Dalle béton

La recherche bibliographique sur la modélisation de dalles en béton oriente notre choix vers une formulation par coques multicouches. En effet, cette méthode présente plusieurs avantages en comparaison notamment avec une modélisation par des éléments volumiques. Le modèle de la dalle sera réalisé par des éléments COQ4 (coque mince multicouche) du code de calcul CAST3M.

Un des avantages de ce type de modélisation est qu’il suffit de créer un seul maillage de la dalle pour ensuite définir plusieurs couches. Ce type de définition permet de simuler la variation des contraintes à travers la hauteur de la section ainsi qu’une éventuelle différence des caractéristiques matérielles dans différentes couches de la dalle. En l’occurrence, dans le cas d’une dalle en béton armé, elle permet de définir le ferraillage de la dalle en tant qu’une couche d’une épaisseur équivalente avec une loi de comportement autre que celle du béton. Le caractère et la formulation du modèle MEF global influencent aussi le choix du modèle de comportement du béton. Dans un modèle qui représente la flexion d’une poutre mixte isolée, il serait suffisant de définir des lois de comportement uni axiales (différentes en compression et en traction). Toutefois, pour pouvoir donner au modèle un domaine d’application plus large, plus précisément pour pouvoir l’appliquer à des analyses tridimensionnelles, notre choix s’est tourné vers des modèles utilisant des formulations qui considèrent un état biaxial de contraintes. Pour représenter le comportement du béton, nous utilisons la loi de matériau non linéaire et bidimensionnelle BETON de Cast3M. C’est une loi combinant un modèle de fissuration fixe de Rankine pour représenter la traction et un modèle plastique de Drucker-Prager pour représenter la compression. En traction, il y a fissuration lorsqu’une des 2 contraintes principales atteint la résistance limite de traction du béton (Figure 5.14). La fissuration entraîne une diminution de la résistance au cisaillement prise en compte par une réduction du module de cisaillement. La traction est écrouissable de manière indépendante pour les 2 directions de fissuration (écrouissage négatif). La loi du béton tient compte de la fermeture des fissures. La compression n'est pas possible tant que les fissures sont ouvertes. En compression, on peut aller au-delà de la résistance à la compression car la loi est aussi écrouissable (isotrope, négatif).

Le comportement en traction et en compression uniaxiales est donc défini par la loi de comportement illustrée sur la Figure 5.14. Pour valider l’application de ce type de loi de comportement à des modèles sollicités en flexion, nous avons effectué une série d’essais numériques où on représente la flexion négative d’une dalle mixte dont le schéma est présenté sur la Figure 5.15. -+ A.N. 50 100

Figure 5.15 Schéma utilisé pour les essais numériques du modèle BETON

La structure étudiée est constituée d’une dalle en béton d’épaisseur égale à 100mm et d’une plaque métallique d’épaisseur égale à 50mm solidaires entre elles de façon continue. La dalle est appuyée sur deux côtés et une charge verticale est appliquée au milieu de la travée. L’axe neutre de la section non fissurée se trouve dans la partie métallique, la totalité du béton est donc soumise à des efforts de traction. Le béton est défini avec une limite en traction

fct=3MPa. La loi de comportement en traction est celle du modèle BETON de CAST3M (Figure 5.16). 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 εc.10^-4 σ c [M P a ] fct εt 2^*εt εy ε σ yr f Esr

Figure 5.16 Loi de comportement du béton en traction

Figure 5.17 Loi de comportement élasto-plastique de l’acier

La valeur maximale du chargement est choisie de façon à ce que la déformation à l’interface acier béton dépasse la valeur 2^*εt=10^-4 (Figure 5.16). Sous ce chargement, le béton ne contribue plus à la raideur de la section et la raideur n’est plus assurée que par la plaque métallique. L’acier est défini en tant que matériau élastique parfaitement plastique (Figure 5.17). Toutefois, le chargement du modèle est choisi de façon à ce que le comportement de l’acier reste élastique tout au long de l’essai.

La dalle est modélisée en utilisant les six approches suivantes :

̇ modèle COQ4 multicouches avec une couche acier et une couche béton, ̇ modèle COQ4 multicouches avec une couche acier et deux couches béton, ̇ modèle COQ4 multicouches avec une couche acier et quatre couches béton,

̇ modèle COQ4 multicouches avec une couche acier et cinq couches béton,

̇ modèle CUB8 où la plaque métallique et la dalle béton sont modélisées par des éléments cubiques à 8 nœuds,

̇ modèle COQ4 sans béton où seule la plaque métallique est modélisée.

La comparaison des flèches calculées pour ces six modèles MEF est présentée sur la Figure 5.18. Dans toutes les modélisations (sauf celle qui ne représente que la poutre métallique seule), le modèle a une raideur initiale qui commence à diminuer à la première fissuration du béton. Cette première fissuration correspond à un moment M=10kNm. Lorsqu’on augmente le moment au-delà de M=10kNm, la fissuration progresse à travers l’épaisseur de la dalle. Toutefois, le caractère écrouissable du béton fait qu’il continue de contribuer à la raideur de la dalle même après fissuration. La contribution du béton devient nulle lorsque la déformation dans la dalle dépasse 2^*εt=10^-4.

La raideur « actuelle » qui correspond à un moment M quelconque peut être déterminée en procédant à un déchargement du modèle. Cette raideur représente alors la pente de la branche de déchargement (trait plein sur la Figure 5.18). Pour une valeur du moment égale à M=75kNm, les raideurs des modèles multicouches avec 4 et 5 couches, la raideur du modèle volumique et celle de la plaque seule sont pratiquement identiques. En même temps, les raideurs des modèles avec 1 et 2 couches sont près de deux fois plus grandes (Figure 5.19). Dans ce cas, la dalle n’est pas complètement fissurée et le béton continue de contribuer à la raideur du modèle. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 2 4 δ [mm] 6 8 M [kN m] COQ4 - 1 couche COQ4 - 2 couches COQ4 - 4 couches COQ4 - 5 couches CUB8 Acier seul 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 20 40 M [kNm] 60 80 EI *1 0 1 2 [^N mm 2 ] COQ4- 1 couche COQ4- 2 couches COQ4 - 4 couches COQ4 - 5 couches CUB8 Acier seul

Figure 5.18 Évolution de la flèche pour différents maillages

Figure 5.19 Raideur du modèle pour différents maillages

Une vérification analytique confirme que sous un moment égal à M=75kNm, la déformation à l’interface entre l’acier et le béton est supérieure à 2^*εt=10^-4 et le béton ne contribue plus à la raideur de la dalle. Le modèle avec une ou deux couches ne permet donc pas de traduire de façon suffisamment précise les effets de cette fissuration.

Dans les modélisations des poutres mixtes que nous effectuons par la suite, nous allons utiliser des coques avec quatre couches. Ce choix est justifié par le fait que la précision de ce modèle est proche du modèle qui comptait cinq couches. En même temps, le modèle avec quatre couches est beaucoup moins exigeant en coût de calcul.