Conclusion

La figure 3.20b présente les largeurs des distributions de x₁₂ et y₁₂ que nous montrons pour la comparaison. Là encore, la similitude est très marquée.

δ δ

Fig. 3.20: (a) Courbes représentant la pente logarithmique de la courbe de diffusion telle que

mesurée directement et telle que donnée par la formule d’approximation la reliant à c(τ) ; est également représentée la courbe de 0.5 − c(τ). (b) Evolution des largeurs des distributions de x₁₂ (lignes continues) et de y₁₂ (symboles) pour 3 échelles de temps différentes. [29]

3.5

Conclusion

3.5.1 Sur l’effet de cage

L’observation directe des trajectoires des particules révèle un effet de cage similaire à celui qui a pu être identifié dans les systèmes colloïdaux de Weeks et Weitz ou dans l’expérience en présence de compaction d’O. Pouliquen. L’étude de différentes grandeurs caractérisant les propriétés de diffusion et les liens qui peuvent être établis entre elles indiquent que cet effet est responsable de la relaxation lente du système, i.e. la sous diffusion à temps court ici.

D’autre part, ces diverses manifestations ont permis de déterminer les deux échelles du phénomène qui sont la taille typique d’une cage (r∗  0.3) et son temps de vie typique (t∗  300).

Il semble que l’effet de cage soit un effet dans l’espace puisqu’il se manifeste toujours à la même échelle r∗, quelque soit l’échelle de temps considérée (bien-sûr, cette échelle doit être inférieure à t∗; au-delà, un grand nombre de particules a subi un réarrangement, ce qui "occulte" les effets du piégeage).

Enfin, l’étude du mouvement en fonction du comportement antérieur a permis de mettre en évidence 2 effets supplémentaires :

1. l’existence de populations de particules "rapides" et de particules "lentes"

2. la tendance des particules "rapides" à se déplacer de manière quasi-unidimmensionnelle, ce qui peut être une manifestation du stringlike motion, tendance de ces particules à se déplacer en chaînes, comme cela a été rapporté dans le cas de simulations de liquides de Lennard-Jones en particulier par Donati et ses collaborateurs [30], ainsi que dans des suspensions colloïdales par Marcus et ses collaborateurs [31].

3.5.2 Sur la comparaison avec d’autres systèmes vitreux

La comparaison de nos résultats avec ceux obtenus dans des systèmes vitreux classiques montre que la similitude est très forte. Cela nous conduit à deux conclusions importantes :

• Le comportement de la matière granulaire dense est encore très mal compris. Chaque

renforcement de l’analogie avec les systèmes vitreux nous conforte dans la conviction qu’une description commune est possible et que les nombreux travaux effectués sur la physique des verres peuvent nous aider à progresser vers une meilleure description des matériaux granulaires. Par exemple, ce chapitre montre que nous avons beaucoup appris sur l’effet de cage grâce à des outils mis au point pour l’étude de systèmes vitreux.

• La matière granulaire apparaît comme un outil particulièrement efficace pour l’étude

expérimentale de la classe des systèmes subissant une transition vitreuse/de jamming. En effet, elle est relativement facile à mettre en oeuvre et la précision des mesures est grande. De plus, si le nombre de particules du système décrit dans cette thèse n’excède pas celui obtenu dans les simulations numériques, il est beaucoup plus facile d’augmen- ter ce nombre dans un système expérimental granulaire que dans des simulations qui demandent des moyens de calculs très coûteux, notamment en temps. L’exploration de temps longs est également facilitée et le problème délicat d’une modélisation correcte de la loi d’interaction (dans notre cas, le frottement entre les grains) entre les parti- cules ne se pose pas, contrairement au cas d’une simulation numérique. A présent que l’analogie des propriétés microscopiques est claire, cela constitue une prochaine étape prometteuse. Notons également que les propositions qui pourraient être ainsi faites sur la physique de ces systèmes seront utiles, qu’elles se vérifient ou non, dans le cas des milieux vitreux classiques : comprendre l’analogie et ses limites ne peut qu’approfondir notre compréhension de ces systèmes.

71

Chapitre 4

Hétérogénéités dynamiques

Nous avons évoqué dans le chapitre 1, l’importance de la présence d’hétérogénéités dy- namiques et leur rapport avec le type de relaxation lente observée dans les systèmes vitreux thermiques [32]. Au cours du chapitre précédent, nous avons montré que les fortes similarités mises en évidence entre ces systèmes et la matière granulaire dense semblent prendre leur origine à l’échelle de la diffusion. Par ailleurs, dans l’étude des systèmes vitreux thermiques, l’obtention des échelles caractéristiques est souvent indirecte. Nous nous proposons donc d’ex- ploiter ici, au sujet des hétérogénéités dynamiques, les conclusions du chapitre précédent : (i) la similarité que nous avons mise en évidence nous pousse à rechercher de telles hétérogénéi- tés dans notre système. Le cas échéant, les étudier et les caractériser apporteraient des rensei- gnements sur le comportement de la matière granulaire dense soumise à une faible sollicitation. (ii) la possibilité offerte par notre système de suivre toutes les particules permettrait d’ob- tenir une première observation expérimentale directe d’une longueur de corrélation dynamique.

Dans ce chapitre, nous nous proposons donc de mieux caractériser le type de relaxation en jeu, ce qui fera l’objet de la première partie. Ensuite, ayant mis en évidence le caractère non exponentiel de cette relaxation, nous tâcherons d’établir le caractère hétérogène de la dynamique. Enfin, nous tenterons de quantifier spatio-temporellement les hétérogénéités.

4.1

Relaxation non exponentielle

Lorsque, dans le chapitre 1, nous avons présenté le phénomène de relaxation lente et les hétérogénéités dynamiques dans les systèmes vitreux, nous avons utilisé comme fonction de corrélation la partie self du facteur de structure dynamique Fs(q, t) dont nous rappelons la

définition : Fs(q, t) ≡ 1 N  j ei
q.[
rj(t)−
rj(0)]_{ (4.1)}

Etant donnée notre capacité à accéder aux positions des particules au cours du temps, nous pouvons donc nous intéresser au comportement de Fs dans notre système.

La figure 4.1 montre les courbes obtenues pour différentes valeurs de q. Nous consta- tons tout d’abord qu’elles sont bien décrites par des exponentielles étiréesexp[−(t/τ(q))β(q)] (courbes en trait plein sur la figure) comme c’est le cas dans les systèmes vitreux. Il n’y a

cependant évidemment pas de décroissance rapide vers un plateau aux petits temps puisque le système est athermique et que cette effet est dû à la température dans les systèmes vitreux usuels. Nous notons également l’absence de ce plateau malgré l’observation d’un effet de cage. Cela peut provenir du fait que la relaxation à l’intérieur de la cage et les sauts de cage ne se font pas sur des échelles de temps suffisamment séparées. Pour les petites valeurs de q cependant, il est difficile d’affirmer que ce plateau n’apparaît pas.

100 101 102 103 104 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 100 101 102 100 102 104 0 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F s(q,t) t q

τ

β

Fig. 4.1: A gauche : Fs(q, t) pour différentes valeurs de q (1, 3, 5, ..., 29). La longue flèche

représente la direction dans laquelle q est croissant. A droite : courbes représentant l’évolution de τ et β en fonction de q.

La partie droite de la figure 4.1 représente les évolutions de τ(q) (en haut) et β(q) (en bas). A petit q, τ varie en q−2et β tend vers 1. Ainsi, en accord avec la pente1/2 de la croube de diffusion discutée au chapitre 3, sur les grandes échelles de longueur (i.e. à petit q), les grains ont un mouvement brownien, Fs(q, t) ∼ exp(−Dq2t). A plus grand q, β < 1 et décroît,

et τ se met à décroître plus vite que q−2. Cela peut être relié à la sous-diffusion à l’intérieur de la cage. En effet, nous avons trouvé une loi en √r2 ∼ t1/4, ce qui donne, pour un temps caractéristique correspondant à l’échelle de longueur 2π/q, τ ∼ (2π/q)4 ∼ q−4.