Description des géométries et méthodologie numérique

II.1.1. Description des géométries

Nous considérons trois géométries : tube droit, serpentin-2D et géométrie chaotique "serpentin-3D". La figure II.1 présente l'élément de base (une période) de toutes les géométries. Pour constituer un canal complet, chaque période se répète dans l'espace. Pour toutes les géométries, la section d’entrée du canal est carrée avec un rapport d'aspect égal à 1 (20 mm x 20 mm). Le diamètre hydraulique Dh est égal à 20 mm et la longueur dépliée d'une période est égale à 180 mm.

La figure (II.1.a) représente la géométrie classique à savoir le tube droit. La deuxième géométrie est le serpentin, appelé géométrie (S-2D) représentée sur la figure (II.1.b). Elle est formée d’une succession de coudes droits de 90° dans le même plan. La géométrie chaotique (Serpentin-3D) a été initialement introduite par Robin et al. (Robin, et al., 2000) (figure II.1.c). Cette géométrie génère des écoulements spatialement chaotiques (Beebe, et al., 2001). Elle est formée de deux perturbations géométriques, chaque perturbation étant formée d’une succession de trois coudes droits de 90° dans un plan différent. Les dimensions de la géométrie S-3D sont décrites en détail sur la figure (II.1.c).

II.1.2. Méthodologie numérique

Les équations de conservation de masse et de Navier-Stokes sont résolues numériquement en utilisant le code CFD commercial ANSYS Fluent. Dans cette étude, le fluide

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est considéré incompressible et l’écoulement est stationnaire et laminaire. La fonction VOF sous ANSYS est utilisée pour caractériser le mélange des deux fluides.

Figure II.1. Les géométries considérées: a) Tube droit (T-D), b) Serpentine-2D, c) Géométrie

chaotique (serpentine-3D).

Le schéma SIMPLE est adopté pour la discrétisation de l’équation de couplage pression-vitesse. Les équations de quantité de mouvement, l’énergie et la fraction volumique sont discrétisées à l’aide d’un schéma upwind du second ordre, alors que le schéma PRESTO a été appliqué pour la discrétisation de la pression. La convergence est atteinte lorsque les résidus sont inférieurs à 10^-4 pour l’équation de conservation et 10^-6 pour les fractions volumiques et l’équation de l’énergie. Les conditions aux limites imposées sont détaillées dans le tableau II.1.

Table II.1. Les conditions aux limites imposées.

Section Les conditions aux limites

1ère cas (mélange de deux fluides)

Entrée ^{Vitesse axiale uniforme avec une fraction volumique égale à 0 pour le} fluide1 et égale à 1 pour le fluide2.

Sortie Outflow : condition de conservation de débit. Parois Non glissement (No-slip)

2ème cas (mélange thermique)

Entrée ^{Vitesse axiale uniforme avec une température imposée égale à 300 K} pour le fluide1 et égale à 320 K pour le fluide2.

Sortie Outflow : condition de conservation de débit. Parois Non glissement (No-slip) avec parois adiabatiques.

3ème cas (échange parietal)

Entrée Vitesse axiale uniforme avec une température imposée égale à 300 K. Sortie Outflow : La condition de conservation de débit.

Parois ^{Non glissement (No-slip) avec une condition de densité de flux pariétale} imposée.

43 II.1.3. Sensibilité du code au maillage

L’étude de la sensibilité au maillage est indispensable afin d’assurer la qualité des résultats et d’optimiser le maillage dans le but d’économiser le temps de calcul et la mémoire nécessaire. Pour ce fait, nous avons simulé un cas de mélange de deux fluides miscibles dans la géométrie serpentin S–3D. Une structure des mailles cubiques (hexaèdres) sont utilisées pour la géométrie complète (figure II.2). Ce maillage se fait à l’aide d’un module spécifique sous ANSYS. Dans cette attente plusieurs réseaux de mailles ont été réalisés : (30×30×30), (35×35×35), (40×40×40) et (45×45×45) nœuds dans les directions x, y et z.

La figure II.3 présente les profils de vitesse axiale et la fraction volumique du Fluide2 en fonction des coordonnées transversales (x et y) à la sortie de la géométrie S–3D pour les différents maillages. Nous remarquons que la vitesse axiale est identique quel que soit le réseau de maille, donc, la vitesse axiale n’est pas affectée par le nombre des nœuds choisis. Tandis que la fraction volumique est sensible au nombre des nœuds dans le volume et par la suite nous observons que les deux réseaux de mailles (40×40×40) et (45×45×45) sont très proches et l’écart entre ces deux réseaux ne dépasse pas 3%. A l’issue de cette étude comparative nous avons retenu le maillage (40×40×40), et a été jugé pleinement satisfaisante.

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Figure II.3. Sensibilité au maillage à la sortie de la géométrie S–3D pour Re = 100. II.1.4. Grandeurs physiques utilisées pour la caractérisation du mélange

Les performances de mélange dans les géométries considérées sont évaluées en utilisant le degré de mélange tel qu’il est défini dans les travaux (Lasbet, et al., 2007; Liu, et al., 2004; Cook, et al., 2013) et dont l’expression s’écrit comme suit :

 





 

N : le nombre de nœuds dans une section droite.

Quant au mélange des deux fluides, Xi est la fraction volumique de Fluide2 au nœud i,

X est la fraction volumique moyenne dans une section droite et est égale à 0,5. Pour le mélange thermique, Xi est la température statique au nœud i, X est la température moyenne dans une section droite et est égale à 310 K, et  est la déviation standard à la section d’entrée de la ₀ géométrie définie comme suite :

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 



Comme défini, le degré de mélange varie de 0 à 1. Ainsi, pour un mélange parfait, D = 1. Concernant l’échange pariétal, nous suivons l'évolution du nombre de Nusselt local Nu le long de la coordonnée curviligne :

  _h m w D T T Nu .   2.4

où  est le flux de chaleur imposé uniformément à la paroi ( = 5000 W/m²), Tw est la température de la paroi, λ est la conductivité thermique du fluide (ici l'eau, λ = 0,6 W/m.K) et

Tm est la température de mélange du fluide à la section transversale du canal.

Les pertes de charge dans les géométries considérées sont calculées en utilisant le nombre de Poiseuille, Po, tel qu’il est défini par la formule suivante :

. Re f

Po C

^2.5

où Cf est le coefficient de frottement, et il est défini par :

2 . 1 2 h f m P D C L U

