Calcul de la semi-simplifiée de la représentation associée à un φ-module

P est similaire à P , et ˜P (σ^τ)(x^′₁) = 0. Un autre paramétrage de la représentation est donc donné par (δ, t, s₁, ˜P ).

Par ailleurs, on peut aussi décrire notre représentation en partant de σx1 au lieu de x1, ce qui conduit au paramétrage (δ, t, qs1, P^(q)). D’une manière générale, si V₁⁰ est une sous-It -représentation irréductible de V , et si x ∈ V0

1, alors il existe un entier i tel que σix engendre une représentation de I_tisomorphe à V₁. Cela montre que les isomorphismes possibles sont ceux annoncés.

IV.2. Calcul de la semi-simplifiée de la représentation associée à un φ-module Nous allons maintenant expliquer comment décrire la semi-simplifiée de la représentation associée à un φ-module sur K = Fq((u)), dans deux cas particuliers : celui où φ(x) = x^pr, et Fpr ⊂ Fq (qui correspond aux Fpr-représentations de G_K), et celui où σ = id et φ(u) = uq

(qui correspond aux F_p-représentations de G_K).

2.1. Le cas des F_pr-représentations, avec F_pr ⊂ K. — Rappelons que parmi ces représentations, celles qui sont irréductibles sont décrites par :

– des entiers δ, t tels que δt = dim V , δ étant la dimension d’une sous-représentation irréductible V₁ de la restriction de V à l’inertie modérée ;

– une identification E = End(V₁) ≃ F_prδ; – d’un entier s tel que V1≃ ωs

rδ;

– un polynôme P = Xt− λt−1X^t−1− · · · − λ0 ∈ E[X, σ] tels que pour un x1 ∈ V1, σ^tx₁ =P_t−1

i=0λ_iσⁱx₁.

On note V_δ,s,P la représentation correspondante.

On se donne maintenant un φ-module simple sur K, que l’on note D. Il s’agit de déterminer la représentation associée à D. Si D est de pente s

prδ−1, on connaît déjà la restriction à l’inertie modérée de la représentation associée. De plus, on sait qu’il existe un polynôme P à coefficients dans F_q, de la formeP_N

i=0µ_iX^pri, tel que pour toute racine α de P , on sache construire (au moins théoriquement) un élément x_α de D ⊗_KK(α) tel que φ^δ(x_α) = u^sx_α. On notera D_α le φ-module engendré par x_α : c’est un φ-module simple sur Knr. Comme précédemment, notons σ un élément de GK relevant le Frobenius sur Fq, et n’agissant pas sur u1/n lorsque p et n sont premiers entre eux. On peut faire agir σ sur les xα précédents,

IV.2. CALCUL DE LA SEMI-SIMPLIFIÉE DE LA REPRÉSENTATION ASSOCIÉE À UN φ-MODULE97

et on a σx_α= x_αq par construction. Par conséquent, on a aussi σD_α= D_αq. Soit t minimal tel que σtD_α ⊂ Dα+ · · · + σt−1D_α. En tant que φ-module sur Knr, D est isomorphe à Dα⊕ · · · ⊕ σt−1Dα (car Dα est simple), et σtxα s’écrit comme une combinaison linéaire à coefficients dans K^nr d’éléments de Dα⊕ · · · ⊕ σt−1Dα. Il existe donc des éléments λij de K^nr tels que : x_αqt = X 0≤i≤δ−1 X 0≤j≤t−1 λ_ijφⁱ(x_αqj).

De la relation φδ(x_αqj) = usx_αqj pour tout 0 ≤ j ≤ t, on tire λ_ij = 0 si i 6= 0, et λ^p_0j^rδ = λ_0j. Par conséquent, x_αqs s’écrit comme combinaison linéaire à coefficients dans F_prδ des x_αqj

pour 0 ≤ j ≤ δ − 1. On pose λ_j = λ_0j. Cette relation sur les x_αqj impose une relation analogue sur les αqj

, car α apparaît comme coefficient constant de l’une des coordonnées de x_α dans une base de D ⊗_KK^nr (la même pour tous les α). On a donc :

α^qt = λ0α + · · · + λt−1α^qt−1.

Le φ-module D est déterminé par la donnée de sa pente ainsi que des éléments (λ₀, . . . , λ_t−1). On pose P = Xt−Pt−1

i=0λ_iXi ∈ F_prδ[X, φ].

Proposition 2.1.1. — La représentation V associée à D est V_δ,s,P.

Démonstration. — Fixons α comme précédemment. Rappelons que xα est construit à par-tir d’un ξ_α ∈ D ⊗_KK^mr vérifiant φ(ξ_α) = ξ_α, et que ξ_α se retrouve à partir de x_α via la formule : ξα = u⁻ s prδ −1xα+ · · · + u⁻ spr(δ⁻1) prδ−1 φ^δ−1(xα).

Cette écriture plus le fait que φ(ξα) = ξ_α montre que ξα ∈ (Dα⊗_K(α)K^sep)φ=1, qui est une représentation de Itisomorphe à la représentation associée à Dα, notée Vα. Munissons V_α d’une structure de F_prδ-espace vectoriel par la formule suivante : si µ ∈ F_prδ, µ · ξ_α = P_δ−1

i=0µ^priu⁻

spri

prδ −1φⁱ(x_α), puis par µgξ_α = g(µξ_α) si g ∈ I_t. Comme V_α est irréductible, cela munit bien tout V_α d’une structure de F_prδ. Cette action est coïncide sur F_pr avec la structure naturelle de Fpr-espace vectoriel de Vα, et si γ ∈ It, on a γ · ξα = ωh

rδ(γ) · ξ_α. Cette structure identifie donc chaque élément de F_prδ à un élément de EndIt(Vα).

Par ailleurs, σ agit sur V , et cette action vérifie σξ_α = ξ_αq. Un calcul immédiat utilisant l’expression de ξ_α dans D_α et la relation entre les x_αqj, montre que

σ^tξ_α =

t−1

X

j=0

λ_jξ_αqj,

Remarque 2.1.2. — Pour déterminer complètement la semi-simplifiée de la représenta-tion associée à un φ-module algorithmiquement, il serait intéressant de pouvoir déterminer ces λi. Cela est assez facile si on s’autorise à calculer dans Fq(α). En effet, il suffit alors de calculer une relation de dépendance linéaire sur F_prδ minimale entre les αqj

. Malheureuse-ment, une telle approche n’est pas efficace (F_q(α) est a priori de degré exponentiel en δ sur F_q).

2.2. Le cas des F_p-représentations. — Ce point de vue est en quelque sorte l’opposé du précédent : cette fois, c’est le corps des coefficients qui est grand. On suppose que K = F_p((u)), et on s’intéresse aux F_pr-représentations de G_K avec F_q ⊂ F_pr. On suppose dans cette partie que σ = id et que b = q. On a alors une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des F_pr-représentations de G_Ket celle des φ-modules étales sur K munis d’une action de Fpr commutant à celle de φ. La donnée d’un tel φ-module est exactement la même que celle d’un φ-module étale sur Fpr((u)), l’action de φ étant celle donnée préalablement. Nous savons que les φ-modules simples sur F_p((u)) sont de la forme D(d, s, λ) avec λ ∈ F^×_p. Nous allons calculer la représentation associée à cet objet.

Lemme 2.2.1. — Soient d ∈ N∗, s ∈ Z, et λ ∈ F^×_p. On note q = pa. Alors la représenta-tion de GK associée à D(d, s, λd) est :

 ind GK GF qd((u))ω_ad^s  ⊗ χλ, où χ_λ est le caractère non ramifié envoyant le Frobenius sur λ.

Démonstration. — Rappelons que le foncteur réalisant l’équivalence de catégories pré-cédente est D 7→ V (D) = Hom_K,φ(D, K^sep), V (D) étant muni de l’action de F_p hé-ritée de celle sur D par la formule λ · f(x) = f(λx). Remarquons tout d’abord que D(d, s, λ^d) ≃ D(d, s, 1) ⊗ D_λ, où D_λ est le φ-module défini par D_λ = Ke avec φ(e) = λe. Comme la représentation associée à D_λ est χ_λ, et que l’équivalence de catégories précé-dente est une ⊗-équivalence de catégories, il nous suffit de montrer le résultat pour λ = 1. On suppose dorénavant que D = D(d, s, 1). Si on note (e₁, . . . , e_d) la base canonique de D, alors un élément f ∈ V est entièrement déterminé par l’application ξf : Fp→ K^sep définie par ξ_f(α) = f (αe0). En effet, on a alors pour 1 ≤ i ≤ d − 1, f (αei) = φⁱ(f (αe1)) = ξ_f(α)^qi. De plus, l’application f 7→ ξ_f est un isomorphisme de représentations de V sur l’ensemble W = { ξ : F_p → K^sep telles que ξ(α)qd

= u^sξ(α) pour tout α ∈ F_p}(l’action de GK

provenant de son action sur Ksep). Soit F un supplémentaire de F_qd dans F_p, et soit π la projection de Fp sur F_qd correspondante. On note ξ l’application définie sur Fp par ξ(α) = π(α)u

s