 pixels représenté par une fenêtre rectangulaire1_w. Nous sélectionnons #F = 9 différentes fréquences (basses et hautes, horizontales, verticales et combinées) normalisées (ν_x, νy), dont la liste est donnée dans le tableau 3.1. Les fonctions cosinus sont alors

calculées comme suit, et représentées sur la figure3.8.

∀f ∈ F , Af

px,py = cos(2πνxpx) cos(2πνypy)1w

Arbre

L’arbre utilisé pour l’estimation est volontairement générique. Il est constitué de K = 9 niveaux et de #F feuilles. Sa structure est représentée sur la figure 3.6. À chacun des neuf atomes définis dans le paragraphe précédent est associée une feuille arbitraire de l’arbre. C’est à dire qu’aucun effort n’est fait pour regrouper les atomes de fréquences ou d’orientations similaires de façon à ce qu’ils partagent des noyaux. Notre intention est d’observer comment la méthode se comporte lorsque la structure de l’arbre n’est pas particulièrement adaptée à la tâche.

Les supports des noyaux sont fixés par le paramètre c = 1, c’est à dire limités à des fenêtres de 3 × 3 pixels. Le support accessible est une fenêtre de taille 33 × 33, assez grande pour capter les supports de taille 25 × 25 des atomes cibles. L’arbre étant composé de 39 noyaux de convolution, le nombre de degrés de liberté est 39 × 32= 351, alors que stocker les neufs atomes cibles en intégralité demanderait 9×252= 5625 valeurs, ce qui donne une réduction de l’espace de recherche de RER ≈ 16.

3.4 - Expériences de mise à jour du dictionnaire 97

Atomes A1 _A2 _A3 _A4 _A5 _A6 _A7 _A8 _A9

(νx, νy) ×10−2 (2,2) (2,20) (2,6) (6,6) (14,6) (2,10) (14,14) (20,2) (6,2)

Table 3.1 – Fréquences normalisées des atomes de cosinus.

Figure 3.6 – La structure d’arbre utilisée pour l’estimation des atomes de cosinus. La racine est l’arête courte au centre du graphe.

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Figure 3.7 – Atomes de cosinus A1 à A9.

Protocole

L’expérience est mise en place de la manière suivante.

— Définition des atomes cibles par les fonctions cosinus choisies. — Définition de l’arbre T (E , N ) (voir figure3.6).

— Synthèse des données y par la formule (3.2), plaçant une occurrence de chaque atome dans une image 256 × 256, ces occurrences étant bien séparées les unes des autres.

— Résolution de (F T L) à l’aide de l’arbre, connaissant x, pour construire une approximation de y.

Résultats

La figure3.8montre les atomes estimés. Nous observons que certains de ces atomes approximent bien leur cible, alors que d’autres sont clairement moins fidèles, comme H2 et H5. Autrement dit, la qualité d’approximation n’est pas homogène entre les différents atomes. Les valeurs de PSNR∗ sont comprises entre 13 et 24, comme le montre le tableau 3.2. Notons que les atomes A2 et H8

3.4 - Expériences de mise à jour du dictionnaire 99

Atoms H1 _H2 _H3 _H4 _H5 _H6 _H7 _H8 _H9 PSNR∗ 22.8 14.4 21.1 23.3 17.0 24.3 20.1 13.7 21.8

Table 3.2 – PSNR∗des atomes de cosinus estimés.

sont de même fréquence absolue, et que les supports définis par (3.23) sont isotropes. Or, les atomes estimés correspondants H2 et H8n’ont pas le même PSNR∗. Il parait dès lors sensé de considérer que l’organisation de l’arbre, et notamment le placement des différents atomes aux différentes feuilles, a une influence sur la capacité d’approximation.

L’action de l’opérateur transposé DT sur un symbole de Kronecker est illustrée sur la figure 3.9. Nous y voyons les convolutions successives des noyaux (dont les axes sont inversés), de la racine aux feuilles. Notons que malgré la nature abstraite de cette structure à neuf niveaux, il est clair que chaque noyau a appris un rôle spécifique dans l’approximation. Par exemple, les noyaux proches de la racine, étant communs à plusieurs branches, ont tendance à évoluer vers des formes lisses, régulières. Le noyau racine lui-même joue le rôle d’une fonction d’étalement de point qui affecte l’image entière. Au contraire, lorsque l’on se rapproche des feuilles, les noyaux apprennent des schémas plus spécifiques. Cependant, il semble que dans les arêtes proches des feuilles, plusieurs noyaux soient très simi- laires. Par exemple, sur la figure 3.9, dans le sous-arbre du bas, nous voyons que l’action des deux premiers noyaux de la branche la plus à gauche donne un résultat similaire à l’action de leurs ho- mologues de la branche la plus à droite. Manifestement, les noyaux liés à l’atome approché par la branche du milieu ne partagent pas les mêmes caractéristiques. En effet, cet atome est très différents des deux autres. Par conséquent, nous avons l’impression que ces branches auraient pu être fusion- nées jusqu’à l’avant dernier niveau sans perte sensible de qualité si la structure de l’arbre avait été différente. Ceci soulève la question de comment construire des arbres de convolution efficaces sans avoir recours à un niveau prohibitif de conception “à la main”.

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3.4 - Expériences de mise à jour du dictionnaire 101

Figure 3.9 – Décomposition de l’action de l’opérateur transposé DTsur un symbole de Kronecker (dictionnaire appris avec c = 1). Les compositions de convolutions des noyaux estimés sont calculées le long des branches de l’arbre. Au bout de chaque arête e, nous représentons la convolution du noyau associé he_{avec tous les noyaux}

parents jusqu’à la racine. Ainsi, les atomes estimés sont représentés aux feuilles de l’arbre. Les images sont zoomées lorsque l’on se rapproche de la racine pour améliorer la visibilité.

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