Chapitre 2 : Domaine applicatif
3.1 Eléments de base de mécanique des milieux continus
3.1.2 Description des milieux continus
Pour décrire mathématiquement les propriétés d'un MC en mouvement, deux systèmes cohabitent, l'un et l'autre présentant des avantages dans des situations particulières. Il s'agit de la description lagrangienne et de la description eulérienne. Pour introduire ces deux descriptions nous utiliserons les notations de Carey [246] et P.G. Ciarlet [247] et qui seront adoptées aussi le long de tout ce chapitre.
Considérant une particule d’un corps déformable Ω occupant le domaine spatiale ´ O÷. La particule est définie par les cordonnées de son correspondant point & dans ´
tel que & ) ¯£, £, £÷±U étant le vecteur de position de .
Sous l’action d’une force extérieure F, le corps Ω de surface Γ se déforme d’une certaine
manière et le résultat étant le corps déformé Ω' (ou la configuration déformée). Chacune de
ces particules se trouve alors à une position différente de sa position initiale.
On définit la transformation φ comme la fonction continue, injective, préservant les orientations, qui déplace une particule définie par le point & ) ¯£, £, £÷±U à sa nouvelle position &( ) ¯£(, £(, £(÷±U suite à la déformation sous l’action de la force F, tel
que :
φ&, x ) & Â !&, x ) &( ) ¯φ, φ, φ÷±U 3.1 £( ) φ£, £, £÷, x 3.2 £( ) φ£, £, £÷, x 3.3 £(÷ ) φ÷£, £, £÷, x 3.4
Chapitre 3 : Modèle des masses-tenseurs (MMT) viscoélastique non-linéaire
88 Où : !&, x ) ¯, , ÷±U est le vecteur de déplacement de la particule à l’instantx :
! ) &( & 3.5
3.1.2.1 Description lagrangienne
La description lagrangienne identifie les particules par leurs positions dans une configuration du système prise comme référence } par rapport à un référentiel R. Elle consiste donc à observer les modifications des propriétés de chaque particule de } que l'on suit dans son mouvement. Le mouvement est décrit en définissant la position de chaque particule ainsi indexée, au cours de l’évolution, c’est-à-dire en se donnant sa trajectoire et son horaire de parcours.
Ainsi toutes les fonctions décrivant le déplacement et les autres grandeurs (vitesse, accélération, ..) dépendent des variables suivantes : la particule considérée (ou sa position initiale & à un temps de référence x ) et le temps x.
Le vecteur de position d’une particule dans le MC } à l’instant x aura toujours la
forme :
φ& , x ) & Â !& , x ) &(& , x 3.6
On dit que la fonction φ représente la description lagrangienne du mouvement du corps déformable } par rapport au référentiel R. le champ lagrangien donne la valeur de la grandeur considérée portée par la particule qui à l’instant x occupait le point & . Cette description est souvent utilisée dans les modèles élastiques. L'inconvénient de cette
Chapitre 3 : Modèle des masses-tenseurs (MMT) viscoélastique non-linéaire
89 description est que le référentiel se déplace avec le MC, et donc c’est difficile de connaître l'état du MC en un point donné de l'espace physique et temporel, et donc on ne peut pas connaitre l’historique d’une particule dans le MC.
3.1.2.2 Description eulérienne
La description eulérienne adopte le point de vue incrémental. Elle consiste à se placer en un point fixe du milieu d’étude et à observer les modifications des propriétés de MC qui défile en ce point en se basant sur la configuration de MC à l’instant d’observation. Ainsi, les fonctions décrivant les grandeurs dépendent des variables suivantes : le point géométrique considéré (&) et le temps x.
Le vecteur de position d’une particule dans le MC à l’instant x aura toujours la forme : & ) φ*&(, x ) &( !*&(, x 3.7
Où φ* ) φ+ et !*&(, x est le vecteur de déplacement eulérien, calculé sur le point &( à l’instant x. On dit que !* est le déplacement subit par une particule à l’instant x, qui était
localisée sur le point & avant cette instant. On s’intéresse beaucoup plus au vecteur de
déplacement qu’au vecteur de position.
Le champ eulérien donne la valeur de la grandeur considérée portée par la particule qui au temps x occupe le point &(. Une même propriété, mesurée en un même point & à deux temps
différents correspond à deux particules distinctes.
C'est la description que l'on utilise le plus souvent dans les problèmes de dynamique des fluides, car elle permet de calculer facilement la variation spatiale d'une propriété du fluide au temps x.
En effet, la description eulérienne définit le mouvement du systèmeà chaque instant par le champ des vitesses des particules, puis un champ des déplacements est calculé par intégration sur le champ des vitesses.
Remarque :
Il est à noter que le vecteur de déplacement pour une particule donnée , de l’instant de
départ x à l’instant donné x est indépendant du référentiel choisi :
!& , x ) !*&( , x 3.8
Dans ce qui suit, l’utilisation de la notation ' sur les grandeurs signifie qu’on est dans un référentiel eulérien.
Chapitre 3 : Modèle des masses-tenseurs (MMT) viscoélastique non-linéaire
90
3.1.2.3 Formule de la vitesse et de l’accélération dans les deux
référentiels
A. Dans la description lagrangienne
En connaissant la position à chaque instant d’une particule, il est possible de définir alors sa vitesse et son accélération vis-à-vis du référentiel R.
La vitesse de la particule & notée &0, x est la dérivée totale appelée "dérivée
particulaire" de !& , x par rapport au temps. :
&
, x )
> φ&,, >)
> &(&,, >)
> !&,, >)
!&,, 3.9 Où >> représente la dérivation complète (particulaire) par rapport au temps et représente la dérivation partielle par rapport au temps. Ici >
>) car & est indépendante
du temps (constante).
De la même manière, on obtient la formule de l’accélération d’une particule & notée ü&0, x :
ü&
, x )
>Ø !&,,>Ø
)
Ø !&,,Ø 3.10
B. Dans la description eulérienne
Dans la description eulérienne, on ne se préoccupe pas de savoir ce qu'il advient de chaque particule mais on étudie ce qui se passe à chaque instant en chaque point de l'espace géométrique. L’expression de vitesse notée (&(, x sera :
(&(, x )
> φ*&(, >)
> !*&(, > 3.11Dans ce cas : > !*&(,
>
ý
!*&(, car les cordonnées de &( dépendent du temps (le calculde la dérivée particulaire dans représentation eulérienne nécessite de prendre en compte la variation du domaine délimité par les cordonnées de &( qui sont fonction du temps).
Après une série des calculs, l’expression finale de la vitesse est :
Chapitre 3 : Modèle des masses-tenseurs (MMT) viscoélastique non-linéaire 91 Où : -' ) þ õ(. õ(Ø õ(/
représente l’opérateur gradient dans la représentation eulérienne.
La formule de l’accélération sera donc :