Description des représentations irréductibles de G K

Soit k un corps fini de caractéristique p > 0, on note q le cardinal de k. Soit K un corps complet pour une valuation discrète, dont le corps résiduel est k. On note π une uniformisante de K. Soit Ksep une clôture séparable de K, et GK = Gal(K^sep/K) le groupe de Galois absolu de K. Si r ≥ 1 est un entier, on note en général F_pr le corps à pr

éléments contenu dans le corps résiduel de Ksep.

Si V est une représentation irréductible de G_K, de dimension d, à coefficients dans F_pr, le sous-groupe d’inertie sauvage étant un pro-p-groupe, il agit trivialement sur V . Ainsi, V est une représentation irréductible de GK/Ip = RK (la notation RK n’est pas standard,

mais il n’existe à vrai dire pas de notation standard pour ce groupe). Le groupe R_K est le produit semi-direct du groupe d’inertie modérée I_t, et du groupe de Galois absolu de k, Gk. Plus précisément, Gk est un groupe procyclique, isomorphe au complété profini de Z noté ˆZ. Le groupe G_k est engendré par le morphisme de Frobenius Frobq, qui n’est autre que l’élévation à la puissance q. Le groupe I_t, lui, est le groupe de Galois Gal(Kmr/K^nr) de l’extension maximale modérément ramifiée de K sur l’extension maximale non ramifiée de K. Il est isomorphe à Q

ℓ6=pZ_ℓ, le produit portant sur tous les nombres premiers ℓ 6= p. On fixe (̟n)n∈N une suite de racines pn − 1-èmes de l’uniformisante. Le corps K^mr n’est rien d’autre que le corps engendré sur Knr par tous les ̟n. Si g ∈ It, alors g̟n

̟n ≡ ω_n(g) (mod ̟_n), avec ω_n(g)^pn−1 = 1, donc ω_n(g) ∈ F^×_pn ⊂ ¯k^×. Cela montre que si σ ∈ R_K est envoyé sur Frob_qpar la projection canonique, et g ∈ I_t, alors σgσ−1 = g^q. Soit V une représentation irréductible de HK à coefficients dans Fpr, la restriction de G à It est semi-simple car It est une limite projective de groupes d’ordre premier à p. Nous allons donc commencer par essayer de comprendre les F_pr-représentations irréductibles de I_t. Soit donc W une telle représentation, que l’on suppose de dimension δ. L’anneau des endomorphismes I_t-équivariants E = End_It(W ) est une algèbre à division d’après le lemme de Schur ; c’est aussi un ensemble fini, et donc un corps d’après le théorème de Wedder-burn. La représentation W hérite d’une structure naturelle de représentation E-linéaire. La dimension de cette E-représentation est 1 car l’action de E sur W est transitive (la commutativité de I_t implique que ses éléments agissent de manière I_t-équivariante). Ainsi, [E : F_pr] = dim_FprW = δ et E est isomorphe à F_prδ en tant que F_pr espace vectoriel. On fixe un isomorphisme réalisant cette identification (un tel isomorphisme n’est pas canonique), ce qui fait que W s’identifie à un caractère χ : It → F^×_prδ. Remarquons au passage que si on choisit un autre isomorphisme F_pr-linéaire E → F_prδ, alors on obtient un autre caractère ˜χ, qui est obtenu en composant χ avec un automorphisme F_pr-linéaire de F_prδ, ce qui veut dire que ˜χ = χprm

pour un 0 ≤ m ≤ δ − 1. Par ailleurs, comme I_t est un groupe procyclique, les caractères It → F^×_prδ sont exactement les puissances du caractère fondamental ω_rδ : g 7→ g̟rδ

̟rδ (mod ̟_rδ) : il existe 0 ≤ s ≤ p^rδ−2 tel que χ = ωs rδ. Modulo la relation d’équivalence s ∼ s′ lorsqu’il existe 0 ≤ m ≤ δ − 1 tel que s ≡ prms^′ (mod prδ− 1), l’entier s défini ainsi ne dépend que de la représentation W . Les chiffres de l’écriture de s en base pr sont appelés poids de l’inertie modérée de la représentation W .

Revenons maintenant à notre représentation irréductible de HK, V , qui est de dimension d à coefficients dans F_pr. D’après l’étude précédente, la restriction à I_tde V est isomorphe à la somme directe ωs1

rδ1 ⊕ · · · ⊕ ω^st

IV.1. DESCRIPTION DES REPRÉSENTATIONS IRRÉDUCTIBLES DE GK ⁹⁵

les caractères ω_rδi sont vus comme des F_pr-représentations irréductibles de dimensions respectives δ_i, c’est à dire que V = V₁⊕ · · · ⊕ Vt, avec V_i sous-espace de dimension δ_i stable par l’action de It, et sur lequel le choix d’un isomorphisme vers F_qrδi identifie l’action de It à l’action par le caractère ωsi

rδi : l’entier si est donc bien défini modulo la relation du paragraphe précédent. Soit σ ∈ H_K tel que la réduction modulo I_t de σ soit Frob_q et agissant trivialement sur les racines de l’uniformisante. Remarquons que l’action de σ sur V vue comme F_prδ-espace vectoriel n’est en général pas linéaire. Le sous-espace σV₁ est stable sous l’action de It. En effet, si g ∈ It, gσ−1V1 = σ⁻¹g^qV1 = σ⁻¹V1. Soit s un entier, maximal pour la propriété « la somme V1 + · · · + σ^s−1V1 est directe ». On a alors σsV₁ ∩ (V₁⊕ σV₁ ⊕ · · · ⊕ σs−1V₁) 6= {0}, et comme la représentation σ^sV₁ est une représentation irréductible de I_t, σsV₁ ⊂ V1⊕ σV1⊕ · · · ⊕ σ^s−1V₁. Donc V₁⊕ · · · ⊕ σ^s−1V₁ est stable sous l’action de σ et celle de I_t, c’est donc une sous-représentation non nulle de V , et

V = V1⊕ · · · ⊕ σ^s−1V1.

En particulier, s = t. Fixons x1 ∈ V1, on a σsx1 = λ1x1+· · ·+λs−1σ^s−1x1, avec les λi ∈ E. Comme σsV₁ est isomorphe en tant que F_pr-représentation à V₁, on a λ_i= 0 dès que p^r− 1 ne divise pas qi− 1. Si on note τ l’ordre de q modulo p^r− 1, cela se traduit par λi = 0 si τ ne divise pas i. On note t = τ ℓ, et P = Xℓ−Pℓ−1

i=0λ_iXi ∈ E[X, στ]. Ce polynôme tordu (au sens du chapitre I de cette thèse) est irréductible. En effet, si P = P₁P₂ avec P₁ non constant, alors P1(σ^τ)P2(σ^τ)(x1) = 0, donc P2(σ^τ)(x1) est annulé par P1(σ^τ). Mais P₂(σ^τ)(x₁) engendre une représentation V₁^′ de I_t isomorphe à V₁, donc la représentation V₁^′⊕ σV₁^′⊕ · · · ⊕ σ^{τ deg P}1−1V₁^′ est une sous-représentation de V , qui est stricte puisque P₁ est non constant. On définit certaines représentations de la manière suivante :

Définition 1.0.3. — Soit τ l’ordre de q modulo pr. Soient δ ∈ N∗, t ∈ N∗ multiple de τ , s₁ un entier primitif pour rδ. Soit E = End_It(ω^s1

rδ), et soit P ∈ E[X, σ^τ]. On note V_δ,t,s1,P la représentation décrite de la manière suivante : V₁ = ω^s1

rδ, V = V₁⊕ σV1⊕ · · · ⊕ σ^tV₁, et il existe x₁∈ V1 tel que σt(V₁) = P (στ)(x₁).

On a alors :

Proposition 1.0.4. — Toute représentation irréductible de G_K à coefficients dans F_pr est isomorphe à une représentation de la forme V_δ,t,s,P. De plus, si P ∈ F_pr[X, στ] et i ∈ N, on note P(qi) le polynôme où on a élevé les coefficients de P à la puissance qi. Alors les isomorphismes entre représentations de la forme V_δ,t,s,P sont donnés par V_δ,t,s1,P ≃ V_δ,t,qis1, ˜P(qi) avec 0 ≤ i ≤ τ − 1 et ˜P similaire à P .

Démonstration. — On a déjà vu que les représentations irréductibles se décrivent de cette manière. Il nous reste à donner les isomorphismes entre deux telles représentations. Pour que V′

1 soit une sous-It-représentation de V isomorphe à V1, il faut et il suffit que V1

contienne un vecteur de la forme x′

1 = Q(σ^τ)(x1) avec Q ∈ E[X, σ^τ]. Fixons un tel Q, et notons ˜P Q le plus petit multiple commun à droite de P et Q. Comme P est irréductible,

˜

P est similaire à P , et ˜P (σ^τ)(x^′₁) = 0. Un autre paramétrage de la représentation est donc donné par (δ, t, s₁, ˜P ).

Par ailleurs, on peut aussi décrire notre représentation en partant de σx1 au lieu de x1, ce qui conduit au paramétrage (δ, t, qs1, P^(q)). D’une manière générale, si V₁⁰ est une sous-It -représentation irréductible de V , et si x ∈ V0

1, alors il existe un entier i tel que σix engendre une représentation de I_tisomorphe à V₁. Cela montre que les isomorphismes possibles sont ceux annoncés.

IV.2. Calcul de la semi-simplifiée de la représentation associée à un φ-module