Description des stratégies d’estimation pour les dispositifs de type plan chaud

Pour définir ces stratégies nous nous sommes fortement inspirés des résultats des analyses de comportement thermique et de sensibilité paramétrique réalisées dans les chapitres précédents. Nous résumons ici les remarques principales :

a) L’allure de la réponse thermique d’un dispositif de type plan chaud réel est tout à fait semblable à celle des dispositifs idéalisés équivalents. Notamment, on constate qu’aux temps longs la vitesse d’échauffement du dispositif est constante et indépendante du point d’observation.

b) L’observation en face arrière de l’échantillon est celle qui permet de s’affranchir au mieux de l’influence des paramètres de la sonde sur les mesures. A l’opposé, la mesure en face arrière de la sonde est fortement sensible aux perturbations des paramètres

R

_c et

(mc)

.

c) Aux temps longs, les dérivées par rapport au temps des températures

T

_ar et

T

_av ne sont sensibles qu’à

ρc

_p, tandis que leur différence

T

_av

−T

_ar ne réagit qu’aux perturbations sur

z

λ

. Ces deux paramètres sont décorrélés en tout point d’observation aux temps longs. De ces remarques découlent : 1) un choix de points d’observation ; 2) une méthode simple pour initialiser la valeur des paramètres recherchés :

ρc

_p et

λ

_z ; et 3) deux stratégies distinctes d’estimation en fonction du nombre de points d’observation disponibles.

Choix des points d’observation

Compte tenu de la remarque b), nous écartons la possibilité d’effectuer des estimations à partir de l’observation de

T

_sd. On supposera que la mesure de température en face arrière

T

_ar est toujours disponible. Par contre, la mesure de la température en face avant

T

_av de l’échantillon¹⁰, bien plus délicate à relever, peut faire défaut.

Nous rappelons que la mesure de

T

_ar se fait à l’interface entre deux milieux (échantillon – isolant) dont les effusivités thermiques sont très différentes. L’effusivité de l’échantillon étant bien plus importante que celle de l’isolant, il imposera la température à l’interface. Il n’est donc pas irraisonnable de supposer qu’un thermocouple placé à cet endroit mesure la température

T

_ar recherchée. Par contre, en face avant le rapport d’effusivités entre l’échantillon et la sonde n’est pas (en général) suffisant pour accepter une telle hypothèse.

Initialisation des valeurs des paramètres

De l’observation a) découle une méthode simple d’initialisation des valeurs de

ρc

_p et

λ

_z. Elle consiste à se placer aux temps longs et à effectuer une simple régression linéaire sur les observations en face arrière (voire en face avant). L’expression :

t

L

c

L

t

L

T

T

p z t ar

ρ

ϕ

λ

ϕ

+

−

=

≡

_→∞

6

1

)

,

(

ϕ

= densité de flux d’énergie dégagée par la sonde correspondant à l’évolution du dispositif idéalisé aux temps longs, montre que la pente de la droite de régression permet une première estimation de

ρc

_p ; tandis que la constante donne accès à une première estimation de

λ

_z. On notera

ρc

_pini et

λ

_zini les valeurs de la capacité et de la conductivité thermiques ainsi déterminées. Pour s’affranchir de la méconnaissance de

ϕ

en dispositif réel, il est également souhaitable de garder la valeur

α

_zini

=λ

_zini

/ρc

_pini de diffusivité thermique, dont le biais sera moindre.

La plage des temps longs est facilement décelable à partir de l’examen visuel des observations. Elle commence quand l’évolution de la température aux points d’observation devient linéaire.

Stratégies d’estimation

En fonction des observations disponibles, deux stratégies distinctes d’estimation sont ensuite envisageables. Elles découlent des remarques a) et c) et n’exploitent que les observations aux temps longs. Aussi, elles se déroulent en deux étapes : la première permet l’estimation de

ρc

_p, tandis que la deuxième fournit l’estimation de

λ

_z.

10 On notera que dans la littérature on désigne souvent « température face avant », la température en face arrière de la sonde. Avec le terme « face avant » nous faisons toujours référence à la température relevée par un capteur collé en face arrière de l’échantillon.

Stratégie 1T : Elle est définie en supposant qu’on ne dispose que des observations en face arrière de

l’échantillon¹¹. On procédera comme suit :

1) On estime d’abord

ρc

_p en cherchant le zéro de la fonction :

mod exp

β

β −

=

f

exp

β

est la pente de la réponse thermique aux temps longs mesurée en face arrière de l’échantillon, tandis que

β

_mod est la pente de la réponse thermique simulée à l’aide du modèle de transferts. L’algorithme utilisé est un algorithme standard de recherche par intervalles des points de changement de signe de la fonction

f

. On initialise la recherche à

ρc

_pini et on note

ρc~

_p le résultat de celle-ci.

2) On actualise ensuite la valeur initiale de la conductivité thermique :

λ

_zini

=α

_zini

ρc~

_p. Nous rappelons que le biais sur

α

_zini est toujours inférieur au biais de la valeur de

λ

_zini issue de la première étape d’initialisation.

3) On passe enfin à l’estimation de

λ

_z. Pour ce faire, on cherche le zéro de la fonction :

mod exp

c

c

f = −

exp

c

est la constante de la droite de régression calculée à partir des mesures de la température en face arrière de l’échantillon ; tandis que

c

_mod est la constante obtenue à partir de la réponse thermique simulée à l’aide du modèle de transferts. On initialise la recherche à

ini z

λ

et on note

λ^~

_z le résultat de celle-ci.

Stratégie 2T : Cette deuxième stratégie est définie en supposant qu’on dispose des mesures en face

avant et arrière de l’échantillon. Elle ne diffère de la stratégie précédente que dans l’étape 3). On a remarqué dans les études de sensibilité du chapitre précédent, que la différence de températures

ar av

T

T −

aux temps longs n’est sensible qu’aux variations de

λ

_z. Par conséquent, l’estimation de

λ

_z se fait maintenant en cherchant le zéro de la fonction :

mod exp

T

T

f =∆ −∆

où

∆T

_exp est la valeur moyenne des différences

T

_av

−T

_ar mesurées aux temps longs ; tandis que

mod

T

∆

représente la différence

T

_av

−T

_ar calculée à partir du modèle de transferts. Comme auparavant, on initialise la recherche à

λ

_zini et on note

λ^~

_z le résultat de celle-ci.

11 On pourrait également l’appliquer aux observations en face avant. Cependant, comme déjà dit, la mesure de

T

_av est souvent délicate et fait défaut.

8.1.2. Description des stratégies d’estimation pour les

Dans le document Nouveaux composites graphite/sel destinés au stockage de l'énergie thermique à haute température : De l'élaboration au développement de méthodes de caractérisation thermique de matériaux conducteurs orthotropes. (Page 187-190)