“Problemas não verbais são problemas que incluem apenas notações e fórmulas matemáticas e algumas frases matemáticas como «Resolve a equação». Em conformidade, por problemas verbais entendem-se problemas que contêm palavras que constituem termos matemáticos e que precisam de ser interpretadas matematicamente.” (Toom, 2010, p. 73).
A progressão do conhecimento matemático, delineada nos currículos e nos programas, nunca dispensou a utilização de exercícios/problemas não verbais e de problemas verbais no ensino da matemática desde os níveis iniciais de escolarização, cuja tradição plurimilenar determinou a coexistência destas duas vertentes ao serviço da aprendizagem dessa ciência.
Há exercícios de matemática em que se verifica o predomínio de termos de linguagem matemática (notações simbólicas, fórmulas matemáticas, expressões numéricas). Exemplos desta tipologia são os exercícios/problemas que incorporam expressões do tipo: Determina… (fig. 1); Calcula… (fig. 2); Considera … (fig. 3) seguidas de uma expressão simbólica estritamente matemática. Tendo em conta o registo predominante nestes enunciados e os seus objetivos/finalidades, este tipo de exercícios denomina-se por exercícios ou problemas simbólicos não verbais, também referidos na
31 literatura como exercícios de algoritmos16 ou exercícios repetitivos17. Esta categoria de exercícios lida com generalizações, não se encontra inserida em contextos reais e visa apenas o cálculo.
Figura 1: Exercício/problema simbólico não verbal [PAM-3º ciclo (2004), parte A, item 7]
Figura 2: Exercício/problema simbólico não verbal [PAM-2º ciclo (2001), parte A, item 5]
Figura 3: Exercício/problema simbólico não verbal [ENM-3º ciclo (2005), item 9]
Em qualquer dos exercícios anteriores (fig. 1, fig. 2 e fig. 3), o tratamento das representações simbólicas18 é a única operação cognitiva diretamente implicada no processo de apreensão do conhecimento matemático. Requerem a realização de operações com recurso ao mesmo registo semiótico de representação, executando basicamente uma manipulação algébrica, ou seja, efetuando uma sequência finita e ordenada de etapas (passos) com um esquema de processamento que permite a realização da tarefa. Procedendo de forma sistemática e rigorosa, é possível determinar o resultado preciso das operações e eventuais erros de cálculo são o único obstáculo à realização com sucesso das tarefas propostas nesta categoria de exercícios.
A necessidade de aquisição de automatismos e o treino de algoritmos são enfatizados no Programa do Ensino Básico logo no capítulo “Objetivos gerais do ensino da Matemática”, onde se pode ler «efectuar procedimentos e algoritmos de cálculos
16
Designação de Dante (1989) e Fayol (2010). 17
Designação de Bivar et al. (2010).
18 O tratamento de uma representação, como, por exemplo, a resolução de uma equação de primeiro grau, refere-se às operações efetuadas dentro de um mesmo registo de representação, daí a designação de “representação interna de um registo” (Colombo et al., 2005).
Determina as soluções da seguinte equação: 3 - 6 = 0
Calcula o valor da seguinte expressão numérica: 0,2
Considera o intervalo
32
rotineiros» (Ponte et al., 2007, p. 4). Neste mesmo documento de referência, estes dois indicadores ocorrem ainda como uma das ideias fundamentais no tratamento do tema números e operações «desenvolver a fluência de cálculo» (op. cit., p. 7) e são referenciados nas “Indicações Metodológicas” de todos os ciclos de ensino: Primeiro ciclo - «a aprendizagem dos algoritmos com compreensão, valorizando o sentido do
número, deverá desenvolver-se gradualmente para as quatro operações (…)» (op. cit., p. 14); Segundo ciclo - «É igualmente importante, neste ciclo, que não se perca
de vista o trabalho com os algoritmos (…)» (op. cit., p. 33); Terceiro ciclo - «(…) consolidar aspectos rotineiros da aprendizagem dos números e operações (por exemplo, o cálculo do valor das expressões numéricas)» (op. cit., pp. 48, 49).
A frequência deste tipo de exercícios/problemas não verbais nos manuais escolares e nos instrumentos de avaliação externa de âmbito nacional é notória em todos os ciclos do Ensino Básico. No entanto, não deixa de suscitar algumas interrogações quanto aos procedimentos e às instruções que são sugeridos para a sua realização, como se pode observar nos exercícios apresentados nas fig. 4 e 5.
Figura 4: Exercício/problema simbólico não verbal [PAM-1º ciclo (2006), parte A, item 13]
Figura 5: Exercício/problema simbólico não verbal [PAM-1º ciclo (2011), caderno 2, item 20]
A estrutura dos enunciados exemplificados na fig. 4 e na fig. 5 determina a sua categoria como exercícios/problemas não verbais. A forma verbal “Calcula”, portadora
Calcula 39 + 211
Explica como chegaste à tua resposta. Podes fazê-lo por palavras, desenhos ou contas.
Calcula 399 : 21.
Mostra como chegaste à tua resposta.
33 da informação operatória, e as expressões simbólicas estritamente matemáticas indicam as operações requeridas - aplicar um algoritmo de adição, na fig. 4, e um algoritmo de divisão, na fig. 5. Todavia, os procedimentos sugeridos para a realização das operações, em ambos os exercícios, não evidenciam com clareza qual o objetivo que se pretende atingir com a resolução dos cálculos “Podes fazê-lo por palavras, desenhos ou contas”, em (4), e “Mostra como chegaste à tua resposta”, em (5), cujas instruções gerais que presidem à realização da prova onde ocorre o exercício indicam: “Algumas questões têm uma caixa … Nestas questões, deves responder dentro da caixa, seguindo as instruções. Por exemplo, neste caso, tens de explicar muito bem como chegaste à tua resposta; podes fazê-lo usando desenhos, esquemas e palavras.” Será possível e, por ventura, razoável que a exemplificação da operação seja feita através de palavras ou, ainda mais estranho, de desenhos?
A frequência deste tipo de instruções é recorrente nas provas/exames de nível nacional e torna previsível alguma dificuldade em que se mantenha a coerência do programa com alguns dos seus objetivos e princípios explícitos «Compreender e realizar algoritmos para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão» (Ponte et al. 2007, p. 18), nomeadamente no que diz respeito à avaliação «a avaliação deve ser congruente com o programa, incidindo de modo equilibrado em todos os objetivos curriculares, em particular nos objetivos de cada ciclo ou etapa (no caso do 1º ciclo) e nos objetivos gerais e finalidades do ensino da Matemática no ensino básico.» (op. cit., p. 12).
Distintos dos exercícios/problemas não verbais, há uma outra categoria de problemas de matemática. Denominados por problemas verbais19, apresentam um predomínio de termos e expressões da língua particular e podem referir-se ou não a contextos reais.
No âmbito desta tipologia, distinguem-se os problemas de reconhecimento20, que visam a identificação ou verificação de conceitos, definições, propriedades, etc., (fig. 6) dos problemas cujos enunciados apresentam uma forma narrativa (a maior parte
19
Na literatura internacional ocorrem várias designações com sentido equivalente para este tipo de problemas. Por exemplo, “Mathematical word problems” ou “story problems” em Gerofsky (1996) e “word problems ou "verbal problems" em Verschaffel et al. (2000).
20
34
relatam uma história ainda que breve), que requerem simultaneamente compreensão e cálculo (fig. 7).
Figura 6: Problema verbal [PAM-2º ciclo (2003), parte A, item 6]
Figura 7: Problema verbal [TIM-8º ano (2011), versão 2, item 10]
Nos problemas verbais idênticos ao da fig. 6, a leitura do enunciado e a identificação ou o reconhecimento de propriedades e conceitos do âmbito da matemática são as únicas operações cognitivas diretamente implicadas no processo de apreensão do conhecimento. Nenhum outro tipo de operação cognitiva é congregada para a resolução deste tipo de problemas. Os conhecimentos conceptuais, concebidos como conhecimentos gerais e abstratos dos princípios fundamentais e das suas inter- -relações num domínio (Fayol, 2010), são os únicos que são convocados para este tipo de problemas.
Nos problemas verbais semelhantes ao da fig. 7, os enunciados relatam, na maior parte dos casos, uma história, inserida em contextos reais ou efabulados, ainda que extremamente sumária, na qual faltam informações que o aluno deve poder calcular, apoiando-se, por um lado, nos dados fornecidos pelo enunciado e, por outro lado, nos seus conhecimentos e competências (Fayol, 2010, p. 22).
A resolução deste tipo de problemas exige, portanto, o envolvimento de várias operações cognitivas: (i) a leitura do enunciado; (ii) a compreensão das quantidades e das relações das entidades evocadas, i.e., o destaque, no enunciado do problema, dos principais elementos que serão mobilizados na resolução; (iii) a conversão da
Identifica e assinala com x a frase que não é verdadeira
Um prisma hexagonal tem 6 faces laterais rectangulares.
Um prisma hexagonal tem 6 faces laterais triangulares.
Um prisma hexagonal tem 2 bases hexagonais.
Um prisma hexagonal tem 8 faces.
Na última aula do terceiro período, a turma da Margarida ofereceu à professora de Matemática um ramo constituído por túlipas vermelhas e túlipas brancas.
O ramo, formado por 21 túlipas, tinha mais 5 túlipas vermelhas do que brancas.
Quantas túlipas brancas tinha o ramo que a turma da Margarida ofereceu à professora?
35 informação do registo da língua natural para o registo simbólico, através de uma representação adequada da situação inicialmente descrita no enunciado; (iv) a seleção de estratégias e de procedimentos; (v) a realização dos cálculos numéricos, que evidenciem um resultado plausível como resposta à questão apresentada no problema.
Os problemas verbais desta natureza apresentam uma situação que não pode ser resolvida através de processos estandardizados. Focam-se na compreensão do enunciado (se esta etapa falhar, as etapas seguintes de resolução ficam seriamente comprometidas), nos procedimentos de resolução, exigindo a construção de dois tipos de representação (a construção do modelo da situação e o esquema do problema) e convocam para a sua resolução quer o conhecimento conceptual, quer o conhecimento processual.
Os problemas verbais são o objeto de análise da presente investigação, pelo que carecem de uma análise mais completa e de uma caracterização mais assertiva. Doravante, sempre que haja referência as expressões como “problemas verbais”, “problemas de matemática” e “situações-problema”, considera-se apenas esta categoria de problemas com as características enunciadas anteriormente. Espera-se, assim, beneficiar de uma maior fluência do texto, a despeito da eventual imprecisão implicada.