L’´ecriture X(t) = eAtX0 ne nous renseigne par forc´ement car il peut ˆetre difficile de calculer l’exponentielle en pratique. Commen¸cons par quelques exemples.
2.3.1 Exemples de base, blocs de Jordan
Exemple4.15. B=
. On lit directement dans la matrice que les valeurs propres sont
λ1=−2 +i,λ2=−2−ietλ3= 3. On a pourλ1un vecteur propre complexeW =
. L’exponentielle se calcule dans chaque bloc :
X(t) =
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Chapitre 4 : solution des syst`emes lin´eaires 2. Solution fondamentale des syst`emes lin´eaires
Ces deux cas sont faciles `a traiter car il y a 3 valeurs propres distinctes. Plus g´en´eralement, il sera facile de d´ecrire le comportement deX(t) lorsque A∈Mn(R) auranvaleurs propres distinctes (´eventuellement complexes) : on pourra ”diagonaliser” A en B =P−1AP, avec ´eventuellement des blocs
a b
−b a
dans la matriceB, et distribuer l’exponentielle sur chaque bloc.
Consid´erons maintenant des exemples o`u ce n’est pas possible.
Exemple 4.17. B=
Vu que la matrice est triangulaire, on voit directement queλ1 = 2est la seule valeur propre et que E1
est vecteur propre. Un calcul imm´ediat montre qu’il n’y a pas de vecteur propre non colin´eaire `aE1. La strat´egie pour calculeretB est d’´ecrire
B=
La matriceN ci-dessus est un exemple de matrice nilpotente :
D´efinition 4.18. Une matrice N ∈Mn(R) est dite nilpotente s’il existe un entier k∈N tel que Nk= 0. Elle est dite nilpotente d’ordrek siNk= 0 mais Nk−16= 0.
Une matrice T ∈ Mn(R) triangulaire sup´erieure stricte (diagonale nulle et tous les termes sous la diagonale nuls) est nilpotente puisque T.E1 = 0 et pour tout i ∈ {2, . . . , n}, T.Ei ∈
Chapitre 4 : solution des syst`emes lin´eaires 2. Solution fondamentale des syst`emes lin´eaires
vect{E1, . . . , Ei−1}. En it´erant au plusk≤nfois,Tk.Ei = 0 pour toutidoncTk = 0. Pour une matriceN nilpotente d’ordrek, la s´erie de l’exponentielle n’a qu’un nombre fini de termes :
etN = In+tN +. . .+Nk−1tk−1
o`uSest diagonale par bloc etN est nilpotente d’ordre2. On peut v´erifier queSetN commutent, donc
etB=etSetN =
2.3.2 Cas g´en´eral, forme normale de Jordan
Th´eor`eme 4.20 (Forme normale de Jordan). SoitA∈Mn(R). Alors il existe une matrice P inversible telle que complexes deA. En particulierP−1AP =S+N o`uSest diagonale par bloc (avec ´eventuellement
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Chapitre 4 : solution des syst`emes lin´eaires 2. Solution fondamentale des syst`emes lin´eaires
des blocs D), N est nilpotente, et S et N commutent. Les ´el´ements de S - λj, j = 1, . . . , k et aj+ibj,j=k+ 1, . . . , n- sont les valeurs propres deA apparaissant selon leur multiplicit´e.
On n’exclut pas dans (4.6) les blocs de taille 1 et dans (4.7) les blocs de taille 2. En les r´ep´etant, S peut contenir des blocs de la forme λIp ou
D
. ..
D
. On en d´eduit
Corollaire 4.21. Chaque coordonn´ee d’une solutionX(t) deX0 =AX est une combinaison lin´eaire de fonctions de la forme
tkeatcos(bt) ou tkeatsin(bt) o`u λ=a+ibest une valeur propre de Aet 0≤k≤n−1.
On n’exclut pas ici b= 0, auquel cas il s’agit d’une valeur propre r´eelle.
Remarque 4.22. On dit queAestsemi-simple si dans la forme normale de Jordan, la partie nilpotente N est nulle, i.e. P−1AP = S. Dans ce cas, la base de Rn associ´ee `a P est, quitte `a permuter les vecteurs, de la forme
B={U1, . . . , Uk, WR,1, WI,1, . . . , WR,m, WI,m} (4.8) o`u les Ui sont vecteurs propres associ´es aux valeurs propres r´eelles λi, pouri= 1, . . . , k, et les couples WR,p, WI,p sont tels queWR,p+iWI,p soit vecteur propre complexe associ´e `a la valeur propre complexeap+ibp,p= 1, . . . , m.
Chapitre 5 : stabilit´ e dans les syst` emes lin´ eaires
D´efinition 5.1. On dit qu’un point d’´equilibre X∗ de X0 = f(X) est stable si pour tout voisinage U de X∗, il existe un voisinage V de X∗ tel que, si X(0) ∈V alors X(t) est d´efini pour tout t≥0et X(t)∈U. Sinon on dit queX∗ est instable.
D´efinition 5.2. On dit qu’un point d’´equilibre X∗ de X0 =AX est asymptotiquement stable s’il est stable et s’il existe un voisinage V de X∗ tel que, si X(0)∈V alors X(t) tend vers X∗ lorsquet→ ∞.
En particulier, asymptotiquement stable⇒stable. En dimension 2, les puits et les spirales-puits sont asymptotiquement stables. Les centres sont stables mais pas asymptotiquement stables. Les sources sont instables. On cherche un crit`ere, dans la veine du th´eor`eme de classification 3.24, donnant la nature des points d’´equilibre.
1 Stabilit´ e asymptotique
Th´eor`eme 5.3. Soit A∈Mn(R). Sont ´equivalents :
(1) Toutes les valeurs propres deA ont partie r´eelle strictement n´egative,
(2) Il existe une baseBdeRn, des constantesc, C >0telles que, pour la normek · kB associ´ee
` aB,
e−ctkX0kB ≤ keAtX0kB ≤e−CtkX0kB
pour toutX0∈Rn ett∈R. En particulier,X∗ = 0est asymptotiquement stable.
(3) Pour toute normek · k sur Rn, il existe des constantes c, C, m, M >0 telles que me−ctkX0k ≤ keAtX0kB ≤M e−CtkX0k
59
Chapitre 5 : stabilit´e dans les syst`emes lin´eaires 1. Stabilit´e asymptotique
pour toutX0∈Rn ett∈R.
(4) Pour toutX0 ∈Rn,eAtX0 tend vers 0quandt→ ∞.
Rappel :
D´efinition 5.4. SoitB={U1, . . . , Un} une base deRn. On appelle produit scalaire `aB, le produit scalaire h·,·iB pour lequel B est orthonorm´ee. Si Q = U1 . . . Un
, il est d´efini par la relation
hX, YiB =hQ−1X, Q−1Yi
o`u h·,i>est le produit scalaire standard deRn. La norme associ´ee `a Best p h·,·iB.
Preuve: L’´equivalence de (2) et (3) se r´eduit `a l’´equivalence des normes dansRn : si k · k1 et k · k2 sont deux normes, il existem, M >0 tel que m≤ kXkXkk1
2 ≤M pour toutX non nul.
(2)-(3) ⇒ (4) est ´evident.
Montrons (4)⇒ (1) puis (1)⇒ (2).
(4) ⇒ (1). Supposons qu’il existe une valeur propre λ = a+ib avec a ≥ 0 (on n’exclut pas b= 0). Sib= 0, la valeur propreλ=aest r´eelle etA admet un vecteur propre associ´e V. Alors X(t) = eatV est solution (cf proposition 3.6), et eAtV ne tend pas vers 0 quand t→ ∞ ce qui contreduit (4).
SI b6= 0, A admet un vecteur propre complexe W =WR+iWI donc on d´eduit deux solutions r´eelles XR(t) et XI(t) (cf proposition 3.19). Consid´erons par exemple
XR(t) =eat(cos(bt)WR−sin(bt)WI).
Alors pour r´eel t,
kXR(t)k=eatkcos(bt)WR−sin(bt)WIk ≥weat
pour une constantew >0 ind´ependante de t, doncXR(t) ne tend pas vers 0, contredisant aussi (4).
Montrons (1)⇒(2). Soit−C <0 tel que Re(λ)<−Cpour toute valeur propreλdeA. Donnons nous aussi−c <0 tel que −c <Re(λ). On a besoin du lemme suivant :
Lemme 5.5. SoitA∈Mn(R). Supposons que α <Re(λ)< β
pour toute valeur propreλde A. Alors il existe une base BdeRn telle que
α(kXkB)2 ≤ hAX, XiB ≤β(kXkB)2 (5.1) pour tout X∈Rn.
Chapitre 5 : stabilit´e dans les syst`emes lin´eaires 1. Stabilit´e asymptotique
Supposons le lemme vrai et montrons le th´eor`eme. On se sert du lemme, avecα=−cetβ =−C.
pour montrer que la fonctiont7→ kX(t)kB d´ecroit le long des trajectoires. Pour simplifier, notons k · k=k · kB eth·,·i=h·,·iB. Soit X(t) une solution de X0=AX, on a
d
dtkXk = d
dthX, Xi1/2
= 1
2
2hX0, Xi hX, Xi1/2
= hAX, Xi hX, Xi1/2 d’o`u en utilisant (5.1),
α≤
d dtkXk
kXk ≤β soit
α≤ d
dtlnkXk ≤β.
Par int´egration, on a
αt≤lnkX(t)k −lnkX(0)k ≤βt, puis
αt≤ kX(t)k kX(0)k ≤βt, et enfin
eαtkX(0)k ≤ kX(t)k ≤eβtkX(0)k.
Il reste `a prouver le lemme.
Preuve: (du lemme) Montrons la majoration, la minoration ´etant semblable. Supposons d’abord que A soit semi-simple, sa forme normale de Jordan donn´ee par le th´eor`eme 4.20 se r´eduit `a P−1AP =S. SoitB la base associ´ee `a P (cf remarque 4.22)
B={U1, . . . , Uk, WR,1, WI,1, . . . , WR,m, WI,m}
Alors le produit scalaire associ´e, pour lequelB est orthonorm´ee, convient. En effet puisque Ui est vecteur propre de A:
hAUi, UiiB=hλiUi, UiiB =λi≤β Par ailleursA agit sur chaque {WR, WI}={WR,i, WI,i} comme
ai bi
−bi ai
donc hAWR, WRiB =haiWR−biWI, WRi=ai ≤β
et de mˆeme
hAWI, WIiB =hbiWR+aiWI, WIi=ai≤β On en d´eduit que
hAX, XiB ≤β(kXkB)2
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Chapitre 5 : stabilit´e dans les syst`emes lin´eaires 1. Stabilit´e asymptotique
pour toutX ∈Rn.
Supposons maintenantA quelconque, alors
P−1AP = orthogonalement (pour le produit scalaire standard)Rn en sous-espaces vectoriels
Rn=F1⊕. . .⊕Fr
chaque Fi ´etant stabilis´e par A et correspondant `a un bloc de Jordan, i.e. P−1Fi est stable par S+N et la restriction deS+N `a P−1Fi est le bloc Bi. Notons Ai la restriction de A `a Fi. Il suffit de montrer l’existence d’une base deFi pour lequel le lemme est vrai pourAi, pour chaque i, et la r´eunion de ces bases v´erifiera le lemme pour A. Pour simplifier on peut donc supposer queP−1AP =B est un bloc de Jordan. Supposons d’abord que
B =
Chapitre 5 : stabilit´e dans les syst`emes lin´eaires 1. Stabilit´e asymptotique
NotonsBε={U1, εU2, . . . , εn−1Un} (la base correspondant `a la matriceP Qε), on a hAX, XiBε
hX, XiBε = h(P Qε)−1AX,(P Qε)−1Xi h(P Qε)−1X,(P Qε)−1Xi
= h(λIn+εN)Yε, Yεi
hYε, Yεi ( en posantYε= (P Qε)−1X)
= λ+εhN Yε, Yεi hYε, Yεi
→ λ
quandε→0. Donc pourε >0 assez petit, la baseBεsatisfait le lemme. Pour un bloc de la forme (4.7) la preuve est semblable.
Ayant prouv´e le lemme, le preuve du th´eor`eme est compl`ete.
On montre de la mˆeme mani`ere le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 5.6. Soit A∈Mn(R). Sont ´equivalents :
(1) Toutes les valeurs propres deA ont partie r´eelle strictement positive,
(2) Il existe une baseB de Rn, des constantes c, C > 0 telles que, pour la norme associ´ee `a B,
ectkX0kB ≤ keAtX0kB ≤eCtkX0kB
pour toutX0∈Rn ett∈R.
(3) Pour toute normek · k sur Rn, il existe des constantes c, C, m, M >0 telles que mectkX0k ≤ keAtX0kB ≤M eCtkX0k
pour toutX0∈Rn ett∈R.
(4) Pour toutX0 ∈Rn,eAtX0 tend vers 0quandt→ − ∞.
Si on s’int´eresse `a la stabilit´e
Proposition 5.7. SiX0 =AX admet X= 0comme point d’´equilibre stable, alors toutes les valeurs propres de A ont partiee r´eelle n´egative ou nulle.
Preuve: Se montre comme (4)⇒ (1) dans le th´eor`eme 5.3.
Remarque 5.8. On n’affirme pas que si toutes les valeurs propres ont partie r´eelle n´egative ou nulle, X = 0 est un centre. Par exemple A =
0 1 0 0
n’admet comme valeur propre que λ= 0, mais admet la solution (x(t), y(t)) = (t,1) qui montre queX= 0 n’est pas stable.
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Chapitre 5 : stabilit´e dans les syst`emes lin´eaires 2. Sous-espaces stables et instables
2 Sous-espaces stables et instables
Proposition 5.9. Soit A∈Mn(R). Il existe une d´ecomposition Rn=Es⊕Eu⊕Ec
en sous-espaces invariants par A et paretA. Les valeurs propres de - la restriction de A`aEs ont partie r´eelle strictement n´egative, - la restriction de A`aEc sont de partie r´eelle nulle,
- la restriction de A`aEsont partie r´eelle strictement positive.
Preuve: Soit P−1AP =
B1
B2 . ..
Br
=S+N la forme normale de Jordan de A. On d´ecomposeRn=Fs⊕Fc⊕Fu, o`u Fs correspond aux blocs de Jordan de valeur propresλ sa-tisfaisant Re(λ)<0,Fccorrespond au bloc ayant Re(λ) = 0 etFu correspond au bloc v´erifiant Re(λ)>0. Chaque sous-espace est invariant par S+N. On pose alors Eu =P.Fu,Ec=P.Fc etEs=P.Fu; ils sont clairement invariants parA, donc paretA.
D´efinition 5.10. On appelleEs lesous-espace stable,Ec lesous-espace centre,Eu le sous-espace instable.
En restriction a Es, X(t) = etAX0 satisfait les conclusions du th´eor`eme 5.3. En restriction `a Eu, X(t) = etAX0 satisfait les conclusions du th´eor`eme 5.6. Sur l’exemple 4.15, on a Es = vect{E1, E2},Eu = vect{E3},Ec={0}.
Sur l’exemple 4.16,Ec= vect{E1, E2},Es= vect{E3},Eu={0}.
Sur l’exemple 4.17,R3 =Eu,Ec=Es={0}. Sur l’exemple 4.19,R4 =Eu sia >0, R4 =Es si a <0.
Chapitre 6 : stabilit´ e dans les syst` emes non lin´ eaires
On consid`ere un syst`eme diff´erentiel
X0 =f(X) (6.1)
om f : U→Rn est de classe C1, U ⊂ Rn ouvert. On dit qu’un point X∗ ∈ U est un point d’´equilibre si f(X∗) = 0. Dans ce cas la solution constante X(t) = X∗ est l’unique solution passant parX∗. En termes de flot, si Φ : Ω→U est le flot associ´e au syst`eme (Ω⊂R×U ouvert, Φt(X) = Φ(t, X) solution de (6.1)), on a Φt(X∗) =X∗. Pour ´etudier Φ au voisinage de X∗ on utilise son lin´earis´e.
1 Lin´ earis´ e
D´efinition 6.1. SoitA=JX∗f = ∂f∂x
la matrice jacobienne def enX∗. On appellepartie lin´eaire def enX∗ la matriceA et lin´earis´e de(6.1) le syst`eme diff´erentiel
X0 =AX (6.2)
Exemple 6.2. Soitf(x) =
x21−x22−1 2x2
. Les points d’´equilibre sont X1 = (1,0)etX2= (−1,0).
La matrice jacobienne estJ f =
2x1 −2x2
0 2
. Le lin´earis´e deX0 =f(X)estX0 = 2 0
0 2
X enX1
etX0 =
−2 0 0 2
enX2. .
D´efinition 6.3. SoitX∗ un point d’´equilibre de(6.1),A=JX∗f la partie lin´eaire de f. On dit que
(1) X∗ est hyperboliquesi aucune valeur propre de An’a partie r´eelle nulle.
65
Chapitre 6 : stabilit´e dans les syst`emes non lin´eaires 2. Stabilit´e asymptotique des puits
(2) X∗ est unpuits si toutes les valeurs propres deA ont partie r´eelle<0.
(3) X∗ est unesource si toutes les valeurs propres de A ont partie r´eelle>0.
(4) X∗ est unpoint-selle s’il est hyperbolique mais ni un puits ni une source.
Exercice6.4. Trouver les points d’´equilibre des syst`emes non in´eaires suivants et d´eterminer leur type (a)
x1−x1x2 x2−x21
(b)
−4x2+ 2x1x2−8 4x22−x21
(c)
2x1−2x1x2
2x2−x22+x21
(d)
−x1
−x2+x21 x3+x21
2 Stabilit´ e asymptotique des puits
En termes de flot la stabilit´e et la stabilit´e asymptotique s’´econcent comme suit :
- X∗ est stable si pour tout voisinage V de X∗ il existe un voisinage W de X∗ tel que Φt(X) est d´efini pour tout t≥0 et reste dans V si X∗ ∈W.
- X∗ est asymptotiquement stable s’il est stable et si Φt(X)→X∗ lorsquet→ ∞, pour tout X voisin deX∗.
Th´eor`eme 6.5. Soit X∗ un point d’´equilibre du syst`eme(6.1)de type puits et soit c >0une constante telle que toute valeur propre de la partie lin´eaireA=JX∗f ait partie r´eelle<−c. Alors il existe un voisinage V ⊂U deX∗ tel que
(1) Φt(X) est d´efini sur V pour toutt≥0,
(2) Il existe une norme surRn telle que pour tout t≥0, pour toutX ∈V, kΦt(X)−X∗k ≤e−ctkX−X∗k
En particulier X∗ est asymptotiquement stable.
Preuve: Quitte `a remplacer la fonction f(X) par g(X) = f(X+X∗), on peut supposer que X∗ = 0. Soit b > 0 tel que toute valeur propre de A = J0f ait partie r´eelle < −b < −c < 0.
D’apr`es le lemme 5.5 il existe un produit scalaire surRn tel que hAX, Xi ≤ −bkXk2, ∀X ∈Rn. Par d´efinition,
f(X) =AX+o(X)
Chapitre 6 : stabilit´e dans les syst`emes non lin´eaires 2. Stabilit´e asymptotique des puits
donc pour δ >0 assez petit,
kf(X)−AXk ≤(b−c)kXk siX ∈B(0, δ) :=V. Par Cauchy-Schwarz,
hf(X)−AX, Xi
kXk2 ≤b−c d’o`u
hf(X), Xi
kXk2 ≤(b−c) +hAX, Xi kXk2 ≤ −c
pour toutX∈V. SoitX ∈V,I = [0, t0] maximal tel queφt(X) soit d´efini pourt∈[0, t0]. Soit [0, t1]⊂[0, t0[ maximal tel que Φt(X)∈V¯ alors
d
dtkX(t)k ≤ hX0, Xi
kXk ≤ −ckXk<0 (6.3)
donckX(t)kd´ecroit sur [0, t1], donckX(t)k ≤ kX(0)k< δett1=t0. Il s’ensuit queX([0, t1])⊂ V¯. D’apr`es le th´eor`eme d’explosion en espace en temps fini (le corollaire 1.20 traite la dimension 1, la preuve est semblable pourn quelconque), X(t) est d´efini sur [0,+∞[ et reste dans ¯V. En int´egrant l’in´egalit´e 6.3 on obtient
kX(t)k ≤e−ctkX(0)k.