CHAPITRE 4 SYNTHÈSE
4.2 Cadre de planification axée sur les marges de profit
4.2.4 Description du modèle mathématique
Le modèle mathématique utilisé pour la gestion axée sur les marges de profit est formulé comme un problème de programmation linéaire avec nombres entiers dans un horizon de temps discret de 12 mois. Cependant, afin de représenter plus précisément les procédés de production et les compromis entre différentes options de fabrication, chaque période de temps est décomposée en heures. L’objectif de ce modèle de planification tactique est de maximiser la rentabilité globale de l’entreprise (eq.1). Les trois premiers termes de cette fonction objectif représentent les revenus des ventes pour les produits, la vapeur et l’électricité. Les autres termes représentent les différents coûts considérés.
− − − − − − − − − − − − + + = tingCost FixedOpera st ShutdownCo t OfflineCos t StartupCos Cost Transition icityCost PeakElectr ost ectricityC VariableEl t eratingCos VariableOp t StorageCos ost TransportC SupplyCost SalesCost ySales Electricit SteamSales es ProductSal Profit max (1)
Par convention, dans ce modèle, un procédé est une unité ou un groupe d’unités de production qui transforme des matières premières ou intermédiaires en produits finaux ou autres intermédiaires (ex. une machine à papier, une ligne de mise en pâte thermomécanique, etc.). Une
recette définit les conditions d’opération d’un procédé, telles que la consommation de matières
premières, la production de produits, la consommation/production de vapeur et d’électricité, l’utilisation de fournitures, la consommation de produits chimiques, etc. Par exemple, une machine à papier produisant quatre grades de papier pourrait être représentée par 4 recettes différentes, possédant chacune des vitesses de production spécifiques. De même, il est possible d’avoir plus d’une recette pour la production d’un même produit final. Différents mélanges de pâtes (ex. désencrée et thermomécanique) pourraient ainsi être utilisés pour produire un même grade de papier.
Tout en étant un modèle de planification tactique comportant quelques considérations opérationnelles, le modèle possède des capacités limitées d’ordonnancement. En effet, il détermine le nombre d’heures mensuelles et le débit de production pour chaque recette utilisée, mais ne donne pas d’indications relatives quant au moment où la recette devrait être utilisée au cours du mois. Pour chaque période de temps (chaque mois), le modèle détermine les éléments suivants :
• la quantité de chaque produit à vendre à chacun des clients,
• les quantités de matières premières à acheter aux différents fournisseurs,
• quelle recette utiliser sur chacun des procédés de l’usine, la durée d’utilisation et le débit de production,
• la consommation de vapeur, d’électricité et de carburant de chacun des procédés, incluant les chaudières,
• la production de vapeur et d’électricité par le système de services utilitaires, • les transitions à effectuer, et
• l’inventaire mensuel de chacun des produits/matières premières.
Le modèle est soumis à des contraintes liées à l’approvisionnement, aux ventes, au transport, à l’inventaire, aux bilans de masse et d’énergie (vapeur et électricité) des procédés, ainsi qu’à des contraintes opérationnelles liées à la planification. La nomenclature utilisée et ces contraintes sont présentées dans les sous-sections suivantes. Le Tableau 4.2 résume les données devant être fournies au modèle.
Tableau 4.2 Informations devant être fournies au modèle Type
d’information Données
Données générales Horizon de temps (nombre de mois à considérer, nombre d’heures par mois)
Approvisionnement
Liste des fournisseurs, comprenant la quantité et le coût d’achat de chacun des produits offerts pour chaque période de temps (matières premières, carburants, chimiques)
Information liées à la qualité de la biomasse (composition chimique, humidité, etc.)
Production
Ensemble des matières premières et produits pouvant être produits par chaque recette sur chaque procédé et leur rendement
Capacités minimales et maximales de chaque recette
Estimation de la durée et du coût des transitions entre recettes et des démarrages pour chaque procédé
Énergie
Consommation et production spécifiques de vapeur et d’électricité pour chaque recette
Courbe de rendement de la turbine de condensation (kWh d’électricité produite / GJ de vapeur envoyée à la turbine)
Coûts d’achat et prix de vente de l’électricité (variable et puissance) Prix de vente de vapeur aux clients locaux, le cas échéant
Coûts de production
Consommation de ressources et coûts variables par recette (ex. main d’œuvre directe et avantages sociaux directs, fournitures, etc.) Coûts fixes et règles d’allocation (ex. maintenance, frais généraux, amortissement, etc.)
Planification
Information reliée aux arrêts programmés de production pour maintenance et réparations majeures (période, durée, coût)
Heuristiques de planifications utilisées (ex. durée minimale d’utilisation d’une recette, nombre maximal de recettes pouvant être utilisées par période de temps)
Logistique
Coûts de transport pour chaque produit transféré entre fournisseurs, usines et clients
Capacité et coût d’entreposage pour chaque produit
4.2.4.1 Nomenclature du modèle
4.2.4.1.1 Indices et ensembles J
j∈ Fournisseurs
L
l∈ Usines ou centres de distribution de l’entreprise
K k∈ Clients P p∈ Procédés R r∈ Recettes
M
m∈
ProduitsN
n∈
Intervalles de disjonctionT
t∈
Temps 4.2.4.1.2 Sous-ensembles L lp P Procédées p à l’usine l boil lp P Chaudières p à l’usine l cogen lpP Chaudière de cogénération p à l’usine l P
lpr
R Recettes r disponibles pour le procédé p dans l’usine l boil
lpr
R Recettes r disponibles pour la chaudière p dans l’usine l cogen
lpr
R Recettes r disponibles pour la chaudière de cogénération p dans l’usine l J
jm
M Produits m offerts par le fournisseur j
L lm
M Produits m fabriqués/utilisés dans l’usine l
K km
M Produits m requis par le client k
JL jlm
M Produits m pouvant être transportés entre le fournisseur j et l’usine l
LL m ll
M ' Produits m pouvant être transportés entre les usines l et l’ LK
lkm
M Produits m pouvant être transportés entre l’usine l et le client k
log lm
M Billes de bois m dans l’usine l
chip lm
M Copeaux de bois m dans l’usine l
pap lm
M Papier m dans l’usine l in
R lprm
M − Intrants m d’une recette r, oùr∈RlprP in
boil R lprm
M − − Intrants m d’une recette r, oùr∈Rlprboil
out R lprm
M − Extrants m d’une recette r, où lprboil P lpr R R r∈ ∩ fuel R lprm
M − Carburants m utilisés dans la recette r du procédé p de l’usine l
turb nl
4.2.4.1.3 Paramètres d’approvisionnement et de vente J
jmt J
jmt Q
Q , Quantités minimum et maximum de produits m offertes par le fournisseur j durant la période de temps t [tonne]
K kmt K kmt Q
Q , Quantités minimum et maximum de produits m requises par le client k durant la période de temps t [tonne]
LK v lt LK v lt Q
Q − , − Quantités minimum et maximum de vapeur requises par les clients locaux de l’usine l durant la période de temps t [GJ]
K kmt
c Prix de vente du produit m au client k durant la période de temps t [$/tonne]
s K kmt
c − Coût spécifique à la vente du produit m au client k durant la période de temps t [$/tonne]
J jmt
c Coût d’achat du produit m provenant du fournisseur j durant la période de temps t [$/tonne]
4.2.4.1.4 Paramètres de transport et d’inventaire
tr J
jlm
Q − Capacité maximale de transport du produit m entre le fournisseur j et l’usine l [tonne] tr
L m ll
Q −' Capacité maximale de transport du produit m entre les usines l et l’ [tonne] tr
K lkm
Q − Capacité maximale de transport du produit m entre le client k et l’usine l [tonne] M
lm M lm Q
Q , Capacité minimale et maximale de stockage du produit m dans l’usine l [tonne]
log
l
Q Capacité maximale de stockage de billes de bois de tout genre dans l’usine l [tonne] chip
l
Q Capacité maximale de stockage de copeaux de bois de tout genre dans l’usine l [tonne]
pap l
Q Capacité maximale de stockage de papier de tout genre dans l’usine l [tonne]
start M lm
s − Inventaire du produit m à l’usine l au temps 0 [tonne]
end M lm
s − Inventaire minimum du produit m dans l’usine l au temps T [tonne] tr
J jlm
c − Coût de transport du produit m du fournisseur j à l’usine l [$/tonne]
tr L
m ll
c '− Coût de transport du produit m de l’usine l à l’usine l’ [$/tonne] tr
K lkm
c − Coût de transport du produit m de l’usine l au client k [$/tonne]
M lm
4.2.4.1.5 Paramètres de production
R lp
A Nombre maximum de campagnes de production pour le procédé p dans l’usine l
t
H Nombre d’heures durant la période de temps t [heures] ch
lp
H Temps perdu lors d’une transition sur le procédé p dans l’usine l [heures] R
lpr
H Durée minimum d’une campagne utilisant la recette r sur le procédé p dans l’usine l [heures]
off lp
H Durée minimum d’une fermeture partielle du procédé p dans l’usine l [heures] start
R lpr
−
α Recette r sélectionnée sur le procédé p dans l’usine l au temps 0 P
lpt
ε Nombre d’heures d’arrêts de production prévues sur le procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [heures]
off
lp
c Coût d’une fermeture partielle du procédé p dans l’usine l [$/heure] sh
lp
c Coût d’un arrêt de production du procédé p dans l’usine l [$/heure] ch
lp
c Coût d’une transition sur le procédé p dans l’usine l [$/transition] start
lp
c Coût de démarrage du procédé p dans l’usine l après une fermeture [$] R
lprt
ϕ Paramètre forçant la sélection de la recette r
4.2.4.1.6 Paramètres liés aux bilans de matière R
lpr R lpr Q
Q , Débits minimum et maximum lorsque la recette r du procédé p de l’usine l est utilisée [tonne/heure]
in lprm
a Facteur de consommation des intrants m de la recette r du procédé p dans l’usine l utilisé pour le bilan de masse [tonne/tonne ou GJ/GJ pour les chaudières]
out lprm
a Facteur de production des extrants m de la recette r du procédé p dans l’usine l utilisé pour le bilan de masse [tonne/tonne]
var − y lpr
c Coût variable d’opération de la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t (relié au débit de production) [$/tonne]
var − h lpr
c Coût variable d’opération de la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t (relié au temps de production) [$/heure]
fix lt
4.2.4.1.7 Paramètres liés aux bilans de vapeur et de combustibles
fuel R lprt
a − Coefficient d’utilisation du combustible m de la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [tonne combustible/tonne]
boil lpr
a Efficacité de production de vapeur de la chaudière p dans l’usine l lorsque la recette r est utilisée [GJ vapeur/GJ combustible]
fuel lprm
b Chaleur de combustion du combustible m [GJ/tonne] in
v lprt
b − Facteur de consommation de vapeur de la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [GJ/tonne pour les procédées, GJ/GJ pour les chaudières]
out v lprt
b − Facteur de production de vapeur production de la recette r du procédé p (excluant les chaudières) dans l’usine l durant la période de temps t [GJ/tonne]
L lt
v Consommation indirecte de vapeur de l’usine m durant la période de temps t [GJ]
K v lt
c − Prix de vente de la vapeur à l’emplacement l durant la période de temps t
4.2.4.1.8 Paramètres liés aux bilans d’électricité
in w lprt
b − Facteur de consommation d’électricité de la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [kWh/tonne]
in w boil lprt
b − − Facteur de consommation d’électricité de la recette r de la chaudière p dans l’usine l durant la période de temps t [kWh/GJ vapeur]
L lt
w Consommation indirecte d’électricité de l’usine m durant la période de temps t [kWh] turb
nlt turb nlt
ν
ν
, Limites de l’intervalle de disjonction n pour l’efficacité de la turbine dans l’usine l [GJ/heure]out w nl
b − Efficacité de la turbine pour la production électricité dans l’intervalle de disjonction n
[kWh/GJ]
peak lt
b Facteur de diminution de puissance du contrat d’électricité de l’usine l durant la
période de temps t [%]
peak lt
W Puissance contractuelle achetée de l’usine l durant la période de temps t [kW/jour]
peak K lt
W − Puissance contractuelle vendue de l’usine l durant la période de temps t [kW/jour] K w lt K w lt Q
Q − , − Quantité minimum et maximum de ventes d’électricité à l’usine l durant la période de temps t selon le contrat [kWh]
w lt
c Coût variable d’achat d’électricité à l’usine l durant la période de temps t [$/kWh]
peak lt
c Coût d’achat de puissance souscrite à l’usine l durant la période de temps t [$/kW]
K w lt
c − Coût variable de vente d’électricité à l’usine l durant la période de temps t [$/kWh]
K peak lt
4.2.4.1.9 Variables liées au transport et à l’inventaire
J jlmt
f Quantité de produit m acheminée du fournisseur j à l’usine l durant la période de temps t [tonne]
L mt ll
f ' Quantité de produit m acheminée de l’usine l à l’usine l’ durant la période de temps t
[tonne]
K lkmt
f Quantité de produit m acheminée de l’usine l au client k durant la période de temps t [tonne]
M lmt
s Quantité de produit m en inventaire dans l’usine l durant la période de temps t [tonne]
4.2.4.1.10 Variables liées à la production
R lprt
h Nombre d’heures d’utilisation de la recette r sur le procédé p de l’usine l durant la période de temps t [heures]
off lpt
h Nombre d’heures de fermeture partielle du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [heures]
R lprt
α Sélection de la recette r sur le procédé p dans l’usine l durant la période de temps t (binaire)
off lpt
α Sélection de la recette “offline” (fermeture) sur le procédé p dans l’usine l durant la période de temps t (binaire)
R lpt
β Transition sur le procédé p dans l’usine l entre deux période de temps t consécutives off
lpt
β Démarrage du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t
4.2.4.1.11 Variables liées aux bilans de matière
R lpmrt
x Débit entrant du produit m pour la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [tonne]
R lprmt
y Débit sortant du produit m pour la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [tonne]
tot R lprt
y − Débit sortant total de la recette r sur le procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [tonne]
4.2.4.1.12 Variables liées aux bilans de vapeur et de combustibles
fuel lprt
u Énergie obtenue par la combustion du combustible m utilisé dans la recette r de la chaudière p dans l’usine l durant la période de temps t [GJ]
fuel
lprmt
µ Quantité de combustible m utilisé dans la recette r durant la période de temps t [tonne]
out lprt in lprt v
v , Quantité entrante et sortante de vapeur liées à la recette r du procédé p de l’usine l durant la période de temps t [GJ]
K L lt
v − Quantité de vapeur vendue dans l’usine l durant la période de temps t [GJ]
cogen L lt
v − Quantité de vapeur produite par la chaudière de cogénération pour usage interne à
l’usine l durant la période de temps t [GJ]
turb lt
v Quantité de vapeur envoyée à la turbine de condensation de l’usine l durant la période
de temps t [GJ]
4.2.4.1.13 Variables liées aux bilans d’électricité
turb nlt
v
~ Intervalle de disjonction n de turb lt
v
turb nlt
θ Sélection d’un intervalle de disjonction n pour la turbine de l’usine l durant la période de temps t (binaire)
in lprt
w Quantité entrante d’électricité pour la recette r du procédé p dans l’usine l durant la période de temps t [kWh]
out lt
w Quantité d’électricité produite par la turbine de l’usine l durant la période de temps t [kWh]
auto L lt
w − Quantité d’électricité envoyée à l’usine l pour consommation interne durant la période de temps t [kWh]
K lt
w Quantité d’électricité produite par l’usine l vendue durant la période de temps t [kWh]
4.2.4.2 Contraintes liées à l’approvisionnement et aux ventes
Différents fournisseurs peuvent approvisionner les usines en matières premières. De façon analogue, la demande des clients peut être satisfaite à partir de différents emplacements. Certains clients et fournisseurs possèdent des ententes contractuelles avec l’entreprise. Pour ces derniers, des quantités spécifiques de produits doivent être obligatoirement achetés ou vendus lors de chaque période de temps. Pour les clients au comptant, une partie seulement de la demande peut être remplie, et ce, sans pénalité.
Les équations 2 et 3 stipulent que chaque fournisseur et client offre/demande un portefeuille de produits entre des bornes minimales et maximales. Les revenus des ventes de chacun des produits correspondent à la quantité de produit envoyé à chaque client multipliée par le prix de vente associé (Eq. 4). De même, les coûts d'approvisionnement sont égaux à la quantité de matériaux transportés à l’usine par chaque fournisseur, multiplié par leur prix de vente (Eq. 5). Certaines ventes peuvent avoir des coûts variables spécifiques qui y sont associés, tels que le taux de change, les taxes, les commissions, etc. (Eq. 6).
(2)
(3)
(4)
(5)
Cette approche de modélisation permet une représentation de l’approvisionnement et des ventes par segments. Chaque segment comprend un prix et des quantités minimales et maximales devant être remplies. Il devient alors possible de modéliser les ventes par une fonction linéaire par morceaux représentant la diminution des revenus ou l’augmentation des coûts associées à de plus grandes quantités. Par exemple, à mesure que les quantités de biomasse d’un certain type augmentent, plus loin doit-on aller pour la récolte, augmentant ainsi les coûts d’approvisionnement sur une base de poids ($/tonne). De façon analogue, le prix de vente de certains produits peut être amené à diminuer avec de plus grands volumes en raison de ventes sur un autre marché avec un prix inférieur.
4.2.4.3 Contraintes de transport et d’inventaire
Les équations 7, 8 et 9 limitent les quantités de produits pouvant être transportés entre deux lieux (fournisseurs, usines et clients). Le coût de transport correspond à la quantité de produit expédiée d’une source (fournisseur j ou usine l) à un puits (usine l ou client k) et le coût de transport spécifique associé à cette route. (Eq. 10).
{
j l m}
M t T Q fjlmtJ ≤ Jjlm−tr ∀ , , ∈ JLjlm, ∈ (7){
l l m}
M t T Q fllL'mt ≤ Lll'−mtr ∀ , ', ∈ llLL'm, ∈ (8){
l k m}
M t T Q f lkmLK tr K lkm K lkmt ≤ ∀ ∈ ∈ − , , , (9) { }∑ ∑
{ }∑ ∑
{ }∑ ∑
∈ ∈ − ∈ ∈ − ∈ ∈ − + ⋅ + ⋅ ⋅ = T t lkm M tr K lkm K lkmt T t ll m M tr L m ll L mt ll T t jlm M tr J jlm J jlmt LK lkm LL m ll JL jlm c f c f c f ost TransportC , , ,' , ' ' , , ' (10)Le bilan de matière d’un produit à une usine est égal à l’inventaire précédent (en stock) auquel est additionné/soustrait la quantité de ce produit provenant/allant vers d’autres sites, de même que la consommation/génération de ce produit au site même. (Eq. 11). Pour les produits combustibles, ce bilan de matière comprend un terme additionnel, qui consiste en la consommation indirecte de carburants pouvant être utilisés dans certains procédés.
Pour le temps t=1, cette équation doit être modifiée légèrement. Comme la variable slmtM−1 ne
peut exister pour cette période de temps, ce terme doit être remplacé par le paramètre slmstart, soit l’inventaire initial. Afin de s’assurer que le modèle d’optimisation n’épuise complètement l’inventaire à la fin de l’horizon de temps (t=T), l’équation 12 spécifie l’inventaire final minimal. Chaque site possède des contraintes de capacité de stockage pour chacun des produits (Eq. 13). Certains produits étant stockés dans un endroit commun, les équations 14 à 16 contraignent l’inventaire de certaines familles de produits, telles que les billes de bois, les copeaux de bois et les produits papetiers. Le coût d’inventaire d’un produit à une usine est égal à la quantité de produit gardée en inventaire durant le mois multiplié par le coût spécifique de stockage (Eq. 17).
(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)
Bien que certains produits et matières premières présentes dans une bioraffinerie puissent être périssables, cette formulation mathématique ne considère aucune dégradation lors de l’entreposage.
Un attribut spécial de cette formulation est relié à la modélisation des centres de distributions. Un centre de distribution est une installation où des produits peuvent être entreposés, mais ne sont pas transformés. Ceux-ci peuvent être modélisés comme des installations l pour lesquelles il n’y a pas de procédé. Pour ces installations, les sous-ensembles reliés aux procédés p et aux recettes r sont vides. Ainsi, les contraintes 18 à 57 deviennent non applicables, et seules les équations reliées à l’approvisionnement, à l’inventaire, au transport et à la demande demeurent actives. 4.2.4.4 Contraintes opérationnelles
Certains procédés sont entièrement dédiés tandis que d'autres sont capables de diversifier la production par l’utilisation de recettes différentes. Changer de recette durant une période de temps entraîne un temps et un coût de transition.
Chaque procédé possède aussi une recette dite inactive qui peut être sélectionnée lorsqu’un équipement n’est pas nécessaire lors d’une période de temps, comme par exemple dans le cas de saturation du marché. Comme pour les autres recettes, un coût variable (par heure) y est associé afin de considérer les coûts d’inactivité qui sont créés, et ce même si le procédé est arrêté. Finalement, un procédé peut être arrêté pour effectuer des travaux de maintenance.
L’équation 18 requiert qu’au moins une recette soit sélectionnée durant une période de temps. Une transition peut se produire durant une ou entre deux périodes de temps consécutives. L’équation 19 force une variable de transition à prendre la valeur 1 si deux recettes différentes sont utilisées sur le même procédé entre deux périodes. L’équation 20 assure qu’un coût de démarrage soit pris en compte si un procédé est à la fois inactif et utilisé durant une même période. Les procédés doivent toujours être utilisés ou inactifs durant une période. L’équation 21 stipule que les heures de production disponibles doivent être égales aux heures durant une période de temps donnée, moins le temps d’arrêt prévu pour la maintenance et le temps perdu lors de transitions.
(18)
(19) (20)
(21)
Un planificateur utilise généralement des heuristiques pour s’assurer que de problèmes opérationnels ne surviennent pas. Par exemple, il peut décider d’un nombre maximal de recettes à utiliser lors d’une période de temps pour minimiser le nombre de transitions (Eq. 22). Afin de