Autocorr´elation

a l’aide d’une transform´ee de Fourier inverse pour obtenir f (ω) exp(iωτ ) et donc ∆ϕ(ω).

Cette m´ethode de mesure de phase, intitul´ee interf´erom´etrie spectrale par transform´ee de Fourier [25], est donc une technique pr´esentant les avantages de l’interf´erom´etrie temporelle en termes de sensibilit´e, mais qui ne n´ecessite pas de balayage du retard entre les deux impulsions et qui tire parti des possibilit´e d’acquisition simultan´ee de d´etecteurs multicanaux comme les cam´eras CCD. Son impl´ementation exp´erimentale requiert toutefois des pr´ecautions li´ees `a la calibration en fr´equence du spectrom`etre [30, 31].

Les m´ethodes interf´erom´etriques, temporelles ou spectrales, d´ecrites ci-dessus ont deux do-maines d’applications. Le premier consiste `a mesurer la fonction de transfert complexe r(ω) d’un dispositif lin´eaire que l’on introduira dans l’un des bras d’un interf´erom`etre, de sorte que E(ω) = r(ω)E₀(ω) et f (ω) = r(ω)|E0(ω)|2. La phase mesur´ee est dans ce cas directement ´egale `a la phase de la fonction de transfert r(ω). On peut noter que la phase de l’impulsion n’intervient pas, ce qui signifie qu’il n’est pas n´ecessaire d’utiliser une impulsion femtoseconde pour une mesure de ce type : une source blanche incoh´erente conviendra ´egalement. Le deuxi`eme domaine d’application concerne la mesure d’une impulsion inconnue lorsque l’on dispose d’une impulsion de r´ef´erence appropri´ee (ce qui signifie que son support spectral doit contenir celui de l’impulsion `a mesurer). Il est pour cela n´ecessaire de caract´eriser l’impulsion de r´ef´erence, ce qui n´ecessite une m´ethode auto-r´ef´erenc´ee comme celles d´ecrites ci-dessous.

5.4.3 Autocorr´elation

Consid´erons le montage repr´esent´e Fig. 5.12. Comme dans un interf´erom`etre de Michelson on divise le faisceau incident en deux parties ´egales, mais les deux faisceaux ne sont pas recombin´es de mani`ere colin´eaire, et on n’a donc pas de ph´enom`ene d’interf´erences. On dispose ainsi de deux

faisceaux parall`eles, l’un pouvant ˆetre retard´e par rapport `a l’autre, que l’on focalise dans un cristal non-lin´eaire quadratique. ) 2 ( χ τ

Figure 5.12: Dispositif exp´erimental permettant d’enregistrer l’autocorr´elation de l’intensit´e d’une impulsion br`eve.

On engendre ainsi une polarisation non-lin´eaire dans ce cristal r´esultant de la superposition des deux champs E(t) exp(i~k1.~r) et E(t − τ) exp(i~k2.~r), o`u ~k<sub>1</sub> et ~k<sub>2</sub> sont les vecteurs d’onde des deux faisceaux incidents sur le cristal. En notation complexe, le terme de la polarisation non-lin´eaire correspondant `a la g´en´eration de second harmonique (ou plus pr´ecis´ement `a l’addition de fr´equences) s’´ecrit

P⁽²⁾(~r, t) = ^ǫ0χ (2) 2



E(t) exp(i~k1.~r) +E(t − τ) exp(i~k2.~r)^2 (5.49) Cette polarisation comprend des termes en exp(2i~k1.~r) et exp(2i~k2.~r), qui correspondent au pro-cessus de doublage de fr´equence de chacun des faisceaux incidents. Les champs rayonn´es par ces termes de la polarisation produiront des faisceaux lumineux se propageant dans la direction des faisceaux incidents. Mais il y a ´egalement un terme en exp(i(~k₁+~k₂).~r) qui donnera naissance `a un faisceau se propageant selon ~k1+~k2, c’est `a dire selon la bissectrice, et qui correspond au processus d’addition de fr´equences entre les deux faisceaux. Le terme correspondant de la polarisation s’´ecrit

P⁽²⁾(~r, t) = ǫ₀χ⁽²⁾E(t)E(t − τ) exp(i(~k1+ ~k₂).~r) (5.50) Le champ rayonn´e sera donc approximativement proportionnel au produit des deux champs, et l’intensit´e temporelle correspondante sera donc proportionnelle au produit des intensit´es tem-porelles des deux faisceaux incidents, respectivement I(t) et I(t− τ). Si l’on mesure uniquement

5.4. MESURE DE LA PHASE SPECTRALE 103 le faisceau ´emis selon la bissectrice, le signal d´etect´e en fonction de τ s’´ecrit alors

S(τ ) =

Z

I(t)I(t− τ)dt (5.51)

Il s’agit de la fonction d’autocorr´elation de l’intensit´e. On ne peut en d´eduire a priori la forme exacte de l’impulsion, mais il s’agit n´eanmoins d’une information int´eressante nous renseignant sur la dur´ee de l’impulsion. Si l’on consid`ere la dur´ee au sens de la largeur `a mi-hauteur, le rapport entre la largeur de la fonction d’autocorr´elation et celle de l’intensit´e d´epend naturellement de la forme de l’impulsion. On utilise souvent le facteur √

2 (correspondant `a une impulsion gaussienne) ou 1.54 (correspondant `a une impulsion de forme s´ecante hyperbolique carr´ee). Il est en outre possible d’obtenir des informations plus pr´ecises sur la dur´ee de l’impulsion au sens de l’´ecart quadratique moyen. En effet, consid´erons la densit´e de probabilit´e s(τ ) = S(τ )/S₀, o`u S₀ est l’int´egrale

S0 = Z S(τ )dτ = Z Z I(t)I(t− τ)dtdτ = Z I(t)dt 2 (5.52)

La fonction s(τ ) est paire donchτi = 0. Par ailleurs

hτ²i = Z τ²s(τ )dτ = ¹ S₀ Z Z τ²I(t)I(t− τ)dtdτ (5.53)

En posant t^′ = t− τ et donc τ² = (t− t^′)²= t²+ t^′2+ 2tt^′, on obtient hτ²i = _S¹

0

Z Z

(t²+ t^′2− 2tt^′)I(t)I(t^′)dtdt^′ (5.54) Soit τ2 = 2ht2i − 2hti2, o`u les valeurs moyennes sur t sont pond´er´ees par l’intensit´e temporelle normalis´ee, I(t)/√

S₀. On en d´eduit la relation

∆τ =√

2∆t (5.55)

La dur´ee de l’impulsion, au sens de l’´ecart quadratique moyen, peut donc ˆetre d´eduite de la mesure d’autocorr´elation de l’intensit´e, sans avoir `a formuler d’hypoth`ese sur la forme exacte de l’impulsion. Il existe en outre un cas particulier o`u il est mˆeme possible d’en d´eduire la forme exacte de l’impulsion, c’est celui d’une impulsion limit´ee par transform´ee de Fourier. En effet, on peut calculer `a l’aide du spectre de l’impulsion la grandeur ∆t_ϕ=0 correspondant `a la dur´ee de l’impulsion dans le cas d’une phase spectrale nulle. Si cette dur´ee est ´egale `a ∆τ /√

2, cela signifie que la variance du retard de groupe est nulle (voir eq. A.31), et donc que l’impulsion est limit´ee par transform´ee de Fourier. En d’autres termes, si l’autocorr´elation mesur´ee est en bon accord avec celle calcul´ee `a partir du spectre exp´erimental, on peut en d´eduire une d´etermination compl`ete

du champ ´electrique associ´e `a l’impulsion. Lorsque l’impulsion n’est pas limit´ee par transform´ee de Fourier, il est cependant n´ecessaire d’utiliser une m´ethode de mesure compl`ete comme celles d´ecrites ci-dessous.