Nous allons maintenant faire une description théorique de la mesure et du traitement des données. Nous allons exprimer le signal enregistré par le dispositif en fonction des champs électriques complexes des deux faisceaux qui interfèrent. Ensuite nous décrirons comment reconstruire le champ électrique du laser à partir de ce signal.
1.2.1 Interféromètre
L’interféromètre de TERMITES crée 2 répliques du faisceau auxquelles on peut associer un champ électrique complexe. On notera E(r, ω) le champ électrique complexe du faisceau à mesurer et ER(r, ω) celui du faisceau de référence dans le plan de mesure. Décomposons
E(r, ω) en amplitude et phase :
E(r, ω) = A(r, ω) exp(iϕ(r, ω)) (1.1)
Le champ ER(r, ω) est issu du même faisceau que le champ E(r, ω). Nous allons ex-
primer le champ ER(r, ω) en fonction de l’amplitude A(r, ω) et de la phase ϕ(r, ω). Pour cela intéressons-nous à la manière dont l’interféromètre crée le faisceau de référence et sur l’effet de la propagation sur celui-ci.
Comme évoqué dans la section 1.1, dans le bras de référence, le miroir induit une courbure sur le faisceau. Dans le plan de mesure, cela se traduit par une dépendance radiale du temps d’arrivée du faisceau de référence. Etant donné qu’on utilise un miroir sphérique, ce temps d’arrivée peut s’écrire τ (r) = 2crr2
c, où rc est le rayon de courbure du
faisceau de référence dans le plan de mesure, c la vitesse de la lumière.
Dans l’espace des fréquences, un délai τ correspond à une phase spectrale linéaire τ ω. Le délai induit par le déplacement longitudinal du miroir convexe se traduit donc par une phase spectrale linéaire dont la pente varie avec le carré de r. Dans l’espace (r, ω), cette phase spectrale devient une phase spatio-spectrale et est proportionnelle à r2ω.
Entre le plan du miroir convexe et le plan de mesure, la taille du faisceau de référence augmente. Cet agrandissement peut se décrire par une homothétie ayant pour centre le point focal du miroir convexe et un rapport 1/β. Le schéma de la figure 30 décrit cette homothétie.
On pourrait aussi décrire cette transformation de manière plus poussée en tenant compte de la diffraction. Juste après la réflexion sur le miroir convexe, la phase du faisceau de référence se décompose en deux termes, la phase du faisceau incident et la courbure due à la réflexion sur le miroir convexe : ϕ(r, ω) + 2f1 r2ω/c, où f est la focale du miroir. Si on néglige le premier terme devant le second alors on peut décrire l’évolution de la référence à l’aide d’une homothétie. En revanche si le premier terme n’est pas négligeable devant le second, alors on devra faire un calcul de propagation le prenant en compte. Pour les faisceaux mesurés par TERMITES, on peut faire l’hypothèse que la courbure domine lar- gement les distorsions de la zone de référence. On peut donc considérer que l’amplitude du faisceau de référence est proportionnelle à A(βr, ω) et que sa phase va contenir un terme ϕ(βr, ω). Nous pouvons donc écrire le champ électrique complexe du faisceau de référence dans le plan de mesure de cette manière :
Chapitre 1. TERMITES ER(r, ω) = A(βr, ω) exp i ϕ(βr, ω) + 1 2crc r2ω (1.2)
CCD
Miroir plan
Miroir convexe
Figure 30 – Comparaison de l’évolution de la taille du faisceau de référence (en violet) par rapport au faisceau à mesurer (en rouge) lors de la propagation entre le plan des miroirs et le plan de la caméra (CCD). f : focale du miroir convexe. L : distance de mesure (distance de propagation entre les miroirs de l’interféromètre et la caméra). β : proportion du faisceau utilisée comme faisceau de référence. D : diamètre du faisceau. rc : rayon de
courbure du faisceau de référence. r : coordonnée radiale. z : distance de propagation
1.2.2 Acquisition
Pour enregistrer les images, on utilise une caméra CCD. La caméra est uniquement sensible à l’intégrale de l’intensité du champ électrique pendant le temps d’exposition. Dans le plan de la caméra, le champ électrique est la somme du champ de chacun des deux faisceaux. Le signal enregistré en fonction du délai τ est donc :
ˆ S(r, τ ) = Z dt ˆE(r, t) + ˆER(r, t − τ ) 2 (1.3) Développons cette expression :
ˆ S(r, τ ) = Z dt( ˆE(r, t) + ˆER(r, t − τ ))( ˆE(r, t) + ˆER(r, t − τ ))∗ (1.4) = Z dt h | ˆE(r, t)|2+ | ˆER(r, t − τ )|2+ ˆE(r, t) ˆER∗(r, t − τ ) + ˆE ∗ (r, t) ˆER(r, t − τ ) i (1.5) (1.6) Ce que l’on peut écrire :
ˆ
S(r, τ ) = I(r) + IR(r) + ˆs(r, τ ) + ˆs∗(r, τ ) (1.7)
Chapitre 1. TERMITES En notant : I(r) = Z dt| ˆE(r, t)|2 (1.8) IR(r) = Z dt| ˆER(r, t − τ )|2= Z dt| ˆER(r, t)|2 (1.9) ˆ s(r, τ ) = Z dt ˆE(r, t) ˆER∗(r, t − τ ) (1.10) Arrêtons-nous sur la signification de ces termes. I(r) et IR(r) représentent les profils spatiaux des deux faisceaux, c’est-à-dire la répartition spatiale d’intensité que l’on peut mesurer en plaçant une caméra dans chacun d’eux. Chacune de ces grandeurs est accessible en bloquant un des bras de l’interféromètre. I(r)+IR(r) est la somme incohérente des deux faisceaux, elle peut être mesurée en augmentant le délai entre les deux faisceaux de sorte qu’ils n’interfèrent plus. Ainsi, sur la courbe tracée en figure 28, la somme incohérente à la position donnée est représentée par le signal quasi-constant visible de part et d’autre des fortes oscillations autour du délai nul. ˆs(r, τ ) est le terme d’interférence, c’est une grandeur complexe. La somme ˆs(r, τ ) + ˆs∗(r, τ ) = 2Re(ˆs(r, τ )) permet d’expliquer l’apparition des franges. Sa dépendance en position et en temps indique que les franges sont à la fois spatiales et temporelles.
L’opération effectuée entre ˆER(r, t) et ˆE(r, t − τ ) pour obtenir ˆs(r, τ ) se nomme corré-
lation croisée, on peut la noter ? et ainsi : ˆs(r, t) = ˆER(r, t − τ ) ? ˆE(r, t).
La corrélation croisée possède une propriété remarquable vis à vis de la transformée de Fou- rier dont on se servira dans le traitement des données. Elle devient un produit conjugué dans l’espace de Fourier :
T F {A ? B} = T F {A}.T F {B}∗ (1.11)
Nous pouvons ainsi effectuer une transformée de Fourier suivant le délai τ pour analyser le terme s(r, ω) = T Fτ{ˆs(r, τ )} = E(r, ω)ER∗(r, ω) Son amplitude s’écrit comme le produit de l’amplitude spectrale de chacun deux champs :
|s(r, ω)| = A(r, ω)A(βr, ω) (1.12)
Sa phase est la différence des deux phases spectrales :
arg(s(r, ω)) = ϕ(r, ω) − ϕR(r, ω) (1.13)
Ici, à la différence de la FTS, le terme arg(s(r, ω)) n’est pas nul car avec TERMITES les phases spatio-spectrales de chacun des champs électriques produits par les deux bras de l’interféromètre sont différentes. Ceci explique pourquoi on obtient de l’information sur la phase.
Ces égalités permettent d’expliquer la forme du signal ˆs(r, τ ). En effet, au centre du faisceau, si l’interféromètre est bien compensé et que la fenêtre de délai est centrée sur le signal, on a arg(s(r = 0, ω)) = 0. Cela signifie que ˆs(r = 0, τ ) est limité par transformée de
Chapitre 1. TERMITES
Fourier. Si l’amplitude du signal ˆs(r = 0, τ ) est gaussienne, alors sa largeur à mi-hauteur ∆τ est donc liée à ∆ω, la largeur à mi-hauteur de s(r = 0, ω) :
∆τ = 2π
∆ω (1.14)
Pour toute autre position, la phase spatio-spectrale arg(s(r, ω)) n’est pas nécessairement nulle. Elle peut se décomposer en 2 termes :
arg(s(r, ω)) = ϕ(r, ω) − ϕ(βr, ω) − 1 2rc 1 cr 2ω (1.15) = ∆ϕ(r, ω) − 1 2rc 1 cr 2ω (1.16) Le terme 2r1 c 1 cr
2ω décrit l’effet de la courbure de la référence sur le signal ˆs(r, τ ). Dans
l’espace (r, ω), il correspond à une phase spectrale du premier ordre dont la pente varie avec le carré de la position r. Dans l’espace (r, τ ), cela revient à un décalage temporel d’un délai τ0(r).
Le terme ∆ϕ(r, ω) contient la phase spatio-spectrale du faisceau mesuré. Si à une position donnée r1, la phase spectrale du faisceau est différente de celle du faisceau de
référence, alors le terme ∆ϕ(r1, ω) ne va pas être constant suivant ω. Cela se traduira par des distorsions sur le signal ˆs(r1, τ ). Sur la figure 31, nous avons tracé des coupes (x, τ ) de
simulations de mesures TERMITES pour un faisceau sans couplage spatio-temporel (cadre a) et pour différents couplages usuels (cadres b-d).
c
a b
d
x
Figure 31 – Coupe (x, τ ) de simulations de mesures TERMITES pour différents faisceaux incidents : sans couplage (a) et pour différents couplages spatio-temporels : (b) pulse front tilt (c) pulse front curvature (d) chirp dépendant de l’espace
Dans la suite, nous noterons :
ϕs(r, ω) = arg s(r, ω)
(1.17) Effectuons un développement limité selon la variable ω de ϕs(r, ω) au voisinage de ω0, la
fréquence centrale du laser :
ϕs(r, ω) = ϕs(r, ω0) +
∂ϕs(r, ω0)
∂ω Ω + φ(r, ω0) (1.18)
Chapitre 1. TERMITES
où φ(r, ω0) représente les termes d’ordre supérieur à 1 en ω. Le terme Ω représente la
différence Ω = ω − ω0. La surface Σ = (r,ϕs(r,ω0)
ω0 ), décrit la forme des franges dans
l’espace (r, τ ). Dans le second terme, τ0(r) = ∂ϕs∂ω(r,ω0) est homogène à un temps, la surface
Π = (r, τ0(r)) donne la position du maximum de l’enveloppe des franges. A l’aide de cette
décomposition, on peut décrire les franges d’interférence en séparant la forme des franges de celle de leur enveloppe (lieu où se trouvent les franges). Ceci va nous permettre d’expliquer comment les caractéristiques de la phase spatio-spectrale du faisceau à mesurer vont se retrouver dans les franges.
La simulation du cadre a a été effectuée avec un champ électrique dépourvu de couplages spatio-temporels. Dans cet exemple, la position du maximum de leur enveloppe a la même forme que les franges elles-mêmes.
Sur le cadre b, nous avons tracé une coupe 2d (x, τ ) d’une simulation de mesure TER- MITES pour un faisceau qui possède du pulse front tilt (PFT). Ce cas de figure peut se décrire par une phase spatio-spectrale proportionnelle à xΩ. En tout point spatial, va donc apparaître dans la phase ∆ϕ(r1, ω) un terme proportionnel à xΩ. Ceci se traduit dans le
plan (x, τ ) par un délai linéaire en x. Ainsi la courbe qui suit le maximum de contraste est modifiée : en l’occurence la parabole est décalée selon la dimension spatiale. Cependant, la courbe qui suit la position d’une frange n’est pas modifiée. On peut donc observer que le sommet des franges est décalé spatialement par rapport au sommet de leur maximum de contraste.
Sur le cadre c, le faisceau possède cette fois du pulse front curvature (PFC). Ce couplage peut se décrire par une phase spatio-spectrale proportionnelle à x2Ω, ce qui correspond dans le plan (x, τ ) à un délai quadratique en x. La courbure du maximum de contraste des franges est modifiée, mais pas la courbure de chacune des franges. On peut donc observer que les franges ne suivent pas la position de la courbe du maximum de contraste.
Sur le cadre d, nous avons tracé la coupe 2d (x, τ ) d’une simulation de mesure TER- MITES pour un faisceau dont le chirp dépend de l’espace. Dans le cas choisi, le couplage spatio-temporel se décrit par un phase spatio-spectrale variant en Ω2x. Ceci va occasion- ner l’apparition d’un terme proportionnel à Ω2x dans la phase ∆ϕ(r1, ω). Ainsi on peut
remarquer que l’étendue temporelle du signal ˆs(r, τ ) varie avec x2.
On comprend donc comment les variations dans l’espace (r, τ ) du signal enregistré vont nous permettre de remonter à une reconstruction des déformations spatio-temporelles du faisceau mesuré.
En revanche, les déformations uniquement temporelles du faisceau ne vont pas avoir d’impact sur la mesure TERMITES. Si on modifie le faisceau à mesurer de manière spatia- lement homogène en ajoutant la même phase spectrale φ(ω) en tout point spatial, la phase ∆ϕ(r, ω) ne va pas être modifiée. Le signal enregistré va donc être le même. La technique TERMITES est donc aveugle aux termes de phase spectrale ne dépendant pas des dimen- sions transverses. Cela signifie que la mesure TERMITES permet une reconstruction à une phase spectrale près du champ électrique. Cette indétermination implique que la mesure est indépendante de la compression, et donc qu’elle peut être effectuée à tous les étages d’un système laser CPA. Cette phase spectrale peut être déterminée à l’aide de techniques complémentaires comme celles décrites dans la partie 1.
Chapitre 1. TERMITES