Développement d’un modèle thermique simplifié au sein de la bûche

Cette partie consiste à étudier le transfert thermique, d’une façon simplifiée, au sein d’une

macro-particule, qui est la bûche de bois. Le modèle thermique développé permet de déterminer

le profil de la température à l’intérieur de la bûche.

III.1.Description du modèle

Nous considérons une bûche dont la face supérieure est exposée à un flux de chaleur par

rayonnement, noté Qtop, venant de la flamme produite par la combustion des composés gazeux

libérés, comme le montre la figure 152. Lors de la combustion de bois, quatre étapes sont

observées :

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 Le séchage du bois,

 La pyrolyse,

 La combustion homogène : l’oxydation des composés gazeux par l’air,

 La combustion hétérogène : les réactions des résidus solides avec l’oxygène.

Dans le cas des bûches, ces étapes se déroulent simultanément.

Figure 152 : Combustion d’une bûche de bois.

III.2.Hypothèses considérées

L’étude du transfert thermique dans une bûche de bois, en tenant compte de l’hétérogénéité de

ce matériau ainsi que de l’ensemble des phénomènes qui peuvent avoir lieu, est très complexe.

Pour simplifier ce problème, nous avons considéré les hypothèses suivantes :

 La bûche de bois est supposée être parallélépipédique avec une hauteur H, une largeur

L et une épaisseur e. Les transferts de chaleur selon l’épaisseur et la largeur de la bûche

sont supposés négligeables : le problème qui en résulte peut être considéré en 1D,

 La combustion est considérée comme « homogène » : la forme, la masse, les dimensions

et les propriétés physiques de la bûche restent constantes (m, λt, ρ, Cp...),

 Le transfert de chaleur par convection entre les composés gazeux produits au cours de

la pyrolyse et le résidu solide est supposé négligeable.

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III.3.Bilan de conservation de chaleur dans la bûche

En tenant compte des hypothèses précédemment décrites, le bilan de conservation de chaleur

dans la bûche de bois s’écrit de la façon suivante :

ρCp^∂T_∂t − λ_𝑡∇2(T) = 0 (9)

En coordonnées cartésiennes, l’équation (9) devient :

ρCp^∂T_∂t − λ_𝑡(^∂_∂y^2T₂) = 0 (10)

Avec :

ρ : Masse volumique du bois (kg.m-3),

Cp : Chaleur spécifique du bois (J.kg-1.K-1),

λt : Conductivité thermique du bois （W.m-1.K-1),

T : Température (K),

t : Temps (s).

Nous considérons que seule la couche supérieure de la bûche est réactive. Le reste de la bûche

est censé être non réactif lors de l'écriture de bilan de conservation de chaleur dans la bûche.

Cela permet de découpler les phénomènes chimiques (enthalpies de réaction, prise en compte

dans le PSR 1) et physiques (transfert de chaleur) et d'obtenir l'équation (10) avec seulement

deux termes. La mise en équation de ce bilan comporte deux termes. Le premier est un terme

d’accumulation de la chaleur qui caractérise la capacité thermique moyenne du bois. Le

deuxième terme décrit le transfert de la chaleur par conduction selon la loi de Fourrier.

III.4.Condition aux limites et condition initiale

La pyrolyse de la biomasse est l’étape qui précède la combustion des composés volatils produits

par cette pyrolyse. Au cours de cette phase, le bois, qui est initialement à la température du

poêle, se décompose sous l’effet de la chaleur en formant des résidus solides et en dégageant

des composés gazeux. La combustion de ces derniers par l’oxygène de l’air est accompagnée

par la formation d’une flamme. La chaleur obtenue par le rayonnement de cette flamme (Qtop)

sert à chauffer la couche supérieure de la bûche et à fournir l’énergie nécessaire pour entretenir

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sa pyrolyse. La température à la surface augmente et la chaleur se propage vers les autres

couches par conduction.

L'équation de la chaleur (10) est une équation différentielle partielle du second ordre (Partial

Differential Equation, PDE) par apport aux coordonnées spatiales. Des conditions aux limites

sont nécessaires afin de spécifier les interactions entre la bûche de bois et l'environnement

extérieur.

Il existe trois types de conditions aux limites pour ce type de problématique :

 Dirichlet : la température est fixée à l’une des limites comme le montre l’équation

(11).

T(y, t)|bc = T_bc ou T_bc(t) (11)

Avec :

Tbc : Température à cette limite (K). Elle peut être constante ou fonction du temps.

 Neumann : pour ce type de conditions, le flux de chaleur est fixé à la limite précisée.

Ces conditions aux limites ont la forme suivante (pour le cas bidimensionnel) :

(^∂T_∂y) |bc = Q_bcou Q_bc(t) (12)

Avec :

Qbc : Flux de chaleur à cette limite. Il peut être constant ou fonction du temps.

 Mixtes : Des conditions aux limites mixtes, comme leur nom l'indique, sont un mélange

des conditions aux limites de type Dirichlet et de type Neumann.

Dans notre cas, le bilan de conservation de chaleur dans la bûche de bois (équation 10) est

couplé à une condition aux limites au niveau de la couche supérieure de type Neumann

(équation 13) et à une condition initiale (équation 14):

Pour y = H, −λ_𝑡(^∂T_∂y) = Q_top = εσ(T_f4− T4(H, t)) (13)

à t = 0 sec, T(y, 0) = T_insert (14)

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Qtop : Flux de chaleur par rayonnement de la flamme (W.m-2), calculé selon la loi de

Stefan-Boltzmann,

ε : Emissivité du bois,

σ : Constante de Stefan-Boltzmann (W.m-2.K-4),

Tf : Température de flamme (K),

Tinsert : Température moyenne de l’insert (K).

III.5.Résolution numérique du bilan thermique

La résolution numérique du bilan thermique, par MATLAB®, permet de déterminer la

température en tout point de la bûche, discrétisée à chaque instant t. La procédure de calcul

MATLAB® comporte plusieurs étapes :

 Définir la géométrie étudiée :

La bûche de bois est modélisée comme étant un matériau continu de forme

parallélépipédique.

 Créer le maillage :

La discrétisation de la bûche se fait selon les deux directions (x,y). Le maillage, généré

automatiquement par MATLAB®, est de type triangulaire dont chaque élément a une

hauteur égale à hmax.

 Définir les coefficients de la PDE :

L'équation de la chaleur est une PDE parabolique, dont la forme générale, selon le

formalisme MATLAB, est donnée par l’équation (15) :

d^∂T_∂t − ∇(c∇T) + aT = f (15)

En comparant les deux équations (10) et (15), nous pouvons en déduire que :

d = ρCp ;

c = λt ;

a = 0 ;

f = 0.

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Pour le formalisme MATLAB®, les conditions aux limites de type Neumann sont définies

comme suit :

𝑛⃗⃗⃗ . (c∇T) + qT = g (16)

Avec :

n⃗ : Normale à la limite considérée.

Dans ce travail, les paramètres q et g sont données par les deux équations (17) et (18):

q = εσT3 (17)

g = εσT_𝑓4 (18)

 Résolution de la PDE et visualisation des résultats :

La résolution du bilan thermique se fait par la méthode des éléments finis (FEM : Finite

Element Method). Elle consiste à découper l’espace en des domaines appelés « éléments

finis » et déterminer une solution dite « approchée » sur un domaine d’espace bien

déterminé.

Dans le document Modélisation chimique détaillée de la combustion de la biomasse dans les appareils de chauffage domestique en vue de réduire leurs émissions polluantes (Page 175-180)