D´etection quadratique

Par hypoth`ese, le signal d´etect´e S<sup>(2)</sup>(t) est maintenant une forme bilin´eaire du champ ´electrique E(t). L’hypoth`ese d’invariance par translation dans le temps nous permet d’´ecrire ce signal de mani`ere similaire `a la polarisation non-lin´eaire du second ordre (voir eq. 2.47), soit

S⁽²⁾(t) =

Z Z

R(ω₁, ω₂)E(ω₁)E(ω₂) exp(−i(ω1+ ω₂)t)^dω1 2π

dω₂

o`u R(ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>) est la r´eponse bidimensionnelle du syst`eme de d´etection, d´efinie telle que R(ω₁, ω₂) = R(ω₂, ω₁). On peut ´egalement exprimer S(2)(t) `a l’aide de sa transform´ee de Fourier inverse selon

S⁽²⁾(t) = Z S⁽²⁾(ω) exp(−iωt)^dω 2π ^(5.6) avec S⁽²⁾(ω) = Z R(ω₁, ω− ω1)E(ω₁)E(ω− ω1)^dω1 2π ^(5.7)

Comme plus haut, le signal ´electronique mesur´e S⁽²⁾(t) sera limit´e par le temps de r´eponse fini TR de la chaˆıne de d´etection, typiquement de l’ordre de 1 ns. Cela signifie que sa transform´ee de Fourier inverse S⁽²⁾(ω) doit s’annuler d`es lors que |ω| >> 1/TR. Cette propri´et´e, valable quelle que soit le champ E(ω), implique que la fonction r´eponse R(ω1, ω2) tende elle-mˆeme vers z´ero d`es lors que |ω1 + ω₂| >> 1/TR, grandeur qui est de l’ordre du GHz. La fonction R(ω₁, ω₂) est donc tr`es fortement localis´ee sur la droite ω1+ ω2 = 0. A l’inverse, la variation le long de cette droite est relativement lente, et correspond `a la courbe de sensibilit´e spectrale du d´etecteur. Exprim´ee en longueur d’onde, l’´echelle caract´eristique de variation de la sensibilit´e spectrale est typiquement de l’ordre de la centaine de nanom`etres, soit plusieurs dizaines de THz dans l’espace des fr´equences.

Dans le domaine optique la fr´equence centrale ω₀ est naturellement tr`es sup´erieure `a 1/T_R, ce qui implique que les seuls termes contribuant `a l’int´egrale dans l’´eq. 5.5 sont ceux o`u ω₁et ω₂sont de signes contraires. En utilisant la notation complexe du champ ´electrique E(ω) = (E(ω)+E∗(−ω))/2, on en d´eduit

S⁽²⁾(t) = ¹ 2

Z Z

R(ω₁, ω₂)E(ω1)E^∗(−ω2) exp(−i(ω1+ ω₂)t)^dω1 2π dω₂ 2π ^(5.8) ou encore S⁽²⁾(t) = ¹ 2 Z Z

R(ω1,−ω2)E(ω1)E^∗(ω2) exp(−i(ω1− ω2)t)^dω1 2π

dω₂

2π ^(5.9)

L’´eq. 5.7 devient alors

S⁽²⁾(ω) = ¹ 2

Z

R(ω1, ω− ω1)E(ω1)E^∗(ω1− ω)^dω1

2π ^(5.10)

Ces deux derni`eres ´equations montrent que le profil temporel du signal produit r´esulte en g´en´eral `

a la fois du profil temporel du champ ´electrique et de la r´eponse du d´etecteur. Consid´erons deux cas particuliers int´eressants, correspondant aux cas o`u la dur´ee de l’impulsion est respectivement tr`es longue ou tr`es courte.

5.1. D ´ETECTION AUX FR ´EQUENCES OPTIQUES 85 Cas d’une impulsion longue

Consid´erons dans un premier temps le cas d’une impulsion longue, o`u plus pr´ecis´ement d’une impulsion de largeur spectrale faible par rapport `a la bande spectrale couverte par le d´etecteur. En d’autres termes, on pourra n´egliger la variation de la fonction R(ω₁, ω₂) le long de la droite ω₁+ ω₂ = 0. On ´ecrira donc

R(ω₁, ω₂) = 2ξ(ω₁+ ω₂) (5.11)

o`u la fonction ξ(ω) est une fonction centr´ee sur ω = 0 et dont la largeur spectrale est de l’ordre de 1/T<sub>R</sub>, la bande passante du syst`eme de d´etection. On obtient alors

S⁽²⁾(t) =

Z Z

ξ(ω1+ ω2)E(ω1)E^∗(−ω2) exp(−i(ω1+ ω2)t)^dω1 2π

dω2 2π =

Z Z Z

ξ(t^′) exp(i(ω1+ ω2)t^′)E(ω1)E^∗(−ω2) exp(−i(ω1+ ω2)t)^dω1 2π dω₂ 2π ^dt ′ = Z ξ(t^′) Z E(ω1)e^−iω1(t−t′)dω₁ 2π Z E^∗(−ω2)e^−iω2(t−t′)dω₂ 2π^dt ′ = Z ξ(t^′)E(t − t^′)E^∗(t− t^′)dt^′ = Z ξ(t^′)E(t − t^′)2 dt^′ (5.12) soit S⁽²⁾(t) = ξ(t)⊗ |E(t)|² (5.13)

Le signal mesur´e est ainsi le produit de convolution entre l’intensit´e temporelle de l’impulsion et la fonction ξ(t), qui peut donc s’interpr´eter comme la r´eponse impulsionnelle de la chaˆıne de d´etection. Dans le cas id´eal o`u la dur´ee de l’impulsion est tr`es sup´erieure `a TR, on peut n´egliger la variation lente du champ dans l’´eq. 5.12 et on obtient simplement

S⁽²⁾(t) = Z ξ(t^′)dt^′  |E(t)|² = ξ(ω = 0)|E(t)|² = ¹ 2^R(ω0,−ω0)|E(t)|² (5.14) Le signal mesur´e reproduit donc fid`element l’intensit´e temporelle I(t) = |E(t)|2. Notons que le signal est ici ind´ependant de la phase temporelle de l’impulsion. Il est par contre sensible `a la phase spectrale puisque cette derni`ere quantit´e gouverne le profil temporel de l’impulsion.

A l’inverse, si la dur´ee de l’impulsion est tr`es inf´erieure `a T_R (tout en restant suffisamment longue pour que l’hypoth`ese initiale d’une r´eponse spectrale constante reste valide), on voit que c’est au contraire la fonction ξ(t′) qui peut ˆetre suppos´ee constante dans l’´eq. 5.12. On obtient alors S⁽²⁾(t) = ξ(t) Z  E(t^′)2 dt^′ (5.15)

impul-sionnelle du syst`eme de d´etection. Ce n’est pas l’impulsion qui est caract´eris´ee par le d´etecteur, mais au contraire la r´eponse impulsionnelle du syst`eme de d´etection qui est d´etermin´ee par une excita-tion pouvant ˆetre assimil´ee `a une distribution de Dirac. La seule information que l’on peut extraire sur l’impulsion est alors l’int´egrale de l’intensit´e temporelle, c’est `a dire l’´energie de l’impulsion.

Cas d’une impulsion ultra-courte

Consid´erons maintenant le cas d’une impulsion femtoseconde, dont la dur´ee est tr`es inf´erieure au temps de r´eponse des d´etecteurs disponibles. Dans ce cas extrˆeme, nous venons de voir que le profil temporel du signal S<sup>(2)</sup>(t) est enti`erement gouvern´e par le temps de r´eponse du syst`eme de d´etection. La seule information accessible sur l’impulsion est donc l’int´egrale du signal mesur´e

S =

Z

S⁽²⁾(t)dt = S⁽²⁾(ω = 0) (5.16)

Cette grandeur peut ˆetre d´etermin´ee `a l’aide de l’´eq. 5.10, ce qui nous donne

S = ¹ 2 Z R(ω₁,−ω1)E(ω1)E^∗(ω₁)^dω1 2π ^(5.17) ou encore S = Z R_S(ω)|E(ω)|^2dω 2π ^(5.18)

o`u RS(ω) = R(ω,−ω)/2 est par d´efinition la r´eponse spectrale du d´etecteur. Dans le cas o`u la largeur spectrale de l’impulsion est suffisamment ´etroite par rapport `a la r´eponse spectrale du d´etecteur, on peut simplement ´ecrire

S = RS(ω0)

Z

|E(ω)|^2dω

2π ^(5.19)

Le signal mesur´e est alors simplement proportionnel `a l’´energie de l’impulsion, et on retrouve le r´esultat ´enonc´e plus haut (voir eq. 5.15). Dans le cas o`u le spectre est plus large - ce qui correspond par exemple au cas d’impulsions de dur´ee inf´erieure `a quelques dizaines de femtosecondes - il faut tenir compte de la r´eponse spectrale du d´etecteur : le signal correspond `a l’int´egrale de recouvrement entre la r´eponse spectrale R_S(ω) et la densit´e spectrale d’´energie de l’impulsion |E(ω)|2, comme indiqu´e par l’´eq. 5.18. En conclusion, nous avons d´emontr´e le r´esultat g´en´eral suivant : Le signal produit par un syst`eme de d´etection quadratique, stationnaire et invariant par translation dans le temps est insensible `a la phase spectrale ϕ(ω) de l’impulsion. Ce r´esultat concerne notamment le cas d’une impulsion femtoseconde mesur´ee `a l’aide d’un dispositif purement ´electronique.

5.2. MESURE DE L’INTENSIT ´E 87