Dans une cavité sphéroïdale

Ω Précession Rotation 2 Ω 1 Ω θ

Figure 1.16: Schéma de principe d'un sphéroïde en précession. Le sphéroïde tourne autour d'un axe à la vitesse angulaire Ω1. Cet axe tourne lui même autour d'un second axe incliné par rapport au premier à la vitesse angulaire Ω2. L'angle entre les deux axes de rotation est l'angle de précession θ.

cylindre Malkus (1989) a également observé qu'après l'apparition de l'in-stabilité elliptique se succèdent une phase fortement non linéaire, puis une phase correspondant à un écoulement turbulent et nalement une phase de relaminarisation. Nous verrons que ce genre de phénomène intervient dans le cas de l'instabilité de précession. Le même genre d'expérience avec une sphère en rotation déformée elliptiquement à été réalisé par Lacaze et al. (2004). Le résultat de cette expérience est montré sur la gure 1.15. On ob-serve l'apparition d'un mode instable dit de "spin-over", qui force le uide à tourner suivant un axe perpendiculaire à l'axe d'entraînement (axe vertical sur la gure 1.15).

1.4 Écoulement de précession

Dans cette section nous allons nous intéresser au forçage des ondes iner-tielles par la précession. Dans ce cas le forçage est dû à l'instationnarité du vecteur rotation Ω qui dans un référentiel xe a une orientation qui change au cours du temps. Au niveau de l'équation (1.7) cela se traduit par le fait que le terme d'accélération de Poincaré ^¡duz

dt

¢

a× r n'est pas nul. Avant de commencer notre analyse sur la dynamique d'un uide dans un cylindre en précession nous allons rappeler les résultats obtenus dans le cas d'un sphé-roïde.

1.4.1 Dans une cavité sphéroïdale

Le schéma de principe d'un sphéroïde en précession est représenté sur la gure 1.16.

Écoulement de base

En négligeant les forces de viscosité, Sloudsky (1895) et Poincaré (1910) ont démontré que le mouvement d'un uide dans un sphéroïde en précession est une rotation solide autour d'un axe xe dans le référentiel de précession et appartenant au plan (Ω1, Ω₂). A cette rotation solide s'ajoute un écoulement irrotationnel permettant d'assurer la condition de non pénétration aux bords (voir Malkus, 1994). La théorie non visqueuse ne permet cependant pas de déterminer exactement le vecteur rotation du uide. En introduisant les eets de couche limite Busse (1968) a alors complété la théorie non-visqueuse et donné une expression analytique de l'axe de rotation du uide.

La première tentative expérimentale de visualisation directe de l'axe de rotation du uide a été réalisée par Vanyo (1991); Vanyo et al. (1995) dans un conteneur d'ellipticité 1/100. Les résultats obtenus ne semblant pas rendre compte de la prédiction de Busse (voir Pais, 1999) des simulations numé-riques ont été réalisées pour étudier ce problème. Pour un conteneur sphé-rique, Noir et al. (2001b) a montré que la prédiction de Busse (1968) était numériquement correcte dans la limite des faibles nombre d'Ekman. La va-lidation de la prédiction de Busse (1968) pour un conteneur sphéroïdal a nalement été obtenue numériquement par Lorenzani & Tilgner (2001).

Noir et al. (2003) a alors réalisé de nouvelles expériences dans un conte-neur d'ellipticité 1/25 mis en précession. Ces expériences lui ont permi de valider la prédiction de Busse (1968) concernant l'axe de rotation solide du uide.

Écoulement secondaire

L'écoulement secondaire se superposant à la rotation solide de Poincaré dans une cavité sphéroidale a été pour la première fois étudié expérimen-talement (par visualisation directe) par Malkus (1968). En faisant varier la vitesse angulaire de précession d'un sphéroïde d'ellipticité 1/25, il a alors observé trois régimes d'écoulement secondaire (voir gure 1.17) :

1. un régime d'écoulement géostrophique laminaire,

2. un régime d'écoulement turbulent bidimensionnel,

3. un régime d'écoulement turbulent développé.

Ces diérents régimes ont été conrmés expérimentalement par Vanyo & Likins (1971); Vanyo (1991); Vanyo et al. (1995); Noir (2000) (voir gure 1.17).

Le premier régime qui est observé pour des faibles vitesses angulaires de précession fait apparaitre des cylindres géostrophiques orientés suivant l'axe de rotation solide du uide. Ces cylindres représentent des zones de cisaille-ment de l'écoulecisaille-ment en volume. Plusieurs études se sont alors penchées sur l'inuence des couches limites an d'expliquer l'apparition de ces zones de cisaillement. Ces couches limites dans le cas d'un sphéroïde en précession ont une épaisseur d'ordre Ek1/2 partout, sauf pour certaines latitudes critiques où l'épaisseur devient d'ordre Ek2/5. Ainsi, en plus du pompage d'Ekman traditionnel en Ek1/2 il en résulte alors un nouveau pompage d'orde Ek1/5

1.4. Écoulement de précession 23

Figure 1.17: A gauche : cylindres géostrophiques dans un sphéroïde d'ellipticité 1/25 observés par Noir (2000). A droite : visualisation de l'écoulement secondaire dans un sphéroïde d'ellipticité 1/25 en rotation à la vitesse angulaire Ω1= 60tr/min et en pré-cession autour de l'axe Ω2. (a) Ω2= −0.75tr/min régime d'écoulement géostrophique laminaire, (b) Ω2= −1tr/min régime turbulent bidimensionnel, (c) et (d) Ω2= −1.33 tr/min régime turbulent développé, (voir Malkus, 1968).

(voir Stewartson & Roberts, 1963; Noir, 2000) appelé éruption de couche limite.

Bondi (1953) a alors proposé que l'éruption de couche limite puisse se pro-pager en volume en restant localisée sur des surfaces caractéristiques. Walton (1975) et Kerswell (1995) ont conrmé la possibilité d'un tel mécanisme et Tilgner (1999b,c) l'a vérié numériquement. Tilgner (2000a) a montré que ces zones de cisaillement peuvent être décrites comme des paquets d'ondes inertielles localisées dans l'espace, et dont les réexions successives induisent une diminution de leurs amplitudes (voir Phillips, 1953). Une étude numé-rique menée par Noir et al. (2001b) visant à déterminer la taille des zones de cisaillement ainsi que l'amplitude du champ de vitesse à l'intérieur de ces zones a validé le processus de génération non-linéaire des mouvements géostrophiques dans la couche limite.

Néanmoins le mécanisme physique à l'origine de l'instabilité conduisant à l'apparition de la turbulence reste inconnu. Des études numériques (voir Tilgner & Busse, 2001; Lorenzani & Tilgner, 2001, 2003) sur les instabili-tés hydrodynamiques dans une cavité ellipsoïdale en precession ont conrmé l'existence d'une instabilité inertielle (les ondes inertielles ayant été obser-vées expérimentalement par Noir et al. (2001a)) déja prédite par Kerswell & Barenghi (1995) et ont montré que d'autres mécanismes d'instabilité étaient possibles.

A notre connaissance aucun mécanisme physique n'a été identié pour expliquer l'instabilité d'un uide dans un sphéroïde en précession ; le pro-blème reste donc ouvert.

θ