Diffusion multiple et milieu effectif

Dans un milieu quelconque, on rappelle que la fonction de Green de l’équation de Helmholtz peut s’écrire (3.26) :

G= G0+ G0V G₀+ G0V G₀V G₀+ G0V G₀V G₀V G₀+ ... (3.47) Le calcul de la fonction de Green est très complexe, car il nécessite la connaissance com-plète du potentiel V 6. En pratique, cela revient à connaître entièrement la composition et la position des hétérogénéités du milieu étudié. Une approche plus simple et plus utile consiste à calculer la moyenne d’ensemble de la fonction de Green. La moyenne d’en-semble correspond à une moyenne sur une infinité de réalisations du désordre. Seule la connaissance « statistique » de la composition du milieu est alors nécessaire. La fonction de Green moyenne G s’écrit ainsi :

G= G0+ G0V G₀+ G0V G₀V G₀+ G0V G₀V G₀V G₀+ ... (3.48) où G0, par définition, ne dépend pas du désordre. Le calcul ne nécessite plus que la connaissance de la moyenne d’ensemble du potentiel V ainsi que de ses différentes cor-rélations spatiales.

L’approximation la plus simple à ce stade consiste à considérer un milieu constitué d’un grand nombre N de diffuseurs ponctuels identiques et indépendants, localisés en des points ri distribués uniformément et caractérisés par leur potentiel Vi. Cette ap-proximation, notée ISA comme Independant Scattering Apap-proximation, est valable pour les milieux suffisamment dilués, dans lesquels les corrélations entre diffuseurs sont négli-geables. C’est dans cette approximation, introduite originellement par Foldy (1945), que nous nous situerons dans la suite du manuscrit. Définissons le potentiel Vi d’un diffuseur situé en ri :

V_i = V δ(r − ri) (3.49)

Les diffuseurs étant ponctuels et leur distribution étant uniforme, la densité de probabilité de trouver le diffuseur i en ri vaut simplement :

p(ri) = ¹ VMilieu

(3.50) avec VMilieu le volume du milieu étudié. Le potentiel moyen vaut donc :

V_i =^ p(ri)V δ(r − ri)dri

= ^V

VMilieu

(3.51)

6. De plus, même pour des expressions simples de potentiel, la sommation (3.47) n’a pas de solution analytique.

3.2 Fonctions de Green en milieu hétérogène et l’on peut vérifier que les diffuseurs ne sont pas corrélés :

ViVj = V2^{ } 1 V2 Milieu δ(r − ri)δ(r − rj)dridrj = ^V2 V2 Milieu = ViVj (3.52) Le potentiel total du milieu Vtot s’écrit alors comme la somme des potentiels de chacun des diffuseurs : V_tot = N  i=1 V_i (3.53)

En insérant ce potentiel dans le développement de la fonction de Green (3.47), on obtient :

G= G0+ i G₀V_iG₀+ i,j G₀V_iG₀V_jG₀+ i,j,k G₀V_iG₀V_jG₀V_kG₀+ ... (3.54) Chacun de ces termes s’interprète comme une séquence donnée de diffusions, entrecoupée de propagations libres dans le milieu homogène sous-jacent (voir Figure 3.3).

Figure 3.3 – Représentation schématique des différents termes du développement per-turbatif de la fonction de Green dans l’ISA.

Après application de la moyenne d’ensemble au développement (3.54), la fonction de Green moyenne (3.48) s’écrit :

G= G0+ i G₀V_iG₀+ i,j G₀V_iG₀V_jG₀+ i,j,k G₀V_iG₀V_jG₀V_kG₀+ ... (3.55) où la césure des corrélations de potentiels est permise par l’indépendance des diffuseurs (3.52). En se rappelant l’expression de la matrice T à partir d’un potentiel (3.28), on peut réécrire ce développement comme :

G= G0+ i G₀t_iG₀+  i,j=i G₀t_iG₀t_jG₀+  i,j=i,k=j G₀t_iG₀t_jG₀t_kG₀+ ... (3.56)

où la matrice T moyenne du diffuseur i s’écrit : ti= Vi+ ViG₀V_i+ ViG₀V_iG₀V_i+ ... Le nombre de diffuseurs étant grand, on peut lever la restriction sur les indices de sommation pour obtenir finalement :

G= G0+ i G₀t_iG₀+ i,j G₀t_iG₀t_jG₀+ i,j,k G₀t_iG₀t_jG₀t_kG₀ + ... = G0+ G0( i t_i)G (3.57)

Cette équation correspond à l’équation de Dyson dans l’ISA. L’équation de Dyson définit la fonction de Green moyenne par récurrence et s’écrit dans le cas général :

G= G0+ G0ΣG (3.58)

L’opérateur Σ, appelé énergie-propre, correspond par construction à la somme d’une infinité de termes décrivant les différentes corrélations entre diffuseurs.

Dans le cadre de l’ISA, les corrélations entre diffuseurs étant nulles, le seul terme contribuant à l’énergie propre se trouve dans l’équation (3.57) et se calcule :

N  i=1 t_i=^N i=1  p(ri)tidri = ^N VMilieu t(ω)Id (3.59)

en utilisant l’expression de la matrice T d’un diffuseur ponctuel (3.30) et en notant Id la matrice identité. Soit n = N/VMilieu la densité de diffuseur dans le milieu, alors l’énergie propre s’écrit simplement dans l’ISA :

3.2 Fonctions de Green en milieu hétérogène Cette approximation décrit correctement les milieux dilués, pour lesquels les interactions entre diffuseurs sont négligeables. L’onde moyenne voit alors un milieu effectif caractérisé par une densité n de diffuseurs de matrice t. En représentation spatiale, l’équation de Dyson s’écrit :

G(ω, s, r) = G0(ω, r − s) +^ G0(ω, r − r1)Σ(ω, r1− r2)G(r2− s)dr1dr2 (3.61) en notant que les fonctions sont invariantes par translation. En reconnaissant un double produit de convolution, l’équation se simplifie dans l’espace (ω, k) :

ˆ

G(ω, k) = ˆG0(ω, k) + ˆG0(ω, k)Σ(ω, k) ˆG(ω, k) (3.62) En supposant Σ indépendant de k, ce qui est le cas pour des diffuseurs suffisamment petits, et en se rappelant l’expression de ˆG0(ω, k)(3.10), on obtient :

ˆ

G(ω, k) = ¹

k2

0− k2− Σ ^(3.63)

soit dans le cas de l’ISA :

ˆ G(ω, k) = ¹ k2 0− k2− nt ^(3.64) En posant k2 eff = k2

0− nt et en repassant dans l’espace réel, on trouve :

G^±(ω, R) = −^e_4π|R|^±ikeff|R| (3D) (3.65)

La fonction de Green moyenne s’écrit de façon similaire à la fonction de Green du milieu homogène mais avec un nombre d’onde effectif complexe. Un milieu dilué implique une faible densité de diffuseurs, on peut alors approximer le nombre d’onde effectif :

keff = k0  1 − ^nt k2 0 ≃ k0− _2k^nt 0 ≃ k1+ i^nσ 2 ^(3.66)

en utilisant le théorème optique (3.46) et en posant k1 = k0−^nℜ(t)_2k0 ^{. On observe alors que} la fonction de Green moyenne (causale), ou onde cohérente, décroit exponentiellement en

nσ/2. On rappelle que σ correspond à la section efficace de chacun des diffuseurs inclus dans le milieu.

L’intensité cohérente est par définition proportionnelle au carré du module de l’onde cohérente, Ic ∝ G+.G−, et décroit donc exponentiellement en nσ. On peut finalement écrire :

G⁺(ω, R) = −_4π|R|^eik1|R|e^−|R|2ℓ (3.67)

où le libre parcours moyen de diffusion ℓ vaut :

ℓ = ¹

nσ (3.68)

C’est la distance caractéristique de décroissance de l’intensité cohérente dans l’ISA. Elle correspond qualitativement à la distance typique entre deux événements de diffusion. Pour l’étude de milieux dont l’épaisseur est de l’ordre de cette distance ℓ, l’onde cohérente est un outil adapté (Derode et al., 2001). Il existe également des corrections à l’ISA qui permettent de prendre en compte une partie de l’effet des corrélations entre diffuseurs lorsque la concentration augmente (Waterman et Truell, 1961; Lloyd et Berry, 1967). L’influence de ces corrélations sur le libre parcours moyen de diffusion a été étudiée expérimentalement par Derode et al. (2006).

Toutefois, au-delà de plusieurs libre parcours moyens, l’onde cohérente est trop at-ténuée pour pouvoir être utilisée en pratique7. Seule l’intensité dite incohérente est ac-cessible. Celle-ci se calcule comme la moyenne d’ensemble du carré de l’amplitude, et sa description fait l’objet de la section suivante.