La technique TERMITES permet la reconstruction du champ électrique d’un faisceau laser dans l’espace (x, y, ω) en phase et amplitude. Lorsque la mesure est terminée, le si- gnal ˆS(r, τ ) est enregistré. Dans le paragraphe précédent, nous avons montré que ce signal contient l’information recherchée. Le traitement des données permet d’extraire cette in- formation. Nous allons reconstruire l’amplitude A(r, ω) et la phase ϕ(r, ω), à partir des données ˆS(r, τ ). Pour ce faire, le traitement contiendra une transformée de Fourier à cha- cune des positions spatiales r pour passer de l’espace (r, τ ) à l’espace des fréquences (r, ω) ainsi qu’un filtrage pour isoler les fréquences contenues dans le spectre du laser. Nous décrirons ensuite comment les grandeurs recherchées sont calculées à partir du signal filtré. 1.3.1 Filtrage de Fourier
Pour extraire s(r, ω) -la transformée de Fourier du terme oscillant ˆs(r, τ )- du signal ˆ
S(r, τ ), nous allons procéder à un filtrage de Fourier. On peut décomposer le terme S(r, ω) = T Fτ{ ˆS(r, τ )} comme suit :
S(r, ω) = T Fτ{ ˆS(r, τ )} = T Fτ{I(r) + IR(r)} + T Fτ{ˆs(r, τ )} + T Fτ{ˆs∗(r, τ )} (1.19)
= T Fτ{I(r) + IR(r)} + s(r, ω) + s(r, −ω) (1.20)
L’amplitude de S(r = 0, ω), tracée sur la figure 32 va nous permettre d’expliciter cette dernière expression. Le premier terme de la somme (1.20) représente la transformée de Fourier suivant τ de la somme incohérente des profils spatiaux d’intensité IR(r) et I(r).
Ce terme ne dépendant pas de τ , cela signifie que sa transformée de Fourier va former un pic à la fréquence nulle. Ce pic est marqué par le chiffre1.sur la figure 32.
Les deux termes suivants dans la somme (1.20) : s(r, ω) et s(r, −ω) apparaissent comme deux pics symétriques (pics 2. et 3.), centrés respectivement autour de ω0 et −ω0. Pour
extraire s(r, ω), on multiplie donc le signal S(r, ω) par un filtre supergaussien centré en ω0 et de largeur suffisante pour englober tout s(r, ω), il est représenté par la courbe rouge sur la figure 32.
1.
2.
3.
Intens ité (unité ar bitr aire ) Fréquence (rad/fs)Figure 32 – Intensité de la transformée de Fourier suivant le délai du signal TERMITES de la figure 28
Chapitre 1. TERMITES
1.3.2 Reconstruction du champ E(x, y, ω)
Comme décrit dans la section 1.2, l’amplitude et la phase du champ complexe E(x, y, ω) sont inclues dans le terme s(r, ω). La suite du traitement consiste donc à extraire cette amplitude et cette phase du signal filtré s(r, ω).
Reconstruction de la phase
Pour extraire la phase spatio-spectrale ϕ(r, ω) de arg(s(r, ω)), il faut dans un premier temps éliminer le terme de courbure 2r1
c
1
cr2ω de arg(s(r, ω)). Pour cela, on peut soit le
calculer directement (le paramètre rc étant connu), soit utiliser la phase arg(s(r, ω0)). La mise en oeuvre de ce point est décrite en détail dans la section 3.2. On déduit ensuite ϕ(r, ω) de la différence de phase ∆ϕ(r, ω) = ϕ(r, ω) − ϕ(βr, ω). Pour cela, deux approches sont possibles.
Si le faisceau de référence est issu d’une petite portion du faisceau à mesurer (c’est- à-dire que β << 1), on peut estimer que la phase ϕ(βr, ω) est homogène spatialement et donc l’approximer par une phase spectrale φR(ω). Cela signifie que l’on considère avoir
sélectionné une portion du faisceau assez petite pour estimer que la référence est exempte de couplages spatio-spectraux. Si le faisceau de référence est issu d’une portion plus grande du faisceau à mesurer, on doit prendre en compte les distorsions spatio-spectrales qu’il va porter. C’est cette solution que nous avons privilégiée, pour les raisons qui seront décrites dans la section 4.1.3. Pour prendre en compte ces distorsions, la solution que nous avons retenue est d’avoir recours à un algorithme itératif.
L’algorithme tire profit du fait que le faisceau de référence est issu du faisceau à mesurer, la phase ∆ϕ(r, ω) est donc entièrement déterminée par ϕ(r, ω). Sur la figure 33, nous avons schématisé le principe de l’algorithme itératif.
Initialement, on suppose que la référence est parfaite, ϕ(0)R (r, ω) = 0, la phase du faisceau laser est donc ϕ(0)(r, ω) = ∆ϕ(r, ω). Le faisceau de référence étant entièrement déterminé par le faisceau incident, nous pouvons faire une nouvelle estimation de la phase du faisceau de référence. Pour cela, deux approches sont possibles. Soit on considère que la courbure mise à part, le faisceau de référence est simplement une version étalée spatialement du faisceau à caractériser. La nouvelle estimation de la phase du faisceau de référence peut être alors calculée par homothétie. Soit on prend en compte la diffraction et on calcule la propagation du faisceau de référence du miroir convexe jusqu’au plan de mesure. Dans le code de traitement, nous avons privilégié la première solution qui est la plus simple.
Ensuite, à chaque itération, on calcule une nouvelle estimation de la phase du faisceau laser à partir de la phase du faisceau de référence calculée précédemment de ∆ϕ(r, ω) :
ϕn(r, ω) = ∆ϕ(r, ω) + ϕnR(r, ω) (1.21) Puis on tire parti du fait que le faisceau de référence est une version radialement étirée du faisceau à mesurer pour calculer :
Chapitre 1. TERMITES
L’algorithme s’arrête à un couple de solutions ϕrec(r, ω) et ϕR rec(r, ω) = ϕrec(βr, ω) qui
vérifient :
ϕrec(r, ω) = ∆ϕ(r, ω) + ϕR rec(r, ω) (1.23)
c’est à dire que ϕn+1 ≈ ϕn. Pour estimer que cette condition est remplie (et donc que l’algo-
rithme a convergé), on peut vérifier que l’erreur max(ϕn+1−ϕn) passe sous un certain seuil.
On peut aussi exprimer directement le terme général de la suite ϕn(r, ω) en fonction de ∆ϕ(r, ω) et β. En combinant les équations (1.21) et (1.22), on peut obtient :
ϕn(r, ω) = ∆ϕ(r, ω) + ϕn−1(βr, ω) (1.24) Sachant que ϕ0(r, ω) = ∆ϕ(r, ω), on peut exprimer le terme général de la suite ϕn(r, ω) :
ϕn(r, ω) =
n
X
p=0
∆ϕ(βpr, ω) (1.25)
Si la fonction ∆ϕ est bornée (ce qui est a priori le cas), la suite ∆ϕ(βnr, ω) converge vers une fonction constante selon la variable r. On peut donc considérer qu’à partir d’une certaine valeur de n, la phase ∆ϕ(βnr, ω) sera une fonction de ω uniquement (une phase spectrale spatialement homogène). La reconstruction de la phase spatio-spectrale par TERMITES étant valable à une phase spectrale près, on peut donc affirmer qu’à notre sens, l’algorithme itératif va nécessairement converger.
Reconstruction de l’amplitude
La reconstruction de l’amplitude spatio-spectrale est un point moins critique du trai- tement que la reconstruction de la phase. En effet, un dispositif annexe peut être utilisé pour mesurer cette grandeur. Plusieurs techniques existent pour remplir cet objectif. Pré- cédemment, nous avons décrit la FTS résolue spatialement. Sur le laser UHI-100, nous avons aussi utilisé un spectromètre fibré. En plaçant directement l’entrée de la fibre dans le faisceau, on peut obtenir le spectre en un point. Pour obtenir l’amplitude spectrale sur toute la distribution d’intensité, il suffit de monter cette fibre sur une platine de translation 2d et de balayer les deux dimensions transverses. En raison de ce balayage 2d, cette mesure est néanmoins longue et la résolution spatiale est médiocre. A titre d’exemple, une mesure de 400 points spatiaux (20 par 20) prend 30 minutes.
Reconstruire l’amplitude spatio-spectrale est aussi possible à partir d’une mesure TER- MITES. Précédemment, nous avons évoqué le fait que l’amplitude |s(r, ω)| est le produit de l’amplitude spectrale des deux champs :
|s(r, ω)| = A(r, ω)A(βr, ω) (1.26)
Pour extraire l’amplitude A(r, ω) du terme |s(r, ω)|, de manière analogue à ce qui a été décrit au paragraphe précédent, on fait la différence entre les cas où β << 1 et ceux où β est plus grand (β > 0.1).
Dans les cas où β << 1, la référence est issue d’une petite partie du faisceau. On peut donc considérer que l’amplitude spectrale de la référence ne varie pas spatialement.
Chapitre 1. TERMITES
Algorithme itératif
Résultat Initialisation
Condition de sortie
Figure 33 – Schéma de l’algorithme itératif de reconstruction de la phase
Dans ce cas, elle se calcule à partir de l’amplitude spectrale en un point et du profil spa- tial de la référence. Au centre du faisceau, les deux amplitudes spectrales sont égales : AR(r=0, ω) = A(r=0, ω), on a donc AR(r=0, ω) =p|s(r=0, ω)|. Le profil spatial IR(r)
peut être mesuré directement en masquant le bras du faisceau à mesurer dans l’inter- féromètre. Par conséquent, on peut calculer l’amplitude spatio-spectrale de la référence comme : AR(r, ω) = AR(r=0, ω)IR(r). Pour déterminer A(r, ω), il reste donc à effectuer
la division : A(r, ω) = A|s(r,ω)|
R(r,ω).
Dans les cas où β > 0.1, on peut procéder comme pour la phase et utiliser un algorithme itératif. De la même manière, on tire parti du fait que la référence est issue du centre du faisceau pour calculer successivement les estimations de l’amplitude du faisceau à mesurer
Chapitre 1. TERMITES An(r, ω) et de la référence An R(r, ω) : An(r, ω) = |s(r, ω)| An R(r, ω) (1.27) An+1R (r, ω) = An(βr, ω) (1.28)
Cet algorithme permet de reconstruire une amplitude spatio-spectrale Arec(r, ω) qui vérifie : |s(r, ω)| = Arec(r, ω)Arec(βr, ω) (1.29)
Reconstruction du champ
A partir de la reconstruction de l’amplitude et de la phase, on peut calculer : Erec(r, ω) = Arec(r, ω) exp iϕrec(r, ω)
(1.30) Erec(r, ω) correspond à une reconstruction du champ électrique du laser à une phase spec-
trale spatialement homogène près.