La première étape, pour préciser la nature de ce mouvement, consiste à étudier les pro- priétés de diffusion les plus simples : la distribution des déplacements sur un intervalle de
3.2. Sous-diffusion 53
temps donné et le déplacement quadratique moyen en fonction du temps (qui est la largeur de la distribution). Nous allons, dans un premier temps, décrire les observations faites sur ces quantités avant d’en donner une interprétation dans le cadre de l’effet de cage.
3.2.1 Statistique des déplacements
Le déplacement selon X pendant un temps τ est défini par :
∆Xi(τ) = Xi(t + τ) − Xi(t) (3.1)
où i désigne une particule, et t un instant quelconque. A ce niveau, nous faisons l’hypothèse (vérifiée) que cette quantité ne dépend pas de l’instant t sur l’échelle de temps de cette expé- rience (10000 cycles), ce qui permet d’augmenter la statistique en utilisant toutes les particules
i et tous les instants t (les moyennes . sont donc calculées sur toutes les particules i et tous
les instants t.).
Afin de pouvoir comparer les différentes courbes pour des τ différents, la grandeur dont on trace la distribution est :
∆Xi(τ)/σX(τ) (3.2)
où σX(τ) est la largeur de la distribution des ∆Xi(τ) :
σX(τ) =
[∆Xi(τ)]2 (3.3)
Ainsi, toutes les distributions ont une largeur de 1. Les distributions des déplacements selon la direction X durant quelques intervalles de temps τ différents (1,10,100,1000) sont représentées sur la figure 3.3.
La première constatation que l’on peut faire sur ces distributions est qu’elles ont des queues larges comparées à une distribution gaussienne (la gaussienne de largeur 1 est également re- présentée sur la figure), caractéristiques d’une dynamique intermittente. Cet effet traduit la présence d’un excès de grands déplacements.
La deuxième constatation est que l’évolution de ces distributions en fonction de l’intervalle de temps τ choisi n’est pas monotone : alors que l’on s’éloigne de plus en plus du cas gaussien pour τ = 1, 10, 100, la distribution correspondant à τ = 1000 s’en rapproche. Cet aspect peut être précisé grâce au paramètre de non gaussianité α(τ), défini par :
α(τ) = ∆X
4(τ)
3∆X2(τ)2 − 1 (3.4)
Ce paramètre vaut 0 dans le cas d’une gaussienne et est d’autant plus grand qu’on s’en éloigne. Ainsi, pour chaque τ , on a une mesure de l’écart à la gaussianité.
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 P(∆X(τ)/σx(τ))
Fig. 3.3: pdf de ∆X(τ)/σX(τ) pour τ = 1(.), 10(∗), 100(◦), 1000(+) ; la ligne en trait plein
représente la gaussienne de largeur 1.
100 101 102 103 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
α(τ)
τ
Fig. 3.4: Paramètre de non gaussianité α en fonction de l’intervalle de temps sur lequel on
définit le déplacement.
α(τ) est représenté sur la figure 3.4. Son évolution présente plusieurs régimes : • une augmentation aux temps courts
• une relative constance aux temps intermédiaires • une chute aux temps longs
3.2. Sous-diffusion 55
3.2.2 Courbe de diffusion
Intéressons-nous à la courbe de diffusion du système, i.e. le déplacement quadratique moyen en fonction de τ .
La figure 3.5 montre les courbes correspondant aux quantités :
σX(τ) = [∆Xi(τ)]2 σY(τ) = [∆Yi(τ)]2 (3.5) 100 101 102 103 104 10−1 100 <∆Y2(τ)>1/2 <∆X2(τ)>1/2
τ
Fig. 3.5: Courbes de diffusion en X et Y illustrant l’isotropie du processus de diffusion dans
le système.
On observe une surprenante isotropie, étant donnée l’anisotropie de l’excitation (cisaillement dans la direction X), notée également par Onuki et Yamamoto [28] dans leurs simulations nu- mériques. L’origine de cette isotropie n’est pas claire. Elle peut éventuellement se comprendre si on imagine que le forçage -anisotropique- à grande échelle "diffuse" à l’échelle du grain dans un milieu désordonné et perd ainsi son anisotropie.Quoiqu’il en soit, l’isotropie observée nous permet de nous intéresser directement au déplacement quadratique moyen global :
σ(τ) =[∆ri(τ)]2 (3.6)
où∆ri(τ) est le déplacement de la particule i pendant l’intervalle de temps τ, de coordonnées
∆Xi(τ) et ∆Yi(τ). La courbe est représentée sur la figure 3.6. On observe deux régimes : aux
temps courts, la dynamique est sous-diffusive, avec un exposant de 1/4, alors qu’elle devient diffusive (exposant de1/2) aux temps longs.
100 101 102 103 104 10−1 100 τ <∆r2(τ)>1/2 t*~300 r*~0.3
Fig. 3.6: Courbe de diffusion σ(τ) =∆r2(τ) ; Les lignes en pointillés montrent les pentes
1/4 et 1/2 ; les lignes en tirets indiquent la position du changement de régime qui permet de
déterminer r∗ et t∗.
3.2.3 Interprétation des observations en terme d’effet de cage
L’excès de grands déplacements comparé au cas d’une marche aléatoire est naturellement interprété comme la signature des "sauts" entre cages que nous avons appelés "réarrange- ments".
Par ailleurs, on peut proposer l’analyse suivante des propriétés observées sur la courbe de diffusion : la sous-diffusion aux temps courts serait l’effet du piégeage de la particule dans une cage et le comportement aux temps longs correspondrait à un processus de diffusion mais de cage en cage. En effet, le confinement du centre de chaque particule dans une zone bien définie de l’espace, noté lors de l’observation directe des trajectoires, montre qu’une particule ne peut pas diffuser librement, au moins pendant le temps où elle reste piégée dans cette zone. En revanche, il semblerait que le mouvement résultant des réarrangements successifs, c’est-à-dire si on considère des intervalles de temps τ suffisamment longs 1, serait diffusif.
Par conséquent, le crossover entre les deux régimes fait apparaître un temps caractéristique
t∗ 300 et une longueur caractéristique r∗ 0.3 que l’on interprète comme étant le temps
de vie typique et la taille typique d’une cage. Pour illustrer ce point, sur la figure 3.7, on a représenté à nouveau la trajectoire de la figure 3.1 en changeant de couleur tous les 300 cycles. On observe que ces deux échelles caractéristiques sont visuellement en accord avec l’observation directe des trajectoires.
1On peut également visualiser cela en imaginant un zoom arrière qui ne permettrait pas de résoudre la taille des cages
3.3. Distributions de probabilité conditionnelle 57