Application à la détection d’une activité de courant

– Détermination numérique des znde la décomposition de l’observation. – Construction numérique de la fonctionnelle T (z).

– Décision suivant la relationIV.29. L’algorithme de détection est proposé sous forme sché-matique mais explicite sur la figure2.

FIG. 2 – Algorithme du Filtrage Adapté Stochastique utilisé en détection

5.5 Application à la détection d’une activité de courant

Le but est de détecter la présence d’activité de courant dans une observation, puis de tirer profit des informations détectées afin de proposer un choix de conditions initiales pertinent vis-à-vis de la physique du problème. Un tel choix permettrait alors de contourner la difficulté, due à la non-convexité et aux problèmes d’échelle des paramètres à estimer, récurrente dans ce chapitre et plus généralement dans tout problème d’optimisation sortant des sentiers battus. Comme l’indique l’algorithme précédent, la première étape consiste à modéliser et estimer au mieux les matrices de variance covariance du signal et du bruit. Il est clair que la qualité de ces estimations influe directement sur la qualité des résultats.

Afin de mettre au point et d’étalonner la technique, une observation test est construite, cette dernière est présentée figure3

5- Détection d’une activité de courant par utilisation du Filtrage Adapté Stochastique 135

FIG. 3 – Observation synthétique d’activité de courant

Enfin, il est important de préciser que la technique de détection proposée n’a de sens que si les signaux mis en jeu sont stationnaire à l’ordre 2. Si tel n’est pas le cas sur l’intervalle d’étude complet, un traitement par fenêtre glissante est de rigueur⁵.

5.5.1 Estimation de la matrice de variance covariance du signal utile

La question à se poser est “-détecter quoi ?”. Or, d’après l’observation de la figure3et d’après la section relative à la modélisation du problème en début de chapitre, l’activité de courant est vue comme une superposition de contributions élémentaires représentées par des gaussiennes. La réponse est donc, “-une gaussienne”, du moins une parmi d’autres. Donc, le signal utile est vu comme un processus aléatoire dont les réalisations ont l’allure d’une gaussienne. Ce dernier est supposé stationnaire à l’ordre 2, si bien qu’il est possible d’estimer son autocorrélation, à l’aide de la relation III.34 de la section 6.3.1 du chapitre III. Cette dernière est représentée figure 4 de taille identique à celle de la fenêtre d’observation, et sert à la construction de la matrice de variance covariance réduite du signal utile Γ_S0S0, à partir du même protocole qu’en6.3.1.

5Le prix à payer est alors une augmentation du temps global de calcul ainsi qu’un effet plus ou moins moyenneur sur l’observation fonction de la taille de la fenêtre d’observation

FIG. 4 – Autocorrélation réduite du modèle de signal utile

5.5.2 Estimation de la matrice de variance covariance du bruit

Généralement, un moyen efficace d’estimer la matrice de variance covariance réduite du bruit Γ_B0B0 en fonction des données est d’estimer cette dernière sur une portion de l’observation ou il n’y a pas ou très peu de signal utile. Par exemple, d’après la figure3, les échantillons situés dans les intervalles [0 ; 400] ou [600 ; 1000] conviennent à partir du moment où leur mesure est inférieure à la taille de la fenêtre d’observation. A l’intérieur de l’intervalle choisi, l’autocorré-lation est calculée, cette dernière est représentée figure5puis la matrice de variance covariance réduite Γ_B0B0 est construite.

Dans le cas d’une observation réelle de consommation de courant, la covariance du bruit est estimée par mesure de l’observation en absence d’activité de la carte.

5- Détection d’une activité de courant par utilisation du Filtrage Adapté Stochastique 137

5.5.3 Expérimentations

La taille de la fenêtre d’observation est le paramètre d’entrée de l’algorithme. Cette dernière conditionne directement la qualité du résultat, vu qu’elle est la dimension des autocorrélations du signal et du bruit. Sa détermination peut être fondée sur deux approches.

– Une approche visuelle, consistant à affirmer que la taille de la fenêtre doit être de l’ordre de l’occupation temporelle du motif à détecter dans l’observation. Bien qu’appartenant au domaine du bon sens, cette démarche est caduque dès lors que la puissance du bruit est importante[Cha06s1] car alors le motif à détecter n’est plus discernable à l’oeil nu dans l’observation.

– Une autre approche, axée sur les simulations numériques, consiste à faire varier la taille de la fenêtre, et relever pour chaque taille le maximum de la fonctionnelle obtenu. La taille finale de la fenêtre est le maximum des maxima obtenus.

Par exemple, dans le cas de l’observation sur la figure 3, la plus grande taille de fenêtre maximisant la fonctionnelle est N_opt= 21 échantillons, comme le montre la figure6.

FIG. 6 – Maximum de la fonctionnelle T (z) en fonction de la taille de la fenêtre.

A chaque observation correspond plusieurs dimensions possibles de fenêtre optimale, chacune étant adaptée à un gabarit de pic particulier. Le choix de taille de fenêtre le plus cohérent est celui qui permet de détecter les pics significatifs les plus importants.

Soit une observation Z issue de l’échantillonnage du signal Z(t) sur N = 1000 points à raison d’un point toutes les Te = 10⁻³secondes, réalisation de Z, telle que

Z = s₁(ˆθ₁) + s₂(ˆθ₂) + s₃(ˆθ₃) + B, avec ˆ θ = [ˆθ₁; ˆθ₂; ˆθ₃]^T = [3 ; 0, 01 ; 0, 5 ; 2 ; 0, 02 ; 0, 55 ; 2.5 ; 0, 015 ; 0, 6]^T (IV.30) et σ2

B = 2, 5 × 10⁻³. La figure3montre Z, trois pics sont enchevêtrés et bruités.

Le but est de donner ˆθ_{F AS}, sensé être proche de ˆθ. Le FAS en détection est appliqué à l’observa-tion avec une taille de fenêtre de N_opt = 21 échantillons. Les 100 premiers échantillons servent à construire la covariance du bruit. L’observation et la fonctionnelle sont présentées figure7.

FIG. 7 – Z et T (z).

Le principe est le suivant : Pour k = 1 . . . K,

1. Le FAS en détection est appliqué à Z avec Noptcomme taille de fenêtre.

2. L’argument qui maximise la fonctionnelle est repéré et noté nT max. Puis, il sert d’approxi-mation ( ˆm_k)_{F AS} de ˆm_k,

( ˆm_k)_{F AS} := T_en_{T max}. 3. ( ˆA_k)_{F AS}, connaissant ( ˆm_k)_{F AS}, est approché tel que

( ˆA_k)_{F AS} := Z(n_{T max}T_e). 4. Enfin, ( ˆσ2

k)_{F AS} est obtenu en utilisant le fait que s_k(m + ^σ

2^{; θ) = Ae}

−1 8. (ˆσ_k)_{F AS} := 2^Z⁻¹ e⁻8¹( ˆA_k)_{F AS}
− ( ˆm_k)_{F AS}^.

5. Un nouveau signal Zkest créé à partir de (ˆθ_k)_{F AS}et Z, Zk := Z − sk((ˆθk)F AS). 6. Z_kdevient Z, incrémentation de k, et retour à l’étape 1. Dans le cas de l’observation Z de la figure3, K = 3.

La détermination s’effectue donc en trois passes. Après la première passe de l’algorithme, le maximum est atteint pour nT max = 589, soit ( ˆm₁)_{F AS} = 0, 589. Ce qui permet de trouver que (ˆσ₁)_{F AS} = 0, 021 ( ˆA₁)_{F AS} = 3, 157. Le signal Z₁ = Z − s₁((ˆθ₁)_{F AS}) est créé.

Le FAS est ensuite appliqué à Z1, ce qui permet de calculer nT max = 514, soit ( ˆm2)F AS = 0, 514 et (ˆσ₂)_{F AS} = 0, 024. Puis, ( ˆA₂)_{F AS} = 0, 879. Le signal Z₂ = Z₁− s₂((ˆθ₂)_{F AS}) est créé.

Enfin, après le passage du FAS sur Z₂, n_{T max} = 500, soit ( ˆm₃)_{F AS} = 0, 5, (ˆσ₃)_{F AS} = 0, 002. Puis, ( ˆA3)F AS = 0, 55.

Ainsi, en regroupant les résultats, ˆ

6- Estimation d’une activité de courant 139

à comparer avecIV.30.

Le but n’est pas d’avoir ˆθ_{F AS} très proche de ˆθ, mais juste une approximation cohérente des paramètres. C’est ce qui se passe avec l’exemple à trois cellules, où d’ailleurs les ˆmksont bien détectés. Néanmoins, la section suivante qui porte sur l’estimation paramétrique de ˆθ, reprend ce résultat et montre que si ˆθ_{F AS} fait office de condition initiale, l’algorithme utilisé converge bien vers ˆθM V.

Le FAS utilisé en détection est donc un outil permettant de retrouver de l’information utile dans une observation bruitée en maximisant le rapport signal à bruit. Il permet en particulier d’obtenir une approximation de qualité moyenne de l’observation, mais rapide et automatique, suffisante pour fournir une condition initiale efficace à une routine d’optimisation.

6 E

’

A partir de l’observationIV.10, cette section montre comment construire un estimateur ˆθ du paramètre θ, optimal au sens du maximum de vraisemblance ˆθ_{M V}.

Dans cette section est également utilisé le fait que dans le cas d’une observation additive gaus-sienne, les estimateurs ˆθ_{M V} et ˆθ_{M C} sont équivalents.

La démarche proposée est de s’intéresser tout d’abord au cas d’une seule cellule, K = 1, puis par extension au cas de l’activité de K cellules. L’algorithme EM est alors mis en place de sorte à remplacer le problème de la recherche de K cellules, par K problèmes de recherche d’une seule cellule.