Demi-transformées guidées par des points d’intérêt

Afin de répondre aux challenges listés précédemment, il est nécessaire de développer une méthode permettant de s’affranchir des données images denses, ainsi que d’avoir une représentation compacte des champs de déformations.

Afin d’obtenir une représentation minimale et dépasser les limites de l’utilisation d’une référence, nous utilisons un schéma de recalage sans référence par graphe complet. Afin d’obtenir une méthode rapide, nous utilisons exclusivement pour information d’entrée la liste des appariements entre les points d’intérêt de toutes les images (d’où la dénomination par graphe complet).

Cette information est utilisée indirectement en la projetant dans un espace commun qui ne sert que d’intermédiaire mathématique, cette technique nous permet d’avoir une représentation compacte et minimale des champs de déformations, qui sont représentés en utilisant des interpolateurs par splines ou par RBF.

4.5.2 Données d’entrée

Nous considérons un ensemble I de n images 3D défini dans un espace Ω de R³. Chaque image i est associée à un ensemble de points d’intérêt Pi= {pi

P =SPicomme l’ensemble de tous les points d’intérêt. L’algorithme utilise des coordonnées réelles (en millimètres) et est invariant aux conditions d’échantillonnage.

Comme décrit précédemment, nous calculons l’ensemble M = {(pi

a, p_b^j)} des points d’intérêt appairés, pour toutes les paires d’images (i, j).

4.5.3 Choix des demi-transformées

L’ensemble T = {τⁱ} est l’ensemble des demi-transformées entre l’espace local de chaque image et un espace commun abstrait. Il permet de transformer n’importe quel point p grâce à l’application de la demi-transformée :

τⁱ: p ∈ Ω 7→ τⁱ(p) ∈ Ω (4.1)

Nous avons le choix d’utiliser deux types d’interpolateurs pour le champ de déformation : des fonctions de base radiales (RBF) ou des B-Splines cubiques (TP-UCBS). Dans les deux cas, la fonction τⁱ peut s’écrire grâce à un ensemble B de points de contrôle sous la forme suivante :

τⁱ: p 7→ p + bⁱ(p)xⁱ (4.2)

où le j<sup>eme`</sup> élément de b<sup>i</sup>(p) est l’évaluation de la jeme` fonction de base (Spline ou Radiale) au point p dans l’image i. La matrice xⁱest la matrice des coefficients représentant le déplacement des k points de contrôle d (une colonne par coordonnée), ce sont les inconnues que l’on cherche à calculer.

xⁱ=   

dx^i,1 dy^i,1 d^i,1z

.. .

dx^i,|B| dy^i,|B| dz^i,|B|

  

|B|×3

et b(p) = b1(p) . . . b^|B|(p)
_1×|B| (4.3)

Nous utilisons des grilles rectilinéaires anisotropes. Afin d’obtenir une grille la plus régulière possible, nous prenons un nombre d’intervalles permettant d’avoir une distance entre points de contrôle la plus constante possible. Dans les faits, La grille a généralement les dimensions n × n × 2n pour des patients imagés en corps entiers (images plus grandes selon l’axe Z).

Fonctions de base radiales

Dans le cadre des Fonctions de Bases Radiales (RBF)ZAGORCHEVet GOSHTASBY[2006], décrites dans la partie2.4.3, les éléments bi(p) du vecteur b(p) sont définis par :

bⁱ(p) = φ (kp − pⁱ_ck) (4.4)

où pⁱ_cest la position du i^ieme` point de contrôle.

Dans notre méthode, nous utilisons des fonctions de bases gaussiennes :

φ (r) = e^{−(σ r)}

2

(4.5) où σ est le paramètre de variance de la gaussienne qui est à définir.

UCBS RBF avec grille RBF sans grille

FIGURE 4.3 – Différentes structures des champs de déformation. Nous pouvons observer la grille anisotrope possédant plus d’intervalles dans l’axe Z. Les points d’intérêt sont en bleu. Les points de contrôle en rouge et orange. Les points orange représentent les points nécessaires à l’utilisation d’un domaine de définition naturel. Dans le cas des RBF sans grilles, les points violets représentent à la fois les points de contrôle et d’intérêt, ceux-ci étant confondus.

Les fonctions de base radiales ne sont pas nécessairement placées sur une grille (approche non-séparable), comme sur la figure 4.3 centrale. Lors des premières expérimentations que nous avons effectuées, chaque point d’intérêt portait une RBF, comme sur la figure4.3de droite. Cette disposition libre permet d’adapter la précision du champ de déformation vis-à-vis la quantité locale de points d’intérêt. Cependant, l’utilisation du critère de régularisation inter-images sur les points de contrôle (voir partie 4.8.5) nous a fait privilégier la solution par grille.

B-Splines

Les B-Splines cubiques [EILERS et MARX,1996], décrites dans la partie2.4.3, sont définies par le produit tensoriel de B-splines afin de les utiliser en 3D :

bⁱ(p) = Bⁿ_i(px)Bⁿ_j(py)Bⁿ_k(pz) (4.6)

Bⁿ_i(p) est défini, en coordonnées normalisées, par :

Bj(t) :=                b₃(t) =¹₆t³ si t∈ [t_i,t_i+1[ b₂(t) =¹₆ −3t3+ 3t²+ 3t + 1
si t∈ [t_i+1,ti+2[ b₁(t) =¹₆ 3t³− 9t2+ 4
si t∈ [t_i+2,ti+3[ b₀(t) =¹₆ −t3+ 3t2− 3t + 1
si t∈ [t_i+3,t_i+4[ 0 sinon (4.7)

Nous utilisons le domaine de définition naturel des splines. Il est donc nécessaire de définir 3 points de contrôle en plus du nombre d’intervalles et cela pour chaque dimension (Voir figure4.3gauche).

4.5.4 Approche pyramidale

L’utilisation d’une approche pyramidale est classique dans le cadre de la mise en correspondance déformable d’images. Dans notre méthode, elle est motivée par l’utilisation de la pondération EM et par certaines particularités (approximation des espaces d’arrivé par les espaces de départ, difféomorphisme).

L’utilisation de la pondération EM nécessite la conservation d’une proximité avec la solution car le critère de sélection de l’EM est basé sur la distance, il est nécessaire que les vrais positifs apportent une erreur proche de zéro, afin de les discriminer des faux positifs ayant une erreur de distance supérieure. Afin de pouvoir discriminer les vrais des faux positifs, il est nécessaire que l’intervalle entre les points de contrôle, qui peut être relié à la fréquence spatiale maximale que les champs de déformation peuvent estimer, soit cohérent avec les erreurs des vrais positifs.

Une contrainte inter-images sur les points de contrôle utilise l’approximation entre l’espace d’arrivée et de départ des déformations. Afin que cette approximation reste valide, il est nécessaire que le rapport entre la déformation d’un point de contrôle et l’intervalle entre deux points de contrôle reste petit.CHOI et LEE[2000] montrent que conserver ce faible rapport permet d’approcher un champ de déformation difféomorphe. Cette hypothèse de petites déformations se traduit d’abord par l’application d’un recalage rigide avant d’utiliser l’approche déformable.

Application d’un recalage rigide Il est nécessaire d’effectuer une mise en correspondance rigide avant d’appliquer notre méthode déformable. Celle-ci est rendu nécessaire par l’hypothèse de proximité à la solution et l’incohérence des données brutes. Pour satisfaire cette hypothèse, nous utilisons l’approche

FGR développée dans le chapitre 3 qui nous permet d’estimer un premier ensemble de champs de déformations rigides T_(r)= {τ_(r)ⁱ }. Ces champs de déformations sont appliqués aux points avant notre méthode déformable, ce qui permet d’avoir un ensemble cohérent de points, avec une erreur faible.

Compositions des champs De la même manière que pour l’approche rigide, l’approche pyramidale utilisée est une approche par composition. De cette manière, les champs des différents niveaux de la pyramide sont composés entre eux et avec le recalage rigide afin d’avoir le champ de déformation total :

τⁱ= τ_(n)ⁱ ◦ . . . ◦ τ₍₁₎ⁱ ◦ τ₍₀₎ⁱ ◦ τ_(r)ⁱ (4.8)

Schéma de raffinement À chaque niveau de la pyramide, nous divisons par deux la distance entre les points de contrôle. Ce qui est équivalent à doubler la fréquence spatiale maximale que le champs de déformation peut capturer.

Dans le cadre des fonctions de bases radiales, ce schéma consiste à commencer par un schéma possédant 2dpoints de contrôle, d étant le nombre de dimensions du problème et de doubler le nombre de points de contrôle dans chaque direction à chaque nouveau niveau de la pyramide. De manière générale, le nombre de points de contrôle est de (2n)^dau niveau n.

Dans le cadre des UCBS, nous utilisons le domaine naturel de définition et non le domaine étendu. L’utilisation du domaine naturel a pour conséquence d’avoir un nombre de points de contrôle égal aux nombres d’intervalles plus 3, voir figure4.4. Le nombre de points de contrôle est défini pour le niveau n par : (2n + 3)d.

Rigide _{Niveau 0} Niveau 1 FIGURE4.4 – Exemple d’une pyramide de points de contrôle (rouges). A gauche, le recalage rigide, qui peut être vu comme un champ contrôlé par un seul point. Ensuite les niveau 0 et 1, où les points de contrôle UCBS nécessaires à l’utilisation d’un domaine de définition naturel sont représentés en orange.

4.5.5 Attache aux données

Le critère utilisé pour optimiser les champs de déformation est la distance intra-paire, transformée vers l’espace commun (voir figure4.11) :

d(pⁱ_a, p_b^j) = kτⁱ(pⁱ_a) − τ^j(p_b^j)k (4.9) Cette distance est la seule mesure effectuée dans l’espace commun abstrait.

p^a_i p^b_j d(pa i, pb j) τ^a(p^a_i) τ^b(p^b_j) image a image b espace commun

FIGURE4.5 – Schéma illustrant l’erreur de distance d(pⁱ_a, p_b^j) entre deux points d’intérêt transformés dans l’espace commun τⁱ(pⁱ_a) et τ^j(p_b^j).