Description des variables observées et des variables à cor- rigerriger

On rappelle d’abord les notations générales introduites au Chapitre 1, Section 1.4. En estimation de paramètres, le vecteur de contrôle au cycle k, x_k ∈ Rⁿx , est constitué de nx paramètres d’entrée du modèle que l’on considère comme les plus incertains ou les plus délicats à estimer (car on ne peut pas les observer/mesurer directement). Plus particulièrement en expériences jumelles, on va être amené à manipuler plusieurs types de vecteurs de contrôle :

- le vecteur de contrôle vrai x^t , invariant dans le temps. Ce dernier contient les nx valeurs des paramètres d’entrée de contrôle que l’on choisit préalablement comme les valeurs vraies et qu’on doit retrouver via l’AD,

- le vecteur de contrôle d’ébauche au cycle k, x^b , - et le vecteur de contrôle analyse au même cycle, x^a .

131 k k k k nz nw

L’opérateur modèle M_[k−1,k] permet de transformer les paramètres de contrôle x_k en variables pronostiques du modèle z_k ∈ Rⁿz et éventuellement en variables diagnostiques w_k ∈ Rⁿw via l’opérateur Z_k :

z_k = M_[k−1,k] (x_k ) ∈ R w_k = Z_k (z_k ) = Z_k ◦ M_[k−1,k] (x_k ) ∈ R . (3.1) Dans le cadre de cette thèse, ces opérateurs sont définis dans le modèle ISBA-TRIP.

Le vecteur d’observations y^o est composé des ny observations disponibles au cycle d’assimilation courant k et l’opérateur d’observation H_k permet d’exprimer les variables de contrôle x_k dans l’espace des observations :

y_k = H_k (x_k ). (3.2) Dans le cadre particulier de l’estimation de paramètres, l’opérateur d’observation est nécessairement la composition de l’opérateur modèle M_[k−1,k] (et éventuellement de l’opérateur diagnostiques Z_k ), avec un autre opérateur de sélection ou d’interpolation (selon la nature des observations et de leur résolution).

Enfin, en expériences jumelles, les valeurs vraies des variables observées y^t sont aussi connues à l’avance.

3.1.1 Description des pseudo-observations SWOT

On cherche à générer des observations synthétiques de type SWOT. SWOT fournira des cartes bidimensionnelles de cotes d’eau des rivières (d’au moins 100 mètres de large). Les variables de sorties d’ISBA-TRIP se rapprochant le plus de ce produit SWOT sont les variables diagnostiques de hauteurs d’eau des rivières. Pour simplifier les écritures, à partir de maintenant, on redéfinit l’opérateur Z_k

comme l’opérateur transformant les variables pronostiques d’ISBA-TRIP z_k (stocks d’eau dans le réservoir de la rivière dans TRIP) en hauteurs d’eau w_k des réservoirs de rivières TRIP.

Il nous faut maintenant définir plus en détails l’opérateur d’observation H_k , et plus précisemment la nature de l’opérateur qui permet de transformer l’ensemble des variables diagnostiques de hauteurs d’eau w^t _k en l’ensemble des variables observées y^t _k. L’orbite actuelle de SWOT est fixée à une altitude de 890,5 km pour une répétitivité de 21 jours et l’instrument KaRIn observera les surfaces sous deux fauchées de 50 km (séparées par un trou de 20 km au nadir). Pour simuler la couverture spatio-temporelle des observations SWOT, on réutilise le simulateur utilisé par Biancamaria et al. (2011); Pedinotti et al. (2014). Pour une date donnée, étant donné la définition de l’orbite, on est en mesure de générer les traces au sol des fauchées SWOT. Cette trace au sol est ensuite mise à l’échelle du modèle ISBA-TRIP (0, 5◦ × 0, 5◦) en sélectionnant les cellules TRIP dont au moins 50% de l’aire est comprise dans le polygone de la fauchée. De ce fait, dans les traces SWOT à la résolution du modèle, on ne peut pas voir le trou au nadir de 20 km, trop petit par rapport aux cellules (environ 50 km × 50 km). La Figure 3.2 illustre alors la sélection des cellules ISBA-TRIP sous la fauchée réelle sur le bassin de l’Amazone. Ainsi, l’opérateur d’observation H_k est la composition de l’opérateur Z_k ◦ M_[k−1,k]

avec un opérateur de sélection S_k qui consiste à sélectionner les cellules ISBA-TRIP sous la fauchée SWOT selon les jours d’observations :

y_k = S_k ◦ Z_k ◦ M_[k−1,k] (x_k ) = H_k (x_k ). (3.3)

Finalement, pour générer le vecteur d’observation y^o à partir du vecteur des hauteurs d’eau vraies sous le masque d’observation y^t , on perturbe simplement chacune des ny hauteurs d’eau vraies

(a) Jour 01 (b) Jour 04 (c) Jour 07

(d) Jour 10 (e) Jour 13 (f ) Jour 16

(g) Jour 19 (h) Jour 20 (i) Jour 21

Figure 3.2 – Traces SWOT au-dessus du bassin de l’Amazone à la résolution d’ISBA-TRIP. Le contour du bassin est représenté par un polygone noir et les principaux cours d’eau du bassin sont représentés par le chevelu bleu marine. Les pixels TRIP compris dans le masque d’observation sont mis en évidence en beige.

133

k,j = y + E , E

y^t _k,j , j = 1 . . . ny , en leur ajoutant un bruit gaussien E^o _k,j de moyenne nulle et d’écart-type σ ^o.

Conformément au bilan d’erreurs défini dans le Science Requirements Document (Rodríguez, 2016) (voir le Tableau 1.5, Chapitre 1), on utilisera comme erreur d’observation un bruit blanc de σo = 10 cm :

∀j = 1 . . . ny , y^{o t} _k,j ^o _k,j ^o _k,j ∼ N (0, σo ). (3.4)

Pour information, la construction de H_k est basée sur les hypothèses simplificatrices suivantes : - Les mesures SWOT sont originalement des cotes d’eau référencées par rapport à un géoïde,

alors que les hauteurs d’eau ISBA-TRIP sont référencées par rapport à la bathymétrie in-trinsèque du modèle. Dans le cadre des expériences jumelles, les hauteurs d’eau observées et simulées sont référencées par rapport au même geoïde. Dans un premier temps, la bathymétrie de la rivière équivalente est connue et est la même pour les observations SWOT (ainsi, les cotes d’eau = les hauteurs d’eau).

- Le produit de cotes d’eau SWOT, tel qu’il est défini dans le Science Requirements Document (Rodríguez, 2016), se présente sous deux formes : (1) un nuage de points géoréférencés et de fait à une résolution irrégulière (en opposition à la maille régulière de TRIP) et bien plus fine que celle de TRIP, voir Figure 3.3a et (2) un produit contenant le linéique du réseau fluvial, découpé en tronçons de quelques kilomètres avec des mesures moyennées sur ces tronçons qui restera tout de même à une résolution plus fine que celle de TRIP, voir Figure 3.3b. Il est clair qu’à l’échelle du bassin de l’Amazone et donc pour une modélisation à grande échelle telle que celle d’ISBA-TRIP, c’est ce deuxième produit qui est le plus intéressant. Cependant, même en utilisant ce produit, un traitement de ces observations - par « moyennage » par exemple - ou une mise à l’échelle des sorties ISBA-TRIP sera nécessaire pour pouvoir comparer des deux sources d’informations. Vu l’état actuel du développement de la maquette d’assimilation, on émet l’hypothèse simplificatrice que les points d’observations SWOT sont à la même résolution que les cellules du modèle.

- Enfin, on suppose que les erreurs d’observations sont modélisées par un bruit blanc. On ne tient pas compte ici des corrélations dans les erreurs qui existent le long de la fauchée (bruit instrumental, layover, mouvement du satellite, traversée de la troposphère, pluie ...).

Maintenant que la nature des observations que l’on va assimiler a été clairement défini, on va définir plus en détails la nature et la forme des variables de contrôle.

3.1.2 Description des variables de contrôle

Les résultats de l’analyse de sensibilité ont montré que les hauteurs d’eau étaient sensibles à essentiellement trois paramètres géomorphologiques, par ordre décroissant d’importance : le coefficient de Manning, la pente et la largeur du tronçon. Potentiellement, ces trois paramètres peuvent être corrigés via l’assimilation. Cependant, dans cette étude, on se concentrera sur la correction des coefficients de Manning seuls.

La distribution d’origine des coefficients de Manning dans TRIP est spatialement distribuées sur les bassins, c’est-à-dire que les tronçons dans chaque cellule TRIP ont chacun leur propre valeur de coefficient de Manning. Pedinotti et al. (2014) a choisi de corriger les valeurs de Manning de chaque cellule indépendamment. Cette configuration génère cependant de l’équifinalité et l’AD ne converge pas nécessairement vers les valeurs vraies. De plus, le coefficient de Manning est un paramètre difficile à estimer et il est encore plus compliqué de vérifier les valeurs des coefficients à l’échelle de la cellule. Malgré tout, la distribution originelle suppose que la valeur du coefficient de Manning décroît plus

(a) Nuage de points

(b) Linéique

Figure 3.3 – Exemple de (a) nuages de points et de (b) linéique que pourra fournir SWOT (ici issu du simulateur SWOT) sur un tronçon de la rivière Sacramento (Figures générées par l’équipe de Mike Durand de l’Ohio State University, Williams et al., 2016).

135

T

on se rapproche de l’embouchure et à l’inverse, augmente quand on remonte vers les têtes de bassins (voir Chapitre 2).

Pour définir les variables de contrôle, on conserve cette distribution d’origine des paramètres et on va chercher à l’ajuster non pas cellules par cellules mais régions par régions. Pour cela, on reconsidère la division du bassin en zones hydro-géomorphologiques (voir Figure 3.5). Pour chaque zone, comme pour la perturbation faite pour l’analyse de sensibilité, l’AD cherchera à optimiser un coefficient multiplicatif de la distribution des coefficients de Manning. Finalement, le vecteur de contrôle se compose des nx (= nombre de zones hydro-géomorphologiques) coefficients correcteurs multiplicatifs de la distribution des coefficients de Manning :

x_k = [nmult,1 . . . nmult,nx ] . (3.5)

Pour corriger la distribution des coefficients de Manning via l’AD, on décide d’utiliser une méthode ensembliste séquentielle de type Filtre de Kalman d’Ensemble (EnKF, Evensen, 2003). Cette méthode est décrite dans la section ci-après.