Lx = 0, 11127 Ly = −0, 0025328 Lz = −0, 80873 ,
interprété comme une signature de la forme (+ ; 0 ; −), ce qui confirme le caractère chaotique du système pour cette valeur [BPM88].
7.3 Diagramme de bifurcation
Jusqu’à présent, le cas a = −0, 7 a fait office d’exemple pour illustrer l’aspect chaotique du système. Il est alors légitime de se demander pour quelle valeur de a le même comportement est visible. Cet intervalle de valeurs est déterminé empiriquement par l’intermédiaire du diagramme de bifurcation. Il s’agit d’une représentation graphique de dimension 2 où les valeurs du para-mètre de contrôle sont portées en abscisse et où une valeur caractérisant l’état du système en régime stationnaire est portée en ordonnée. Le principe algorithmique est le suivant :
– Le paramètre de contrôle a est discrétisé sur l’intervalle [−3 ; 0[, avec un pas ∆a le plus petit possible.
– Pour chaque valeur de a, Ntir calculs de trajectoires issus d’autant de conditions initiales choisies dans l’espace des phases sont effectués jusqu’à un temps où le régime stationnaire est suffisamment installé. Seule la partie de chaque trajectoire pour t > t0, temps à partir duquel le régime transitoire n’est plus, est retenue.
– La valeur moyenne de la première composante de chacune des Ntir sous-trajectoires est calculée puis portée en ordonnée.
Le processus peut s’avérer être long vu que Ntir˙( 3 ∆a
+ 1) calculs de trajectoires sont requis. Le temps t0 est déterminé empiriquement sur la base de la lecture de plusieurs simulations nu-mériques, amenant à faire le compromis d’un choix de calcul de trajectoires sur 600 échantillons avec un pas de discrétisation h = 0, 05 pour que t0 = 300.h = 15(sec). Ntirest également dé-terminé empiriquement, la limite concernant ce dernier étant uniquement fixée par la puissance de calcul à disposition. Ntir = 50 est en ce sens un bon compromis.
7- Mise en évidence du chaos dans le problème (Pa) 35
FIG. 14 – Diagramme de bifurcation pour a ∈ [−3 ; 0[. En ordonnée, pour chaque valeur de a, lesNtir= 50 valeurs moyennes de 600 échantillons de la solution de (Pa).
Le résultat de cette simulation est présenté sur figure 14, et en version agrandie sur la zone [−1 ; 0[. Les comportements observés en fonction de a sont identiques à ceux rencontrés lors de l’étude locale du système.
FIG. 15 – Diagramme de bifurcation pour a ∈ [−1 ; 0[. En ordonnée, pour chaque valeur de a, lesNtir= 50 valeurs moyennes de 600 échantillons de la solution de (Pa).
Remarque : La figure15 permet de comprendre le choix si fréquent dea = −0, 7 dans les travaux des électroniciens sur le Double Scroll. Ce choix de valeur assure qu’en cas de déviation de processus17, entraînant donc une variation dea, le système reste en mode chaotique et ne risque pas de bifurquer vers les modes stables ou instables.
Trois tendances se dégagent, jusqu’à a = −1, les trajectoires convergent toutes vers x ± 1, première coordonnée des points fixes P±1.
FIG. 16 – Portrait de phase de deux trajectoires pour a = −1, 1 sur N = 50000 points avec un pash = 0, 01 secondes.
Puis, dans un intervalle inclus dans ] − 0, 99 ; −0, 4[ la répartition des valeurs est désordonnée autour des trois points fixes tout en restant bornée, le système évolue de façon chaotique.
FIG. 17 – Portrait de phase d’une trajectoire pour a = −0, 5 sur N = 50000 points avec un pas h = 0, 01 secondes.
7- Mise en évidence du chaos dans le problème (Pa) 37
FIG. 18 – Portrait de phase de deux trajectoires pour a = −0, 3 sur N = 50000 points avec un pash = 0, 01 secondes.
Deux enseignements sont à tirer de l’étude du diagramme de bifurcation. Tout d’abord, la plage de valeur où il y a présence de chaos si a appartient à un intervalle inclus dans ] − 0, 99 ; −0, 4[. Ce dernier diffère de ce qu’annonce Elwakil d’une part [Elw01] et Radwan d’autre part [Rad03], à savoir a ∈] − 0, 98 ; −0, 48[. Cette différence s’explique par le fait qu’eux travaillent sur un circuit électronique et non pas avec des simulations numériques comme c’est le cas ici. Cela a pour conséquence, en dépit de la convergence du problème discret vers le problème continu, d’engendrer des résultats différents en vertu de la propriété de S.C.I., une simple différence d’ar-rondi ou de troncature sur les conditions initiales ou sur le paramètre de contrôle par rapport à la version électronique du problème fait que nécessairement la trajectoire étudiée n’est pas celle escomptée mais une trajectoire voisine.
De son côté, Telandro trouve a ∈ [−0, 89 ; −0, 49] avec une précision de 10−2. La plage de chaos qu’il a trouvée est différente. Cela peut s’expliquer en pratique par le fait qu’il est très difficile de mesurer correctement a, ceci à cause d’éléments parasites qui modifient sa valeur effective.
Les systèmes dynamiques chaotiques, par leur propriété de S.C.I., sont tels que le simple fait de les étudier expérimentalement influe quantitativement sur la nature de leurs trajectoires. Cela signifie qu’une trajectoire observée n’est pas en fait celle correspondant au système étudié. Ceci est dû aux erreurs d’arrondis dans le cas numérique et aux erreurs de déviation de processus des composants dans le cas analogique. Dans les deux cas, l’impact de ces sources d’erreurs peut être qu’au mieux réduit, il y aura systématiquement une différence entre ce qui est mesuré et ce qui est effectif. Devant ce paradoxe chaotique, il est légitime de se demander s’il existe une similitude, au moins philosophique, avec la mécanique quantique.
Pour mettre en évidence cette similitude, une microscopique excursion dans le domaine de la mécanique quantique s’impose. La mécanique quantique peut être décrite sous un aspect pro-babiliste, mais cette description est contestée. A. Einstein, par exemple, réfutait cette vision des choses en considérant que la description n’est pas probabiliste mais déterministe et incomplète dans la mesure où elle ne tient pas compte de ce qu’il appelle les variables d’état cachées18. Il propose une vision déterministe basée sur les variables d’état complètes des particules étudiées. Quelle que soit l’interprétation choisie, à l’échelle microscopique, la mesure influe sur l’état
des particules mesurées. Les physiciens pour décrire cela parlent de “perturbation incontrôlable sur le destin des particules”. Ainsi, l’analogie entre le paradoxe quantique microscopique et le paradoxe chaotique macroscopique est légitime, car dans ces deux domaines, le simple fait de vouloir observer le système à une incidence directe sur l’état du système.
Le diagramme de bifurcation permet ainsi de donner une plage de valeurs du paramètre de contrôle telle que le système évolue de façon chaotique. Cette plage est cependant difficile à obtenir en pratique, et les résultats sont différents suivant la voie d’analyse utilisée, ceci à cause de la propriété S.C.I. du système. La section suivante présente l’étude des propriétés spectrales liées au chaos.