Diagnostic des erreurs dans l’espace des observations

Toute une série d’études utilisant des diagnostics des erreurs dans l’espace des observations existe. Hollingsworth et Lönnberg (1986) ont proposé une méthode permettant d’estimer les erreurs d’observation et d’ébauche en supposant que les erreurs d’observations n’étaient pas corrélées spatialement. Cette méthode est présentée dans la sous-section 5.2.1 de la partie I. Dee et da Silvia (1998) ont, pour leur part, proposé une méthode assez similaire basée sur le maximum de vraisemblance. Desroziers et Ivanov (2001) ont proposé une approche basée sur un critère de cohérence de l’analyse en se fondant sur les statistiques du résidu d’analyse pour adapter les statistiques d’erreur d’observation. Le critère de cohérence utilisé est celui défini par Talagrand (1999). Chapnik et al. (2004 et 2006) ont étudié plus en détails cette méthode et l’ont testée sur le système opérationnel de Météo France afin d’optimiser les variances d’erreur d’observation. Finalement, Desroziers et al. (2005) ont publié un récapitulatif de ces différents diagnostics qui sont présentés ci-dessous.

2.2.1 Théorie

Tous ces diagnostics utilisent les écarts entre les observations, l’ébauche et l’analyse. Ce sont donc des diagnostics a posteriori. Dans la théorie de l’estimation linéaire, il est possible d’exprimer simplement l’état analysé xaen fonction de l’ébauche xb et de l’incrément d’analyse

δxa_{. Ce dernier est obtenu par le produit de la matrice de gain optimale (K = BH(HBH}T ₊ R)−₁

) avec le vecteur d’innovation (yo− Hxb_),

xa_{= x}b_{+ δx}a_{= x}b_{+ K}_yo_{− Hx}b_{. (IV.2.1)} Par ailleurs, le vecteur d’innovation (d = yo_−Hxb_{) peut être exprimé en fonction des erreurs} d’ébauche ǫb et d’observation ǫo tel que

d = yo_{− Hx}b _{≃ ǫ}o_{− Hǫ}b_{. (IV.2.2)} En supposant que les erreurs d’ébauche et d’observation ne sont pas corrélées, la matrice de covariance des innovations se calcule alors simplement telle que

Eyo− Hxb _yo_{− Hx}bT_{≃ R + HBH}T_{. (IV.2.3)} Ce résultat classique permet d’estimer la somme de la matrice de covariance d’erreur d’observa- tion R et d’ébauche B dans l’espace des observations. La difficulté réside alors dans la séparation des contributions de chacune de ces matrices. L’idée de Desroziers et al. est d’utiliser l’écart entre l’analyse et l’ébauche d’une part, et l’écart entre les observations et l’analyse d’autre part pour isoler ces deux matrices. Durant la suite de cette section, les matrices de covariance d’erreur d’ébauche et d’observation sont supposées bien spécifiées.

L’écart entre l’analyse et l’ébauche dans l’espace des observations s’écrit

Hxa_{− Hx}b _{≃ Hδx}a= HKyo_{− Hx}b. (IV.2.4) La matrice de covariance entre cet écart et l’innovation met en évidence la matrice de cova- riance d’erreur d’ébauche B,

EHxa_{− Hx}b yo_{− Hx}bT _{≃ HK E}_yo_{− Hx}b _yo_{− Hx}bT = HBHT HBHT + R−1R + HBHT

2.2. Diagnostic des erreurs dans l’espace des observations

De manière assez semblable, il est possible d’isoler la matrice de covariance d’erreur d’obser- vation R en utilisant l’écart entre les observations et l’analyse défini tel que

yo_{− Hx}a _{= y}o_{− H}_xb_{+ δx}a

≃ yo− Hxb− HKyo_{− Hx}b = (I− HK)yo_{− Hx}b

= RHBHT _{+ R}−1_yo_{− Hx}b_{, (IV.2.6)} car, d’après la définition du gain optimal (Eq. I.3.11),

I − HK = I − HBHT_{R + HBH}T−1

= R + HBHT− HBHT R + HBHT−1 = RR + HBHT

−₁

. (IV.2.7)

La matrice de covariance entre cet écart et l’innovation met en évidence la matrice de covariance d’erreur d’observation R, E  (yo− Hxa)yo− HxbT  ≃ RHBHT _{+ R}−1_E_yo_{− Hx}b _yo_{− Hx}bT = R. (IV.2.8)

Enfin, il est possible de calculer la matrice de covariance de l’écart entre l’analyse et l’ébauche dans l’espace des observations d’une part avec l’écart entre les observations et l’analyse d’autre part. En reprenant les Eqs. IV.2.4 et IV.2.6, cette matrice de covariance s’écrit

EhHxa_{− Hx}b(yo_{− Hx}a)Ti _{≃ HKR.} (IV.2.9) L’injection de l’Eq. I.3.15 dans l’Eq. IV.2.9 permet de faire apparaître la matrice de cova- riance d’erreur d’analyse telle que

EhHxa_{− Hx}b(yo_{− Hx}a)Ti _{≃ HAH}T. (IV.2.10) Ces différentes relations permettent donc d’estimer les matrices de covariance d’erreur d’ébauche, d’observation et d’analyse dans l’espace des observations. Elles sont résumées ci-dessous.

R + HBHT _{≃ E}_yo_{− Hx}b _yo_{− Hx}bT_{, (IV.2.11)} HBHT _{≃ E}_Hxa_{− Hx}b _yo_{− Hx}bT_{, (IV.2.12)} R ≃ E(yo_{− Hx}a)yo_{− Hx}bT  , (IV.2.13) HAHT _{≃ E}h_Hxa_{− Hx}b_(yo_{− Hx}a₎Ti_{. (IV.2.14)} Comme ces relations sont matricielles, elles permettent d’estimer aussi bien les variances d’erreur que les corrélations.

Chapitre 2. Modification des variances d’erreur d’observation

2.2.2 Mise en œuvre

Toutes les démonstrations précédentes ont été effectuées en supposant que les matrices de covariance d’erreur d’ébauche et d’observation étaient bien estimées. C’est-à-dire que les matrices B et R utilisées lors de l’analyse sont exactes et que l’état analysé obtenu xa _{est optimal. Il} faut malheureusement reconnaître que cette hypothèse n’est guère réaliste et que l’état analysé obtenu (xa_{) diffère de l’état analysé optimal. La solution proposée par Chapnik et al. (2006)} est d’utiliser une méthode itérative permettant de corriger les matrices jusqu’à convergence. En pratique, seules les variances sont corrigées et la convergence est rapide (quelques itérations). Néanmoins, chaque itération nécessite le calcul de la trajectoire d’ébauche, de l’analyse et de la trajectoire analysée sur un cycle d’assimilation. Le coût de calcul est donc multiplié par le nombre d’itérations nécessaires.

Appliquer directement cette méthode avec un ensemble est donc extrêmement coûteux et peu concevable. Une adaptation de la méthode a donc été effectuée. À la fin de chaque cycle d’assimi- lation, les variances d’erreur d’ébauche et d’observation sont estimées à partir des Eqs. IV.2.12 et IV.2.13 et comparées à celles utilisées dans le système d’assimilation. Le rapport de ces va- riances moyennées globalement à chaque niveau vertical du modèle est calculé et utilisé lors du cycle suivant pour corriger les variances d’erreur d’ébauche et d’observation. Comme ces com- paraisons s’effectuent sur les variances d’erreur des variables totales, il est difficile de corriger les variances d’erreur des variables « non-équilibrées ». Comme par ailleurs, les observations de température sont très majoritaires, seules les variances d’erreur d’ébauche et d’observation de la température ont été corrigées de cycle en cycle. En définitive, les corrections étant globales, cette méthode n’a pas permis de résoudre les problèmes de divergence du modèle d’océan au niveau du Gulf Stream.

Néanmoins, cette méthode est très utile en tant que diagnostic. En effet, elle permet d’esti- mer les variances d’erreur d’ébauche et d’observation. Malgré l’absence d’itération, elle permet d’obtenir une première estimation intéressante. Ces diagnostics seront utilisés dans la suite de ce manuscrit. Cette section s’inscrit donc à la fois comme un témoignage historique de ce travail de thèse et comme une mise en valeur d’un diagnostic très utile et fort utilisé.