mique à l’équilibre local
Nous avons vu que le traitement de la réaction globale de combustion telle qu’écrite précédement (Equation 2.1) n’est que très schématique, ne prenant pas en compte les multiples étapes intermédiaires et les espèces chimiques pouvant être formées durant la réaction. Cependant, dans l’optique d’une approche systématique au sein de laquelle il est rigoureusement impossible d’inventorier l’ensemble des phénomènes complexes intermédiaires de combustion, nous proposons ici une pre- mière approche. Elle permet d’éviter l’introduction des phénomènes complexes qui régissent la combustion. Pour cela, on définit la notion d’avancement de la réaction
ε, qui représente la quantité de réactif ayant réagit relativement à son nombre stoi-
chiométrique. Cette grandeur est comprise entre 0 et 1, 0 représentant l’état initial du système chimique et 1 son état final. Nous considérons ensuite la réaction d’un mélange stoechiométrique et supposons que l’équilibre thermodynamique est atteint pour toutes les valeurs d’avancement de réaction, ce qui est équivalent à l’hypothèse de l’équilibre thermodynamique local, habituellement utilisée dans le traitement des processus irréversible. A noter, comme nous l’avons vu dans le Chapitre 1, que les nanoparticules d’aluminium sont habituellement entourées d’une couche d’alumine. Dans le calcul des capacités thermiques, nous avons pris en considération cette quan- tité, que nous avons déterminée à 20 % de la quantité d’aluminium. Ainsi, en intro- duisant l’avancement de réaction ε dans l’hypothèse de l’équilibre thermodynamique
2.2. Développement d’un modèle thermodynamique à l’équilibre local local, il est possible de réécrire l’Equation 2.1 comme suit :
2Al +3 bAaOb ⇒ εAl2O3+ ε 3 bA+ (1 − ε)2Al + (1 − ε) 3 bAaOb (2.4)
La composition du système chimique évolue donc maintenant en fonction de l’avancement de réaction, les quantités de matières relatives des espèces chimiques étant données par l’Equation 2.4. Pour un avancement de réaction donné, on déter- mine l’enthalpie de réaction relative à l’équation 2.4 :
∆Hr(ε) = ε∆Hf(Al2O3) + ε
3a
b ∆Hf(A) − ε2∆Hf(Al) − ε
3
b∆Hf(AaOb) (2.5)
La quantité de chaleur produite par la réaction est Q(ε) = ∆Hr(ε). La tempéra-
ture atteinte par le système est également fonction de l’avancement de réaction. Il est alors possible de considérer les transitions de phase pouvant se produire en fonction de l’avancement de la réaction de combustion. Nous avons considéré les transitions suivantes : les fusions de toutes les espèces chimiques communément admises ainsi que les décompositions ou évaporations des oxydes métalliques. En plus des réactifs et des produits de réactions, pour chaque composition, nous avons aussi considéré les espèces chimiques qui peuvent être formées par décomposition des oxydes présents dans le système. Toutes les transitions considérées sont résumées dans l’Annexe A.
Notre étude se concentrant sur la pression générée lors de la combustion des ther- mites et sachant que les expériences sur lesquelles nous nous appuyons pour valider nos résultats sont réalisées en configuration confinée, nous avons pris l’option de calculer les pressions partielles de chacun des composés de la phase gazeuse à partir des pressions de vapeur saturante. Or, dans la littérature, les pressions de vapeur saturante ainsi que les températures d’ébullition sont, en général, données à la pres- sion atmosphérique. Afin de déterminer les points d’ébullition à plus haute pression, ce qui est notre cas, nous avons extrapolé ces valeurs à partir de l’expression :
Pi(T ) = KiT(
3
2)exp(−∆Heb(i)
RT ) (2.6)
Avec Pi(T ), la pression partielle de l’espèce gazeuse i à la température T (expri-
mée en Pa), ∆Heb son énergie d’ébullition en J/mol, R la constante des gaz parfaits
8,314 462 J/(mol K) et Ki un facteur pré-exponentiel qui contient, en particulier,
tous les termes d’entropie. L’équation 2.6 peut être déduite soit à partir de la théo- rie cinétique des gaz, soit en écrivant l’égalité des potentiels chimiques des espèces dans la phase gazeuse et dans la phase condensée. Ces deux méthodes conduisent à une valeur théorique du coefficient pré-exponentiel Ki de :
Ki =
q
2πmi(kB)3
Avec mi la masse moléculaire de l’espèce i, si l’aire occupé par une molécule prise
dans la phase condensée, h la constante de Plank, kBla constante de Boltzmann. La
valeur du coefficient pré-exponentiel Ki peut aussi être déterminée expérimentale-
ment à partir de la température d’ébullition Tebà pression atmosphérique Pi(Teb). En
effet, l’énergie d’ébullition ∆Heb peut être calculée par les méthodes de chimie quan-
tique, mais sa valeur expérimentale est aussi présente dans les manuels de référence. Connaissant la valeur expérimentale de la température d’ébullition, le pré-facteur est calculé, à partir de l’Equation 2.6, comme :
Ki = Pi(Teb) (Teb) 2 3exp(∆Heb RTeb) (2.8) Le Tableau 2.2 présente la comparaison des valeurs du facteur pré-exponentiel obtenues via la formule théorique (Equation 2.7) ou via l’expérience (Equation 2.8), et cela pour cinq réactions : pour les évaporations de l’aluminium et du cuivre, pour les décompositions des oxydes de cuivre, CuO et Cu2O, et pour la décomposition
de l’alumine.
Tableau 2.2 – Comparaison des valeurs du facteur pré-exponentiel obtenues via la formule théorique (Equation 2.7) et via la formule expérimentale (Equation 2.8) pour l’évaporation d’Al, de Cu, et pour les décompositions de CuO, Cu2O et Al2O3.
Evaporation de Valeurs de K Théoriques Expérimentales Al 2,44 × 105 2,15 × 105 Cu 1,12 × 106 1,11 × 106 Décomposition de Valeurs de K Théoriques Expérimentales CuO 6,03 × 105 5,96 × 105 Cu2O 5,28 × 105 8,69 × 102 Al2O3 5,17 × 105 1,04 × 1027
Si les valeurs théoriques et expérimentales de Ki sont en bon accord pour les
évaporations d’Al et Cu, il n’en va pas de même pour les décompositions des oxydes métalliques où les écarts sont importants, notamment pour Cu2O et Al2O3. Cet
écart est intéressant au plan fondamental. En effet, l’expression théorique de Ki
(Equation 2.7) est une expression particulièrement bien adaptée à la description des réactions d’évaporation, qui sont des réactions élémentaires en une seule étape et sans intermédiaire de réaction. En revanche, cette expression ne convient pas lorsque la chimie des processus se complexifie, composée de multiples étapes élé- mentaires ou bien produisant de multiples espèces, ce qui est probablement le cas de la décomposition des oxydes considérés ici. Enfin le bon accord entre les valeurs théorique et expérimentale de Ki pour la décomposition de CuO laisse penser que
2.2. Développement d’un modèle thermodynamique à l’équilibre local Les valeurs de Ki que nous utiliserons par la suite sont donc les valeurs expéri-
mentales, qui permettent de décrire des réactions complexes, sans avoir toutefois à déterminer les détails des mécanismes chimiques gouvernant chaque décomposition. Une fois les pressions partielles de chaque espèce déterminées, la quantité de matière évaporée peut être calculée à l’aide de la loi des gaz parfaits ci = PiRTVgaz,
avec Vgazle volume du gaz. Ce volume, dans le cas d’une combustion en configuration
confinée, peut être déterminé à partir du %TMD. En effet lorsque le mélange est compacté dans une enceinte fermée, la densité du mélange est ρmix = mVmixtot , avec
mmix la masse de la thermite et Vtot le volume total de la chambre de combustion.
La densité maximale peut être exprimée par ρT M D = mVmix
cond, avec Vcond le volume occupé par le mélange. Le %TMD s’écrit alors, pour une enceinte fermée :
%T MD = ρmix ρT M D = mmix Vtot Vcond mmix = Vcond Vtot = Vtot− Vgaz Vtot (2.9) Dans notre étude, nous considérons la réaction d’une mole de mélange stoechio- métrique. Le volume du mélange Vcond peut donc être calculé à partir des densités
de l’aluminium et de l’oxydant. La connaissance du %TMD du mélange permet en- suite de déterminer le volume total de la chambre de combustion Vtot, à partir de
l’Equation 2.9.
Finalement, pour un %TMD, un avancement de réaction et une température donnés, il nous est possible de calculer la composition du système. A partir de cette composition nous déterminons l’énergie nécessaire à l’évaporation des gaz considérés
hvap(T ) = ∆Heb× ci, ainsi que la chaleur consommée lors de la fusion des espèces
condensées hf us(T ), dans le cas où la température est supérieure à leur tempéra-
ture de fusion. La quantité de chaleur nécessaire pour chauffer le système depuis la température initiale T0, à la température T est alors :
q(T ) =
Z T
T0
Cv(T )dT + hvap(T ) + hf us(T ) (2.10)
avec Cv(T ) la capacité thermique de tout le système.
Nous avons ainsi calculé toutes les valeurs nécessaires à la détermination de l’état du système pour tout %TMD et tout avancement de réaction ε. Nous allons main- tenant détailler la procédure algorithmique que nous avons suivie, Figure 2.1.
L’organigramme propose la séquence d’actions suivante. Pour réaliser nos simu- lations dans un cadre réaliste, nous commençons par choisir un %TMD. Il est com- munément inférieur à 50 %, le mélange de nanoparticule étant difficile à compacter au delà. Connaissant le volume d’une mole de mélange Vcond, le %TMD nous permet
de déterminer le volume total de la chambre de combustion Vtot (Equation 2.9). En-
suite nous assignons les valeurs 0 à l’avancement de réaction ε et T0à la température,
Début : choix du %TMD Calcul volume chambre de combustion Initialisation ε = 0 et composition Initialisation T = T0 et q(T ) = 0 Incrémentation T = T + dT
Calcul pressions partielles Determination composition Calcul chaleur q(T + dT ) = q(T )+ RT +dT T Cv(T )dT + hvap(T ) + hf us(T ) Incrémentation ε= ε + dε Calcul chaleur produite Q(ε) Comparaison Q(ε) > q(T ) Enregistrement ε, T , composition ε <1 Fin oui non oui non
Figure 2.1 – Organigramme de programmation résumant le fonctionnement du
modèle thermodynamique à l’équilibre thermodynamique local présenté en section 2.
Puis nous augmentons graduellement l’avancement de réaction. Pour chaque avancement de réaction, nous déterminons la quantité de chaleur produite par la réaction exothermique de combustion Q(ε) = ∆Hr(ε) et nous cherchons la tempé-